1、第二节 1 一、相似矩阵的概念和性质 定义 对于n阶方阵A和B，若存在n阶可逆方阵P，使得 则称A与B 相似,记为 矩阵的“相似”关系具有以下特性： (1)反身性： (2)对称性： 证 (3)传递性： 证 2 相似矩阵的性质： 定理 相似矩阵有相同的特征多项式,从而特征值相同. 证 推论1 相似矩阵的行列式相等； 推论2 相似矩阵的迹相等； 推论3 若矩阵A与一个对角阵相似, 3 注意 : 特征值相同的矩阵不一定相似. 但它们不相似, 因为对任意可逆阵P, 即与 E 相似的矩阵只有它自己。 相似矩阵的其它性质： 相似矩阵的秩相等； 若P,Q为可逆矩阵,则有 4 A ,B 同为可逆或不可逆,可逆
2、时它们的逆矩阵 及伴随矩阵也分别相似。 只证(3)，其余证明留作练习. (1) (2) (3) (4) (5) (6) 5 例1 解 另解相似矩阵有相同的特征多项式，由 得 6 计算上面两个行列式，得到 比较等式两边 同次幂的系数，得 7 n阶矩阵A与一个对角阵相似的充分必要条件 是A有n个线性无关的特征向量。 二、矩阵可相似对角化的条件 定理 如果一个矩阵能与一个对角阵相似,称该矩阵 可以(相似)对角化。 证 必要性：设A与一个对角阵相似,即存在一个可逆 阵P,使 8 即 即 即得 必要性得证。 上述步骤倒过来写,即得充分性证明。 9 推论1 如果矩阵A的特征值互不相同,则A必可对角化. 因
3、为属于不同特征值的特征向量是线性无关的. 注意: 这个条件是充分的而不是必要的. 如果A的特征方程有重根，此时不一定有n个线性 无关的特征向量，从而矩阵A不一定能对角化；但如 果能找到n个线性无关的特征向量, A还是能对角化 即齐次线性方程组 的基础解系所含的 向量个数等于特征根 的重数 。 10 解 例2设求可逆阵P， 11 特征向量 特征向量 12 特征向量 特征向量 特征向量 13 令 则 14 解 例3判断矩阵 能否对角化，若能， 特征向量 求可逆阵P， 15 特征向量 可对角化, 16 解 只有一个线性无关的特征向量, 例4判断矩阵 能否对角化，若能， 所以不能对角化. 求可逆阵P， 17 例5 解 得A的特征 18 19 例6 解 20 从而A可相似对角化. 秩为1， 21 从而A不可相似对角化. 秩为2， 22 一般来说，求矩阵的高次幂比较困难，但若矩阵A 能对角化，即存在可逆阵P，使得 则于是 转化为对角阵求幂. 23 例7 解 设 24 25 EN D 26
