1、数学预备知识 矢量及其运算 一、矢量的概念 1.矢量的定义既有大小又有方向的量叫做矢 量（向量） 记 号： 大小表示：F 标量：仅有大小的量叫做标量 如：质量m 、时间 t、 路程 s、动能Ek 、势能 Ep 等 。 标量仅有大小没有方向但有正负，如温度 t AB ABAB 1 2. 矢量的图形表示：带有箭头的线段 线段长度矢量大小 箭头指向矢量的方向 AB F 起点终点 F=5N，方向为水平向右 3. 两矢量相等的条件：大小相等，方向相同. 与起点无关 A B C D AB = CD 2 4.矢量可以平移 a b b a a b b a 二. 矢量的加法 1.矢量加法的平行四边形法则 两矢量
2、 与 的和是以这两个矢量为两边的平行 四边形的对角线矢量 ,记为： 5. 负矢量两矢量等大反向互称为负矢量 ab=- aba =-b或: a a =-b b cab =+矢量加法的表示式 c 3 通常将这种用平行四边形的对角线来求 出两矢量和的方法叫矢量加法的平行四 边形法则. 称为 、 的合矢量 、 称为 的两个分矢量 据余弦定理： c b a c ab abc c矢量的大小 4 规定： 矢量的方向是： 与任一分矢量之间 的夹角。 矢量的定义 : 既有大小又有方向,加法运算 时满足平行四边形法则的物理量叫做矢量。 c c c b a 5 两矢量相加，要将一个矢量的起点移到另一个矢 量的终点，
3、然后连结一矢量的始点和另一矢量的终点, 即为两矢量的和。 由于三个矢量构成一个三角形，所以称为矢量加法 的三角形法则。 应当注意：合矢量可大于、等于、小于其它任一分 矢量 o b c a 或 o b c a o b c c b a= + 2.矢量加法的三角形法则 6 即 三角形的任一边可大于、等于、小于其 它任一边 b a c ca，cb b c a ca，cb a c b c=a=b 7 依次作出各个矢量，其中后一个矢量的起 点正好是前一个矢量的终点，那么从第一个 矢量的起点到最后一个矢量的终点所引的矢 量，即它们的矢量和.此时所有的分矢量与合 矢量围成一个多边形.所以称为矢量加法的多 边形
4、法则。 a b c c b a d3.矢量加法的多边形法则 8 在共点力的作用下，物体处于平衡状态 时，合力为零，构成一个封闭的多边形 多力平衡力多边形自行封闭. F1 F2 F3 F4F1 F2 F3 F4 F1 F2 F3 F1 F2 F3 注：三力平衡时，构成一个封闭的三角形. 三力平衡力三角形自行封闭 9 三.矢量的减法 1.矢量减法的平行四边形法则 可见求 与 的差即求 与 的 和，可以按平行四边形法则或三角形法 则计算即矢量的减法实质上仍是矢 量的加法，矢量的加、减法统称为矢量 的合成. c a b 10 2.矢量减法的三角形法则 两矢量相减，要将它们移到一个共同的起点，然 后从减
5、项矢量的终点向被减项矢量的终点所引的矢 量即为所求之差。 如： 小结：由分矢量求合矢量（加法）或由合矢量求分 矢量（减法），从数学角度来说就是求解三角形的 边和角的问题,因此一切解算三角形的数学方法均 可使用。 c a b b a c b a c 可见： 11 如：正弦定理、余弦定理、勾股定理、等边三角形、 相似三角形、全等三角形、菱形特性等都可以使用。 注意：.已知合矢量F的大小和方向与另一个分矢量 F1的方向，则另一个分矢量F2与F1相互垂直时F2有极 小值 且 .已知一个分矢量F1的大小和方向与合矢量F的方 向，则另一个分矢量F2与合矢量F相互垂直时 有极小 值 即： F2 F1 F F
6、 F1 F2 12 四. 矢量的正交分解合成法（矢量的正交分解法） 矢量的加、减法的平行四边形法则或三角形法 则,均为矢量合成的几何法，用几何法处理两个矢量的 合成还是比较简单的，但对于多个矢量的合成问题再 用几何法就显得麻烦了.为解决此问题人们引入了矢量 合成的解析法正交分解合成法，从而将矢量计算 转化为代数计算，使多个矢量的合成问题变的简单了。 1.正交分解：一个矢量 a 对应一个平行四边形 的对角线，一个对角线对应有无数个平行四边形，而 一个矢量可以由平行四边形法则分解为无数对分矢 量，在这无数对分矢量中必然包括一对相互垂直的分 矢量。 13 将一个矢量在选定的直角坐标系中，沿两个坐 标
7、轴的方向分解矢量的正交分解法。 如右图所示： 矢量 的方向： 矢量 的大小: 0 矢量a与x轴正向夹角 （可正、可负 ） （可正、可负 ） 14 注：已知一个矢量的大小和方向，它在直角坐 标系中的分量唯一确定,反之已知一个矢量在直角坐 标系中的两个分量则可完全确定该矢量的大小和方 向。 2. 正交合成 求： 解： ab+=? 又 x y b a c o 15 方向 ： 再求 ：abc= = ? 解 ： x y a b o 16 = 17 再如：计算 b x y a o 18 计算 x y a b 19 例：已知 方向如图，求合力F. 解：利用正交分解合成法 =-155 = - 93N =-15
8、5 =-124N =-300 =-212N =300 =212N x Y 45 53 45 53 45 53 30 20 F与x轴负方向夹角为55 F与x轴方向夹角 x Y 45 53 45 53 45 53 30 21 五 在同一直线上的矢量的运算 在同一直线上的矢量其方向仅有两个,因此可以 用正、负两个符号表示两个方向，具体做法是：沿着 矢量所在的直线选定一个正方向,即建立一维坐标系 （直线坐标系）.凡方向与正方向相同的矢量取正 值，凡方向与正方向相反的矢量取负值。这样用一个 带有正、负号的数值把矢量的大小和方向都表示出 来，从而将同一直线上的矢量运行转化为代数运算， 实际上这也是平行四边
9、形法则在特殊情况下的运用。 如：a=5 b=-3 c=a+b=5-3=2 a=5 b=-3 x 方向与正方向同 22 当然也可用平行四边形法则： 23 或 六. 两矢量的乘法 1. 两矢量的点积（数量积） 定义：两个矢量 和 的乘积定义为 两矢量之间的夹角。 b=3a=-5 x C矢量大小为2方向与规定正方向相反 b=3 a=-5 c=a+b =-5+3 =-2 ab 24 注：由于这种矢量的乘法是在 和 之间 放上一点来表示的，因此积得点积。由于这种 乘积的实际定义是 ，这是一个数量 （标量），因此又称为数量积。 如：物体向右运动 求力F可作的功W=？ f N F mg 1 F s ab 25 2.两矢量的叉积（矢量积） 定义：两个矢量 和 的叉积定义为另一个矢量 即： 它的数值是： 矢量的方向垂直于 ，垂直于 即垂直于 和 所 决定的平面。 矢量的方向用右手螺旋法则（右手抓法 ） 判定：伸开右手让右手四指从 的方向经小于 角， 抓向 ，则大拇指伸直的方向即 的方向。 c a b 26
