1、材料加工过程的数值模拟 微观组织数值模拟(V) 任课教师: 王锦程 Office：公字楼216 Tel ：029-88460650(O) Email ： jchwang The Cahn-Hilliard Equation (for conserved quantities) The Ginzbug-Landau (Allen-Cahn) Equation (for non-conserved quantities) 描述同构相变过程中，只涉及到成分场 的变化，成 分场 变化采用Cahn-Hilliard方程描述： M为化学迁移率，一般为系统成分和温度的函数。这类模型可 描述同构相变过程 系统
2、化学自由能密度 梯度能系数 弹性能 Ni-Al合金系统析出过程 (1,2, 3): (1,1,1)0, (-1,-1,1)0, (-1,1,-1)0, (1,-1,-1)0 Landau多项式自由能形式 三个序 参量场 一个序 参量场 1 11 1 11 1 2 2 1 4 4 33 CALPHAD自由能形式 高斯 散度 定理 平衡方程（物质或能量守恒 ） 微分 方程 随时间的 变化率 通量的散 度 内部的 源或汇 化学势 变分是求泛函的极值 广义菲克定律 化学势梯度，扩散 的驱动力 守恒序参量 非守恒序参量 场量变化速率与驱 动力成正比 序参量可看成广义坐标，能量对坐标的变分导数，类 似于能
3、量对广义坐标的微分导数，可看成广义力，即 驱动力。 粘性弛豫：运动速度（广义坐标的变化率）与驱动力 成正比（最简单的情形）。 相场模型建立步骤 ： 1.分析问题的物理背景，确定描述该体系组织演变的序 参量 2.根据所确定的序参量，建立描述体系各状态的统一自 由能形式 3.根据序参量特性，确定相应的动力学方程 4.确定模型中的各种参数 5.确定是否考虑系统中可能存在的各向异性 6.确定是否需要考虑系统的随机涨落 7.选择合适的数值算法求解偏微分方程组 相场法应用实例（II） 纯物质凝固相场模型的建立 1. 序参量确定 2. 自由能密度函数确定 3. 相场动力学方程 4. 温度场方程 5. 相场参
4、数确定（渐近分析法，平衡解法） 6. 各向异性 7. 噪声 于一个封空Rd，材料由界面 (t)Rd-1分割固/液两。于物有 枝晶生长：典型的Stefan 问题（自由边界问题） 远场条件 尖锐 界面 模型 需跟踪 界面 kinetic mobility 传热方程 界面守恒 Gibbs-Thomson 关系（曲率效应） Gibbs-Thompson 系数 纯物质相场模型包含 两个场变量：相场和 温度场(无浓度场)。 自由能密度写为序参量的级数展开形式： 序参量平衡值的确定: 自由能密度函数的构造(1) 在凝固点Tm进行泰勒展开： 其中： 当T=Tm时： 在 T=TM时，固相与液相的自由能相等 选取
5、： This term tilts the free energy wells up/down, allowing for discontinuous change in as T goes through 1st order transition at TM。 最终得到： 极小值在： 由于液相的自由能与序参量无关，可以将其作为参考态， 令其取值为0， 可将 f(,T) 重新写为如下形式： The “Double-Well” Free Energy Density 是一个双阱曲，其在 处，取最小值，对应着固相和液相。 如此形式要足：当 时，其导数 ，从而保证 曲线独立于温度，在 处（即固相和液
6、相）取极小值，而使体系处于稳态； 同时 满足 时 ， 时 Need a thermodynamic state function in terms of and so that solid liquid degree of ordering and a penalty for isothermally transforming from solid to liquid 自由能函数的构造 (2) Assembling the Free Energy Function “classic” Gibbs free energy of transformation can be set to zero,
7、 if liqid component A is taken as the reference state melting temperature 当时故 Trends in the Free Energy liquidsolid 系统自由能 liquid Interface penalty without solid with 相场动力学方程 Solid s=1 liquid L=0 propagation of interface 根据标准热传导方程: 考虑固/液界面熵的变化： 温度场方程 This (phenomenological) term accounts for the rele
8、ase of latent heat as the interface advances This is a flux-conservative equation, i.e. it conserves heat Flux in the absence of latent heat W Fourier定律 纯物质凝固相场模型 Karma纯物质凝固相场模型 A. Karma and W.J. Rappel PRE 1998, 57:4323 固相：液相： The phase-field (order parameter) and temperature field approach sharp-
9、interface profiles when w0 p渐近性分析的目的是将相场模型与尖锐界面模型联系起来， 从而证明相场法在解决自由边界问题的适用性。分析的原理 是选取界面厚度远小于某一物理尺度，尺度上的巨大差异可 以采用扰动展开法来解决。 相场模型参数获取方法：渐近分析 尖锐界面模型 相场模型 ？ 渐近分析 Interface kinetic coefficient Capillary length Note the details of a1 and a2 depend on the form of h(). See A. Karma and W.R. Rappel, Phys. Rev. E (1996) 相场模型的极限形式 p一维稳态解 在相场方程中引入的各个系数都不是一个可测量的物理参数。为了解这 些设定参数与宏观可测量的物理参量间的关系，考虑一维相变系统，其 在区域(-,0)是固相，在区域(0,)是液相,在x=0附近存在一个平直扩 散界面。假设T=TM=常数，该界面将保持不动。对这种情形，相场方程 变为 相场模型参数获取方法：平衡解 液固共存系统的界面自由能 p界面自由能或表面张力是扩散界面内的自由能的总和，可算出 表面张力为： The EndThe End
