1、2 2 线性空间的定义线性空间的定义 与简单性质 与简单性质 3 3 维数维数 基与坐标基与坐标 4 4 基变换与坐标变换基变换与坐标变换 1 1 集合集合 映射映射 5 5 线性子空间线性子空间 7 7 子空间的直和子空间的直和 8 8 线性空间的同构线性空间的同构 6 6 子空间的交与和子空间的交与和 第六章第六章 线性空间线性空间 1 一、集合一、集合 二、映射二、映射 6.1 6.1 集合集合 映射映射 2 一、一、集合集合(set)(set) 把一些事物汇集到一起组成的一个整体就叫做集合； 常用大写字母A、B、C 等表示集合； 当a是集合A的元素时，就说a 属于A，记作 ； 当a不是
2、集合A的元素时，就说a不属于A，记作 . 1 1、定义、定义 组成集合的这些事物称为集合的元素（element） 用小写字母a、b、c 等表示集合的元素 3 关于集合没有一个严谨的数学定义，只是有一 个描述性的说明集合论的创始人是19世纪中期德 国数学家康托尔（GCantor），他把集合描述为 ：所谓集合是指我们直觉中或思维中确定的，彼此 有明确区别的那些事物作为一个整体来考虑的结果 ；集合中的那些事物就称为集合的元素即，集合 中的元素具有：确定性、互异性、无序性. 注意注意 4 集合的表示方法一般有两种：描述法、列举法 描述法（描述法（descriptiondescription）：）： 列
3、举法（列举法（enumerationenumeration）：）： Mx | x具有性质P Ma1，a2，an 把构成集合的全部元素一一列举出来. 给出这个集合的元素所具有的特征性质. 5 例1 例2 N ， 2Z 例3 空集：不含任何元素的集合，记为 注意注意 约定： 空集是任意集合 的子集合. 6 2 2、集合间的关系、集合间的关系 如果B中的每一个元素都是A中的元素，则称B是 A的子集（subset），记作 ，（读作B包含 于A）. 当且仅当 如果A、B两集合含有完全相同的元素，则称 A与 B相等，记作AB . AB当且仅当 且 7 3 3、集合间的运算、集合间的运算 交： ； 并： ；
4、 显然有， 8 二、映射二、映射 设M、M是给定的非空集合，如果有 一个对 应法则，通过这个法则对于M的每一个元素a， 都有M中一个确定的元素a与它对应, 则称 为 称 a为 a 在映射下的象（image），而 a称a在 映射下的原象（inverse image），记作(a)a 或 M到M的映射（mapping），记作 . 1 1、定义、定义 9 1.设映射 , 集合 称之为M在映射下的象，通常记作 Im 2. 集合M 到M 自身的映射称为M 的一个变换 显然， 注意注意 10 例4 M是一个集合，定义I： I(a)a ， 即 I 把 M 上的元素映到它自身，I 是一个映射， 例5 任意一个在
5、实数集R上的函数 yf(x) 都是实数集R到自身的映射， 称 I 为 M 上的恒等映射（identity mapping）或 即，函数可以看成是映射的一个特殊情形 单位映射 11 2 2、映射的乘积、映射的乘积 设映射 ， (a)(a) 即相继施行和的结果， 是 M 到 M 的一个 映射 乘积定义为： 12 1. 对于任意映射 ，有 2. 映射， 有 注意注意 13 3 3、映射的性质、映射的性质 设映射 （1）若，即于任意，均存在 （surjection）或称 为映上（onto）的； ，使 ，则称 是M到M的一个满射 14 （3）若既是单射，又是满射，则称为双射（ bijection）, （
6、或称为 1-1对应）. 则称是M到M的一个单射（injection）或称 （或）， （2）若M中不同元素的象也不同，即 为1-1（one to one）； 15 例6 判断下列映射的性质 （1）Ma，b，c、M1,2，3 ：(a)1，(b)1，(c)2 （既不单射，也不是满射 ） ：(a)3，(b)2，(c)1 （2）M=Z，MZ， ：(n)|n|1, （是满射，但不是单射） （3）M，MP，（P数域） ：(A)|A|，（是满射，但不是单射） （双射） 16 （4）MP，M P为数域, En 位矩 ：(a)aE， （是单射，但不是满射） ：(a)a0， （既不单射，也不是满射） （6）MMPx
7、，P为数域 ：(f (x)f (x)， （是满射，但不是单射） （5）M、M任意非空集合， 固定元素 17 （7）M是一个集合，定义I： I(a)a， （8）M=Z，M2Z， ：(n)2n, （双射） （双射） 18 4 4、可逆映射、可逆映射 定义定义 设映射若有映射 使得 则称为可逆映射（invertible mapping），为的 的逆映射是由唯一确定的 记作1逆映射， 19 1. 若为可逆映射，则1也为可逆映射，且 （1）1 注意注意 2.可逆映射，若 则有 3. 为可逆映射的充要条件是 为1-1对应 20 ：若映射1-1 ， 均存在唯一的，使(x)y，作对应 即； 即 可逆映射 是一个M到M的映射, 且 21 即, 所以 射. 其次， 即为单射. 所以为1-1对应 反之， 可逆映射， 22 例7 设映射 ，证明： （1）如果 h 是单射，那么 f 也是单射； 这与h是单射矛盾， f 是单射 证：若 f 不是单射，则存在 于是有 23 （2）如果 h 是满射，那么 g 也是满射； 证： h 是满射，即 ， g 是满射又 24 （3）如果 f、g 都是双射，那么 h 也是双射，并且 证： 因为 g 是满射，存在 ,使 又因为 f 是满射，存在 ，使 h是满射 25 若，由于 f 是单射，有 又因为 g 是单射，有 即, 因而 h 是双射 h 是单射. 26 27
