1、首页上一页下一页结束 微积分 (第三版) 教学课件 4.3 函数的增减性 结论：均为锐角 x y o 2 l2 1 l1 y = f (x) 观察与思考 首页上一页下一页结束 微积分 (第三版) 教学课件 4.3 函数的增减性 结论：均为钝角 观察与思考 x y o 1 l1 2 l2 y = f (x) 首页上一页下一页结束 微积分 (第三版) 教学课件 4.3 函数的增减性 由此可见，函数的单调性与它的导数的符号有着密切的联 系；反过来，能否用导数的符号来判断函数的单调性呢？ ? 结论是肯定的！ 首页上一页下一页结束 微积分 (第三版) 教学课件 定理43(函数单调性的判定法) 只证(1)
2、 在(a, b)内任取两点x1 x2(x1x2) 应用拉格朗 日中值定理有 f(x2) f(x1) f ()(x2x1) (x1x2) 因为x(a, b)时恒有f (x)0 所以f ()0 又x2x10 因此 f(x2)f(x1)f ()(x2x1)0 即 f(x1)f(x2) 这就证明了函数f(x)在(a, b)内单调增加 证 设函数f(x)在区间(a b)内可导 那么 (1)如果x(a, b)时恒有f (x)0 则f(x)在(a, b)内单调增加 (2)如果x(a, b)时恒有f (x)0 则f(x)在(a, b)内单调减少 首页上一页下一页结束 微积分 (第三版) 教学课件 定理43(函
3、数单调性的判定法) 设函数f(x)在区间(a b)内可导 那么 (1)如果x(a, b)时恒有f (x)0 则f(x)在(a, b)内单调增加 (2)如果x(a, b)时恒有f (x)0 则f(x)在(a, b)内单调减少 说明 1. 判定法中的开区间可换成其他各种区间 2. 如果在区间(a b)内f (x)0(或f (x)0) 但等号只在个别 点处成立 则f(x)在(a b)内仍是单调增加(或单调减少)的 例如, 首页上一页下一页结束 微积分 (第三版) 教学课件 解 例1 确定函数f(x)x33x的单调增减区间 f (x)3x233(x1)(x1) 当x(, 1)时 f (x)0 函数f(
4、x)在(, 1)内单调增加 当x(1, 1)时 f (x)0 函数f(x)在(1, 1)内单调减少 函数f(x)在(1, )内单调增加 当x(1, )时 f (x)0 单调性的改变点是 使得 的点 解：的定义域为 当时，当时， 单调性的改变点 是 不存在的点 首页上一页下一页结束 微积分 (第三版) 教学课件 驻点 首页上一页下一页结束 微积分 (第三版) 教学课件 解： 列表考察 的符号 故函数的单增区间为 ，单减区间为 -+- 首页上一页下一页结束 微积分 (第三版) 教学课件 原理 1、证明不等式 1）将欲证的不等式化为 f(x)0 ,或 f(x)0 的形式； 2）证明f(x) 满足：单调性，起点函数值为零 单调性的应用 首页上一页下一页结束 微积分 (第三版) 教学课件 例4. 证: 得证. 能否用中 定理明 ? 首页上一页下一页结束 微积分 (第三版) 教学课件 例5. 首页上一页下一页结束 微积分 (第三版) 教学课件 练 习 2. 首页上一页下一页结束 微积分 (第三版) 教学课件 零点定理 2、 证明方程根的唯一性 （存在性） 函数单调性 （唯一性） 例6.
