1、page1 德州学院数学科学学院数学建模暑期培教案 数 学 建 模 主讲人： 高秀莲 数学建模实例 先看一个发生在我国的实例，2000年全国人口普 查，挨家挨户实查一年多（约5亿人年），查出是 12.66亿人，若用微分方程，一个大学生只花5分钟（ 5人分），算出是13.45亿人。两者结果相差不多（实 查和预测相差8000万人，占6.4%），但效率有天壤 之别，前者又费时又慢（约5亿人年），后者又省又 快（5人分）。这是什么道理呢？ page2 可见，数学能够作为预测或验证现实的一种又省 又快的方法。 常用的建模方法 page3 1.概率统计建模：数据统计描述、方差分析（ 单因素、多因素）、回归
2、分析（线性、非线 性、多元线性、逐步回归）、聚类分析等。 2.优化问题建模：非线性、多目标、动态规划 、图论。 3. 现代优化算法：蚁群算法、贪心算法、神经 网络 、遗传算法。 4. 数学实验-MATLAB、LINGO。 参赛队应具备的能力 page4 基本知识： 高等数学+线性代数，概率论 与 数理统 计， 数学规划（线性规划、整数 规划 、0-1规划、多目标规划、图论、排队 论等）、数值计算方法、常微分方程等 ； 能力要求： 建模能力，编程或实验能力，论文写作 能力，团结协作能力、文献检索与阅读 能力等（选读优秀论文，掌握论文写作方法 ，提高写作技能）。 热点建模问题 房价问题 网瘾问题,
3、网购问题 高等教育问题 金融危机问题 钓鱼岛、南海战争博弈问题 环境污染控制问题（雾霾问题、地下水、重金 属等） 食品安全问题 城镇化问题、计划生育问题、老龄化问题、交 通堵塞问题 大数据问题 历年本科组赛题列表 年度AB 1992 作物生长的施肥效果问题; 化学试验室的实验数据分解问题 1993通讯中非线性交调的频率设计问题足球甲级联赛排名问题 1994山区修建公路的设计造价问题锁具的制造、销售和装箱问题 1995飞机的安全飞行管理调度问题天车与冶炼炉的作业调度问题 1996最优捕鱼策略问题节水洗衣机的程序设计问题 1997零件参数优化设计问题 金刚石截断切割问题 1998投资的收益和风险问
4、题灾情的巡视路线问题 1999自动化机床控制管理问题地质堪探钻井布局问题 2000DNA序列的分类问题钢管的订购和运输问题 2001三维血管的重建问题公交车的优化调度问题 2002汽车车灯的优化设计问题彩票中的数学问题 2003SARS的传播问题露天矿生产的车辆安排问题 年度AB 2004 奥运会临时超市网点设计问题电力市场的输电阻塞管理问题 2005 长江水质的评价与预测问题DVD在线租赁问题 2006 出版社的资源管理问题艾滋病疗法的评价及预测问题 2007 中国人口增长预测问题“乘公交，看奥运”问题; 2008 数码相机定位问题高等教育学费标准探讨问题 2009 制动器试验台的控制方法问
5、题眼科病床的合理安排问题 2010 储油罐的变位识别与罐容表标定问题 2010年上海世博会影响力的定量评 估问题 2011 城市表层土壤重金属污染分析问题 交巡警服务平台的设置与调度问题 2012 葡萄酒的评价问题太阳能小屋的设计问题 2013 车道被占用对城市道路通行能力的影响 碎纸拼接 历年本科组赛题列表 命题特点 建模方法高度综合 现实性和导向性：问题和数据大多来源于工程、 科技、生活、管理等科研、工程实际问题，问题 的解决有一定现实意义和科研导向。 规模性：大规模变量或海量数据-必须借助数学 软件 数据结构的复杂性： 数据属性结构的复杂性 缺失或异常数据问题-数据的真实性 不是所有数据
6、都有用，如何筛选本身就是数学 建模 赛题中涉及到的数学方法 空间与解析理论、线性代数、微积分 概率与统计-方差、回归、时间序列、相关分析、聚 类或判别分析 运筹学或数学规划-线性、整数、0-1、非线性、多 目标规划 图论与网络优化 多因素综合评价 数值计算方法-数值微分，数值积分，插值与拟合等 差分与微分方程等机理分析建模方法 排队论、对策论、决策论 其他：模糊数学、 随机规划与决策、随机模拟、灰色 系 统理论、优化算法（神经网络、遗传算法、蚁群算 法等） 看上去简单、易理解的题目，一般并不容 易取得奖项； 看上去不好理解的题目，反而有可能 取得好的奖项； 尽早确定，避免犹豫不决，浪费时间-
7、-取胜关键：静下心来，仔细阅读，通 过查阅文献和相关资料，把问题想明白 ，并用数学语言严谨第表达清楚。 国家一等奖的名额分配平均分散 到各题 如何选题 耐心、 细心题目 注意仔细阅读题目，找 出并标注有关的关键词或关键句子，仔细体会可 能引导建模方向与问题目的的一切词汇 阅读题目通常会伴随竞赛全过程 确定目标要求找出所有与建模目的相关的 有关因素，理清各因素之间的关联关系或机理联 系，确定建模目标的基本结构和建模方法 分清建模的基本要求、难点或关键点 通过查阅文献和阅读相关图书或专业资料，寻 求问题难点和关键点的解决策略或方法创新亮 点 题意理解 先宏观、再微观，先主体，后细节；分清主 次，逐
8、次进行。先主要因素，后次要因素 不断选择 、不断论证、不断完善 关键点、难点的解决：逐步清晰化-亮点 现实与理想之间的平衡，简单与复杂之间 的博弈：模型的解应符合现实要求，即具有可 行性，最理想的解不一定具有可操作性；模型 并不一定越复杂越好，但过于简化有可能失真 ，复杂程度的高低应视问题的需要。 数学结构 在不断论证中，建模思路逐 步展开和完善 建模方向把握渐次清晰过程 u注重节奏与效率： 1 确立分时段的进展目标，合理分工 2 提倡讨论，但要提高讨论的有效率，避免无 意义争论； 3 以成效论优劣 u 论文写作 1 论文写作应视为竞赛的中间过程，避免等一 切做完后再着手写作 2 论文写作自始
9、至终应由一个队员执笔，避免 多人执笔出现混乱现象 建模方向把握渐次清晰过程 u端正态度 竞争意识，追求卓越，锲而不舍 态度是实力发挥的保证 平和心态，冷静思考 应避免的问题：投机意识和学术不端 参赛一次，受益终生 u创新 把每个细节处理到极致，就是创新。创新体现 在建模各个环节中 建模方向把握渐次清晰过程 建模论文的评价 * 1、假设的合理性 关键假设,并对假设的合理性进行解释,文中引用。 2、建模的创造性 鼓励创新,但要切实,不要离题搞标新立异。 3、结果的正确性 一般是没有标准答案的，但要自圆其说，好模型的 结果一般比较好,但不一定最好。 4、表述的清晰性 表述清晰、结构严谨、逻辑性强。撰
10、写论文是让他 人阅读的，前后表述应该是一个逻辑论证过程，即 是一个讲理的过程。要让人知其理，明其理。 如何撰写一篇高质量的竞赛论文 * 1、摘要写作：摘要是整篇文章的高度浓缩和精华 ，是整篇论文的重中之重。 在摘要中应体现：针对每个问题作了何种分析， 基于分析做出了哪些关键假设，采用了何种建模 方法，如何对模型参数进行识别（方法），建立 了什么模型；主要结果是什么；有什么 特色和创 新点，以及其它工作。 注意摘要中尽量不要出现公式、图形或表格，文 字精练，表达准确。 * 2、论文写作：要求层次分明，重点突出 论文是所有工作的完整体现，力争将你们 的工作和创造性成果或新的研究结果都充 分地 反映
11、出来 要求内容充实、论据充分、论证有力、主 题明确、格式规范、层次分明，通过大小 标题分为 若于个逻辑段落，让评委各取所 需，一目了然。 不要给评委留下更多的疑 问和猜测。 实事求是，不要过分夸张。 如何撰写一篇高质量的竞赛论文 关于论文写作的评价 规范性 数学表达的严谨性和完整性 前后自圆其说 培养结果检验意识：误差分析、稳 定性分析、灵敏度检验、假设检验 等 竞赛论文评阅中常见的问题 u数学建模是一个严谨的分析、论证、检验和应用 过程，建模论文前后应自圆其说。 u问题分析不透彻，不管条件与具体问题的差异， 直接引用或套用建模方法，缺乏必要的分析、观 察、论证或假设检验过程。 u整篇论文没有
12、明确的数学模型，只是根据赛题的 数据，利用软件计算，“凑”出结果，结果正确 与 否无论证； u罗列一系列假设或模型，既不作合理性和正确性 分析和评价，又不做模型优选和正确性评价，希 望碰上“参考答案”或“评阅思路” u建模方法不可信：吃透题意方面不足，没有 抓住和解决主要问题； u就事论事，形成数学模型的意识和能力欠缺 ； u 对所用方法一知半解，不管具体条件，套 用现成的方法，导致错误； u对结果的分析不够，怎样符合实际考虑不周 ； u撰写论文时间过于仓促，导致论文过于简单 ，该交代的内容被省略； 竞赛论文评阅中常见的问题 u写作方面的问题(摘要、简明、优缺点、参 考文献); 无参考文献，或
13、罗列一批参考文献，但在 论文正文中无引用 公式、符号、图形、表格不规范现象突出 ，主要体现在键盘公式、图形或表格无标 题和编号、计算结果直接屏幕截图 u队员之间合作精神差，孤军奋战； u依赖心理重，甚至违纪（指导教师、 网络 ） 竞赛论文评阅中常见的问题 0-1变量在数学建模和数学实验中的应用 page22 数学建模在实际问题和数学理论之间架起了桥梁，发挥了巨大 的作用，而数学模型的建立和求解需要实验。许多数学模型是 抽象的，只有通过数学实验才能迅速进行数值求解和定量分析 ，进一步地完善和构建数学模型。所谓“数学实验”就是利用计 算机系统作为研究工具，以数学理论作为实验原理，以数学素 材作为实
14、验对象，以简单的对话方式或复杂的程序方式作为实 验形式，以数值计算、符号演算、几何图形演示作为实验内容 ，以实例分析、模拟仿真、归纳总结等为主要实验方法，以辅 助学数学、辅助用数学或辅助作数学为实验目的，以实验报告 为最终形式的上机实践活动。数学素质是数学知识和能力的综 合体现，数学素质除了包含抽象思维能力、逻辑推理能力、空 间想象能力、数学运算能力外，还应包括数学建模能力与数值 计算能力，即会“用数学”解决实际问题，会用计算机进行科学 计算，而数学实验正是这种能力的很好体现和应用。 0-1变量在数学建模和数学实验中的应用 page23 近几年的数学建模竞赛题大都来自于工程技术与社会经济生活
15、，每一道题都紧扣当前社会热点，而每年都有这样一类题：给 定的人力、物力、财力怎样使得效益最大或给定的任务，怎样 用最少的人力、物力、财力去解决它 即属于“运筹学中的 规划论”部分，更确切地说，属于“规划论中的整数规划和混合 整数规划”，如2003年的A题：SARS的传播、B题：露天矿生产 的车辆安排； 2004年的A题：奥运会临时超市网点设计、B题 ：电力市场的输电阻塞管理； 2005年的A题：长江水质的评价 和预测、B题：DVD 在线租赁； 2006年的A题：出版社的资源 配置；2007年的B题：“乘公车，看奥运”； 2009年的B题：眼 科病床的合理安排问题；2011年的B题：交巡警服务平
16、台的设 置与调度问题； 2012年的B题：太阳能小屋的设计问题； 2013 年的B题：碎纸拼接问题。 生产和经营管理中经常提出如何合理安排，使人力 、物力等各种资源得到充分利用，获得最大的效益 ，这就是规划问题。 线性规划通常解决下列两类问题：线性规划通常解决下列两类问题： （1）当任务或目标确定后，如何统筹兼顾，合理安排，用 最少的资源 （如资金、设备、原标材料、人工、时间等） 去完成确定的任务或目标 （2）在一定的资源条件限制下，如何组织安排生产获得最 好的经济效益（如产品量最多 、利润最大.） （非）线性规划问题的数学模型 规划问题 page24 我们遇到的实际中的整数规划所涉及的重要问
17、题有： (1)运作问题(Operational Problems)例如：货物的分配、生 产调度、机器排序、运输问题等。 (2)计划问题(Planning Problems)例如：资金预算、选址问题 、证券组合分析等。 (3)设计问题(Design Problems)例如：通信和交通网络设计 、超大规模的集成电路设计、自动化生产线设计等。 其特点都是对资源进行有效管理，使其发挥尽可能大的效益 。传统的计算整数规划的方法有：“割平面法(Cutting Plane Algorithm)”和“分支定界法(Branch and Bound Method)”。但是 对于变量比较多的整数规划问题或是混合整数
18、规划问题，这些方 法就不太实用了。目前比较简单的方法就是引入0一l逻辑变量， 使得约束条件线性化，光滑化后用LINDOL1NG0来解决。 常规的整数规划的求解方法 page25 0 1变量的应用 page26 01变量也称为逻辑变量(Logical Variable)，常常表示 系统处于某种特定的状态，或者决策时是否取定某个特定方 案： 当系统处于特定状态，或决定取定方案 当系统不处于特定状态，或决定不取定方案 1 0 y = 这类问题常常出现在计划问题中的选址问题和证券组 合分析中，例如：在A1 、A2 、A3处建厂至多选择两个， 则可引入0-1 变量， 问题化为 ，其中 。 0-l变量在含
19、有相互排斥的计划问题中的应用 page27 对于这类相互矛盾的又必须同时出现在模型中的互斥约束， 可以通过引入0- 1变量及一个很大正数M，化为 可以看出当y=0时(1)式起作用，(2)式自然成立；y=1时(2)式 起作用，(1)式自然成立。 在建立数学模型的时候，有时会遇到相互矛盾的约束条件，而 模型只能是二者选择其一，例如： 与 是 相互矛盾的，显然不能同时将他们直接放在模型中，因为这两 个矛盾的约束案件的交集是空集，模型将无解，但是问题却需 要同时考虑这对矛盾的约束。 0-1变量在含有相互排斥的约束条件的问题中的应用 page28 更一般地 page29 0-1变量在含有相互排斥的约束条
20、件的问题中的应用 若n个约束条件 中只有k个起作用，可以通过引入0-1变量及一个很大正数M ，化为 其中 表明 个约束条件中有n-k个的右端项为 ， 为自然成立不起约束作用，而只有k个约束条件起作用 。 约束条件的右端项可能是r个值中 的某一个， page30 0-1变量在含有相互排斥的约束条件的问题中的应用 即 则定 义 则模型可 为： 我们经常能遇到含有固定费用的优化问题，尤其在存储问题 中，经常含有固定费用和可变费用两部分。这类含有固定费用的 问题一般不能用线性规划来表述，但是经过引入01变量可以化 为混合整数规划。例如用 表示产品j的生产数量，其生产费用 函数通常可表示 page31
21、0-1变量在含有固定费用的函数问题中的应用 其中 是与产量无关的生产准备费用。若问题的目标是使所 有产品的总生产费用为最小，即求 为了表达费用 函数 中的两个式子，引入01变量满足 page32 0-1变量在含有固定费用的函数问题中的应用 现引入一个任意大正数M ，则上述约束可表 为： 则模型可 为： page33 0-1变量在模型中的应用及其LINGO求解 考虑数学模型 满足以下约束条件： (3)下 等式至少有一个成立 ： 其中 将此问题归结为混合整数规划并求解。 page34 0-1变量在模型中的应用及其LINGO求解 解：引入0-1 变量 则模型化为： page35 利用LINGO求解
22、model: min=20*y1+5*x1+12*y2+6*x2; x1-1000*y110; 2*x1+x2+1000*y415; x1+x2+1000*y515; x1+2*x2+1000*y615; y4+y5+y62; x1-x2+0*y7-5*y8+5*y9-10*y10+10*y11=0; y7+y8+y9+y10+y11=1; bin(y1);bin(y2);bin(y3);bin(y4);bin(y5);bin(y6);bin(y7);bin(y8); bin(y9);bin(y10);bin(y11); end 计算结果 Global optimal solution fou
23、nd. Objective value: 70.00000 Extended solver steps: 0 Total solver iterations: 14 Variable Value Reduced Cost Y1 1.000000 20.00000 X1 10.00000 0.000000 Y2 0.000000 12.00000 X2 0.000000 11.00000 Y3 0.000000 0.000000 Y4 0.000000 0.000000 Y5 1.000000 0.000000 Y6 1.000000 0.000000 Y7 0.000000 0.000000 Y8 0.000000 25.00000 Y9 0.000000 -25.00000 Y10 1.000000 50.00000 Y11 0.000000 -50.00000 Row Slack or Surplus Dual Price 1 70.00000 -1.000000 2 990.0000 0.000000 3 0.000000 0.000000
