1、6.2 变形体系的虚功原理 6.2.1 功、实功与虚功 1、功 功包含了力和位移两个因素。 2、静力荷载所做的功 静力荷载，是指荷载由零逐渐以微小的增量缓慢地 增加到最终值，结构在静力加载过程中，荷载与内 力始终保持平衡。 所谓实功，是指力在其自身引起的位移上所做的功。 All Rights Reserved重庆大学土木工程学院 3、常力所做的虚功 所谓虚功，是指力在另外的原因（诸如另外的荷载、温度 变化、支座移动等）引起的位移上所做的功。 FP FP1 FP1 D D11 D11 q21 o 12 实功 6.2.1 功、实功与虚功 All Rights Reserved重庆大学土木工程学院
2、FP1在12上做的功 W12是力FP1在另外的原因（M2）引起的位移上所做的 功，故为虚功。所谓“虚”，就是表示位移与做功的力 无关。在作虚功时，力不随位移而变化，是常力，故 在计算式中没有系数“1/2”。 FP1 (先)FP1 D11 D12 D12 q21 q22 11 1 22 2 M2(后) M2 6.2.1 功、实功与虚功 All Rights Reserved重庆大学土木工程学院 对于各种形式常力所做的虚功，用力和位移这两个彼此 独立无关的因子的乘积来表示，即 式中，FP是做功的与力有关的因素，称为广义力，可 以是单个力、单个力偶、一组力、一组力偶等。是 做功的与位移有关的因素，称
3、为与广义力相应的广义 位移，可以是绝对线位移、绝对角位移、相对线位移 、相对角位移等。 6.2.2 广义力和广义位移 All Rights Reserved重庆大学土木工程学院 6.2.3 刚体体系虚功原理 刚体体系处于平衡的必要和充分条件是，对于符合约 束条件的任意微小虚位移，刚体体系上所有外力所做 的虚功总和等于零 。 6.2.4 变形体的虚功原理 1、关于原理的表述 变形体系处于平衡的必要及充分条件是，对于符合约 束条件的任意微小虚位移，变形体系上所有外力在虚 位移上所做虚功总和等于各微段上内力在其变形虚位 移上所做虚功总和。 All Rights Reserved重庆大学土木工程学院
4、6.2.4 变形体的虚功原理 或者简单地说，外力虚功等于变形虚功（数量上等于 虚变形能）。 2、关于原理的证明 All Rights Reserved重庆大学土木工程学院 (1)按外力虚功与内力虚功计算（从变形的连续条件考虑） dW总= dW外+dW内 将微段ds上的作用 力区分为外力与内 力,微段总的虚功 FP FR1 FR2 FR3 Mq ds ds dsdsds ds ds g0 g0 du dv d q M FN FQ M+dM FN+dFN FQ+dFQ A A BC D A1 B1 C1 D1 C2 D2 力状态 位移状态 All Rights Reserved重庆大学土木工程学院
5、 整个结构的总虚功为 或简写为 W总=W外+W内 由于任何两相邻微段的相邻截面上的内力是成对 出现的，它们大小相等，方向相反；又由于虚位 移是光滑的、连续的，两微段相邻的截面总是紧 密贴在一起的，而且有相同的位移，因此，每一 对相邻截面上的内力所做的虚功总是相互抵消的 。 All Rights Reserved重庆大学土木工程学院 W内=0 因此 W总=W外（a） 由此可见，必有 (2)按刚体虚功与变形虚功计算（从力系的平衡条件考虑） 对微段的虚位移则区分为刚体虚位移和变形虚位移两类 All Rights Reserved重庆大学土木工程学院 微段总的虚功 dW总=dW刚+dW变 FP FR1
6、 FR2 FR3 Mq ds ds dsdsds ds ds g0 g0 du dv d q M FN FQ M+dM FN+dFN FQ+dFQ A A BC D A1 B1 C1 D1 C2 D2 力状态 位移状态 All Rights Reserved重庆大学土木工程学院 dW总=dW刚+dW变 由刚体虚功原理，可知 dW刚=0 于是，微段上总的虚功 dW总=dW变 对于全结构，有 因此，有 W总=W变 (b) 由于微段上弯矩、轴力和剪力的增量dM、dFN和dFQ以 及分布荷载q在这些变形上所做虚功为高阶微量而可略 去，因此微段上各力在其变形上所做的虚功为 dW变= Md+ FNdu +
7、 FQdv All Rights Reserved重庆大学土木工程学院 假如此微段上还有集中荷载或力偶荷载作用，可以认为它 们作用在截面AB上，因而当微段变形时，它们并不做功 。总之，仅考虑微段的变形虚位移而不考虑其刚体虚位移 时，外力不做功，只有截面上的内力做功。对于平面杆系 有 dW变= Md+ FNdu + FQdv (c ) W变实际上是所有微段上内力在变形虚位移上所做虚功的总 和，称为变形虚功（数量上等于虚变形能）。 All Rights Reserved重庆大学土木工程学院 须注意的是：这里（2）中的W变与（1）中的W内是有 区别的。（1）中的W内是指所有微段上内力在截面的 总位移
8、（包括刚体位移和变形位移两部分）上所做虚 功的总和，如前所述，它恒等于零；而这里（2）中的 W变仅指所有微段上内力在截面的变形位移上所做虚功 的总和。 比较（a）、（b）两式，可得 W外=W变 就是我们需要证明的结论。它不仅适用于杆件结构，也适用 于板、壳等非杆件结构。 All Rights Reserved重庆大学土木工程学院 对于平面杆系而言，因为单个外力虚功按式（6-5） W=FP计算，故所有外力（包括荷载和支座反力）在虚 位移上所做虚功的总和为 W外=SFPD 将有关W外和W变的计算式（e）和（c）代入式（6-6） ，则平面杆件结构的虚功方程可表示为 （e） （6-7） 平衡力系 位移
9、状态 All Rights Reserved重庆大学土木工程学院 3、关于原理的说明 1）在上面的推证过程中，只考虑了力系的平衡条件和变 形的连续条件。所以，虚功方程既可以用来代替平衡方 程，也可以用来代替几何方程（即协调方程）。 2）虚功方程是个“两用方程”，具体应用时可有两种形式 。鉴于力系与变形彼此是独立无关的，因此，如果力系 是给定的，则可虚设位移，式（6-7）便称为变形体系的 虚位移方程，它代表力系的平衡方程，常可用于求力系 中的某未知力；如果位移是实有的，则可虚设力系，式 （6-7）便称为变形体系的虚力方程，它代表几何协调方 程，常可用于求实际位移状态中某个未知位移。本章即 主要介绍虚力方程及其应用。 All Rights Reserved重庆大学土木工程学院 3）在推证式（6-6）时，没有涉及到材料的性质。因此， 变形体系的虚功方程是一个普遍方程，既适用于弹性问 题，也适用于非弹性问题。 4）变形体系的虚功原理同样适用于刚体体系。由于刚体 体系发生虚位移时，各微段不产生任何变形位移，故变形 虚功W变=0，于是式（6-6）成为 W=0 刚体体系的虚功原理只是变形体系虚功原理的一个特例。 （6-8） 3、关于原理的说明 All Rights Reserved重庆大学土木工程学院
