1、目录 上页 下页 返回 结束 第四节 一、隐函数的导数 二、由参数方程确定的函数的导数 隐函数和参数方程求导 第二章 1 目录 上页 下页 返回 结束 一、隐函数的导数 若由方程可确定 y 是 x 的函数 , 由表示的函数 , 称为显函数 . 例如,可确定显函数 可确定 y 是 x 的函数 , 但此隐函数不能显化 . 函数为隐函数 . 则称此 隐函数求导方法: 两边对 x 求导( 注意 y = y(x) ) (含导数 的方程) （隐函数的显化） 2 目录 上页 下页 返回 结束 例1. 求由方程 在 x = 0 处的导数 解: 方程两边对 x 求导 得 因 x = 0 时 y = 0 , 故
2、确定的隐函数 3 目录 上页 下页 返回 结束 例2. 求椭圆在点处的切线方程. 解: 椭圆方程两边对 x 求导 故切线方程为 即 4 目录 上页 下页 返回 结束 的一阶导数 确定的隐函数求由方程练习： 二阶导数 解: 方程两边对 x 求导， 得 5 目录 上页 下页 返回 结束 隐函数求高阶导数 法1: 由隐函数直接求出一阶导数,用一阶导 数的显式继续求导. 法2: 反复用隐函数的表达式直接求n阶导数. 6 目录 上页 下页 返回 结束 例3 解 7 目录 上页 下页 返回 结束 练习 设 由方程确定 , 解: 方程两边对 x 求导, 得 再求导, 得 当时,故由 得 再代入 得 求 8
3、目录 上页 下页 返回 结束 观察函数 方法: 先在方程两边取对数, 然后利用隐函数的求导 方法求出导数. -对数求导法 适用范围: 对数求导法，可用来求幂指函数和多个因子连乘积 函数、开方及其它适用于对数化简的函数的求导 对数求导法 9 目录 上页 下页 返回 结束 例4. 求的导数 . 解: 两边取对数 , 化为隐式 两边对 x 求导 10 目录 上页 下页 返回 结束 1) 对幂指函数 可用对数 说明: 按指数函数求导公式按幂函数求导公式 注意: 求导法求导 : 11 目录 上页 下页 返回 结束 求的导数 . 解: 12 目录 上页 下页 返回 结束 2) 有些显函数用对数求导法求导很
4、方便 . 例如, 两边取对数 两边对 x 求导 13 目录 上页 下页 返回 结束 又如, 对 x 求导 两边取对数 14 目录 上页 下页 返回 结束 二、由参数方程所确定的函数的导数 例如 消去参数 问题: 消参困难或无法消参如何求导? 15 目录 上页 下页 返回 结束 若参数方程可确定一个 y 与 x 之间的函数 可导, 且 则 时, 有 时, 有 (此时看成 x 是 y 的函数 ) 关系, 16 目录 上页 下页 返回 结束 若上述参数方程中二阶可导,且 则由它确定的函数 可求二阶导数 . 利用新的参数方程 ,可得 17 目录 上页 下页 返回 结束 例5 解 18 目录 上页 下页
5、 返回 结束 例6 解 19 目录 上页 下页 返回 结束 所求切线方程为 20 目录 上页 下页 返回 结束 ? 例7. 设, 且求 已知 解: 练习: 解: 注意 : 对谁求导? 求 21 目录 上页 下页 返回 结束 例8. 设由方程 确定函数 求 解: 方程组两边对 t 求导 , 得 故 22 目录 上页 下页 返回 结束 内容小结 1. 隐函数求导法则直接对方程两边求导 2. 对数求导法 :适用于幂指函数及某些用连乘, 连除表示的函数 3. 参数方程求导法 求高阶导数时,从低到高每次都用参数方程求导公式 23 目录 上页 下页 返回 结束 1. 设由方程确定, 解: 方程两边对x 求
6、导, 得 且 存在，求 思考与练习 24 目录 上页 下页 返回 结束 解 解得 25 目录 上页 下页 返回 结束 作业 P82 1(2)(3) ; 2 ; 4 (2) (4) ; 5 (1) (2); 6 (2) ; 8 第五节 26 目录 上页 下页 返回 结束 求其反函数的导数 . 解: 方法1 方法2 等式两边同时对 求导 思考题 1. 设 27 目录 上页 下页 返回 结束 , 求 解：方程组两边同时对 t 求导, 得 2. 设 28 目录 上页 下页 返回 结束 3. 设求 提示: 分别用对数求导法求 答案: 29 目录 上页 下页 返回 结束 练 习 题 一、 填空题： 1、
7、设01552 223 =+-+- yxyyxx确定了 y是x的函 数，则 )1 , 1( dx dy =_. 2、 曲线7 33 =-+ xyyx在点（1，2）处的切线方程 是_. 3、 曲线 = = tty ttx sin cos 在 2 p =t 处的法线方程_. 4、 已知 = = tey tex t t sin cos ,则 dx dy =_； 3 p =t dx dy =_. 5、 设 yx exy + = ,则 dx dy =_. 30 目录 上页 下页 返回 结束 二、 求下列方程所确定的隐函数y 的二阶导数 2 2 dx yd ： 1、 ； 2、 ； 3、 y x x y =
8、)00( yx ，. 三、 用对数求导法则求下列函数的导数： 1、 2 x x y = ； 2、 5 4 )1( )3(2 + -+ = x xx y； 3、 x exxy-=1sin. 31 目录 上页 下页 返回 结束 四、 求下列参数方程所确定的函数的二阶导数 2 2 dx yd ： 1、 = = tby tax sin cos ； 2、 -= = )()( )( tftf ty tfx 设)(tf 存在且不为零 . 五、 求由参数方程 -= += tty tx arctan )1ln( 2 所确定的函数的 二阶导数 2 2 dx yd . 六、设)(xf满足 xx fxf 3 ) 1
9、(2)(=+，求)(xf . 32 目录 上页 下页 返回 结束 练习题答案 一、1、 3 4 ； 2、 02311=-+yx 3、0 22 =+- pp yx ； 4、32, sincos cossin - - + tt tt ； 5、 yx yx ex ye + + - - . 二、1、； 2、-)(cot)(csc2 32 yxyx+； 3、 3 22 )1(ln )1(ln)1(ln + +-+ yxy xxyy . 33 目录 上页 下页 返回 结束 三、1、 )1ln2( 1 2 + + xx x ； 2、 1 5 3 4 )2(2 1 )1( )3(2 5 4 + - - - + -+ xxxx xx ； 3、 )1(2 cot 1 1sin 2 1 x x x e e x x exx - -+- . 四、1、 ta b 32 sin ； 2、 )( 1 tf . 五、 2 4 1 t t + . 六、 2 1 2 x + . 34
