1、1 把若干物体平均分给一定数量的对象，并不是 每次都能正好分完。如果物体还有剩余，就叫盈； 如果物体不够分，少了，叫亏。凡是研究盈和亏这 一类算法的应用题就叫盈亏问题。 解盈亏问题的公式 【一盈一亏的解法】 (盈数+亏数)两次每人分配数的差 【双盈的解法】 (大盈-小盈)两次每人分配数的差 【双亏的解法】 (大亏-小亏)两次每人分配数的差 2 由解盈亏问题的公式可以看出，求解此类问题的 关键是确定两次分配数量的差和盈亏的总额，如果两 次分配是一次是有余，另一次是不足时，则依上面的 公式，先求得人数(不是物数)，再求出物数；如果两 次分配都是有余，则公式变成盈额差除以两次分配数 之差；如果两次分
2、配都是不足时，则公式变成亏额差 除以两次分配数之差。有些应用题，从表面看起来似 乎不是盈亏问题，但认真分析，将条件适当地转化后 ，竟然可变成盈亏问题进行解答。必须转化题目中条 件，才能从复杂的数量关系中寻找解答；有时候，直 接从“包含”入手比较困难，可以间接从其反面“不包 含”去想就会比较容易。 3 例1： 小朋友分糖果，若每人分4粒则多9粒；若每人 分5粒则少6粒。问：有多少个小朋友分多少粒糖？ 4 由题目条件可以知道，小朋友的人数与糖的粒数 是不变的。比较两种分配方案，第一种方案每人分 4粒就多9粒，第二种方案每人分5粒就少6粒，两种 不同的方案一多一少相差9615（粒）。相差的 原因在于
3、两种方案的分配数不同，第一种方案每人 分4粒，第二种方案每人分5粒，两次分配数之差为 541（粒）。 5 每人相差1粒，多少人相差15粒呢？由此求出 小朋友的人数为15115（人），糖果的粒数为 415969（粒）。 解：（96）（5-4）15（人）， 415969（粒）。 答：有15个小朋友，分69粒糖。 6 例2： 小朋友分糖果，若每人分3粒则剩2粒；若每人 分5粒则少6粒。问：有多少个小朋友？多少粒糖果 ？ 7 本题与例1基本相同，本题中两次分配数之差 是5-32（粒）,两种分配方案的盈数与亏数之和 为26=8（粒）。仿照例1的解法即可。 解：（62）（4-2）4（人）， 34214（粒
4、）。 8 由上两例看出，所谓盈亏问题，就是把一定数量 的东西分给一定数量的人，由两种分配方案产生不 同的盈亏数，反过来求出分配的总人数与被分配东 西的总数量。解题的关键在于确定两次分配数之差 与盈亏总额（盈数+亏数），由此得到求解盈亏问 题的公式： 分配总人数=盈亏总额两次分配数之差。 需要注意的是，两种分配方案的结果不一定总 是一“盈”一“亏”，也会出现两“盈”、两“亏”、一“ 不盈不亏”一“盈”或“亏”等情况。 9 例3： 小朋友分糖果，每人分10粒，正好分完；若每 人分16粒，则有3个小朋友分不到糖果。问：有多 少粒糖果？ 10 第一种方案是不盈不亏，第二种方案是亏163 48（粒），所
5、以盈亏总额是048=48（粒），而 两次分配数之差是16-106（粒）。由盈亏问题的 公式得 有小朋友（0163）（16-10）8（人） ， 有糖10880（粒）。 11 例4： 一批小朋友去买东西，若每人出10元则多8元 ；若每人出7元则少4元。问：有多少个小朋友？东 西的价格是多少？ 12 两种购物方案的盈亏总额是8412（元）， 两次分配数之差是10-73（元）。由公式得到 小朋友的人数（84）（10-7）4（人）， 东西的价格是104-832（元）。 13 例5： 顾老师到新华书店去买书，若买5本则多3元； 若买7本则少1.8元。这本书的单价是多少？顾老师 共带了多少元钱？ 14 买5
6、本多3元，买7本少1.8元。盈亏总额为3 1.8=4.8（元），这4.8元刚好可以买7-52（本） 书，因此每本书4.82=2.4（元），顾老师共带钱 2.45315（元）。 15 例6： 王老师去买儿童小提琴，若买7把，则所带的钱 差110元；若买5把，则所带的钱还差30元。问：儿童 小提琴多少钱一把？王老师带了多少钱？ 16 本题在购物的两个方案中，每一个方案都出现钱不 足的情况，买7把小提琴差110元，买5把小提琴差30 元。从买7把变成买5把，少买了7-5=2（把）提琴， 而钱的差额减少了110-3080（元），即80元钱可 以买2把小提琴，可见小提琴的单价为每把40元钱。 解：（11
7、0-30）（7-5）40（元）， 407-110170（元）。 答：小提琴40元一把，王老师带了170元钱。 17 例7： 某班学生去划船，如果增加一条船，那么每条船 正好坐6人；如果减少一条船，那么每条船就要坐9人 。问：学生有多少人？ 有些问题初看似乎不像盈亏问题，但将题目条件 适当转化，就露出了盈亏问题的“真相”。 18 本题也是盈亏问题，为清楚起见，我们将题中条 件加以转化。假设船数固定不变，题目的条件“如果 增加一条船”表示“如果每船坐6人，那么有6人无 船可坐”；“如果减少一条船”表示“如果每船坐9 人，那么就空出一条船”。这样，用盈亏问题来做， 盈亏总额为69=15，两次分配的差
8、为9-63。 解：（69）（9-6）5（条）， 656=36（人）。 答：有36名学生。 19 例8： 少先队员植树，如果每人挖5个坑，那么还有3个 坑无人挖；如果其中2人各挖4个坑，其余每人挖6个 坑，那么恰好将坑挖完。问：一共要挖几个坑？ 20 我们将“其中2人各挖4个坑，其余每人挖6个坑” 转化为“每人都挖6个坑，就多挖了4个坑”。这样就变 成了“典型”的盈亏问题。盈亏总额为437（个） 坑，两次分配数之差为6-51（个）坑。 解：3（6-4）2（6-5）7（人） 57338（个）。 答：一共要挖38个坑。 21 例9： 在桥上用绳子测桥离水面的高度。若把绳子对折 垂到水面，则余8米；若
9、把绳子三折垂到水面，则余2 米。问：桥有多高？绳子有多长？ 22 因为把绳子对折余8米，所以是余了82=16（ 米）；同样，把绳子三折余2米，就是余了32 6（米）。两种方案都是“盈”，故盈亏总额为 16-6=10（米），两次分配数之差为3-21（折 ），所以 桥高（82-23）（3-2）10（米）， 绳子的长度为2108236（米）。 23 例10： 有若干个苹果和若干个梨。如果按每1个苹果配2 个梨分堆，那么梨分完时还剩2个苹果；如果按每3个 苹果配5个梨分堆，那么苹果分完时还剩1个梨。 问：苹果和梨各有多少个？ 24 容易看出这是一道盈亏应用题，但是盈亏总额 与两次分配数之差很难找到。原
10、因在于第一种方 案是1个苹果“搭配”2个梨，第二种方案是3个苹 果“搭配”5个梨。如果将这两种方案统一为1个苹 果“搭配”若干个梨，那么问题就好解决了。将原 题条件变为“1个苹果搭配2个梨，缺4个梨；1个 苹果搭配 个梨，多一个梨”，此时盈亏总额为 4+1=5（个）梨，两次分 配数之差为2- = （个）梨。所以 有苹果5 =15（个） 有梨152-426（个） 25 例11： 乐乐家去学校上学，每分钟走50米，走了2分钟 后，发觉按这样的速度走下去，到学校就会迟到8分 钟。于是乐乐开始加快速度，每分钟比原来多走10米 ，结果到达学校时离上课还有5分钟。问：乐乐家离 学校有多远？ 26 乐乐从改
11、变速度的那一点到学校，若每分钟 走50米，则要迟到8分钟，也就是到上课时间时 ，他离学校还有508400（米）；若每分钟多 走10米，即每分钟走60米，则到达学校时离上课 还有5分钟，如果一直走到上课时间，那么他将 多走（5010）5300（米）。所以盈亏总额 ，即总的路程相差 400300700（米）。 两种走法每分钟相差10米，因此所用时间为 7001070（分）， 也就是说，从乐乐改变速度起到上课时间有 70分钟。所以乐乐家到学校的距离为 50（2708）4000（米） 27 例12： 王师傅加工一批零件，每天加工20个，可以提前 1天完成。工作4天后，由于改进了技术，每天可多加 工5个
12、，结果提前3天完成。问：这批零件有多少个？ 28 每天加工20个，如果一直加工到计划时间， 那么将多加工20个零件；改进技术后，如果一直 加工到计划时间，那么将多加工（205）3 75（个）。盈亏总额为75-2055（个）。两种 加工的速度比较，每天相差5个。 根据盈亏问题的公式，从改进技术时到计划 完工的时间是55511（天），计划时间为11 415（天），这批零件共有： 20（15-1）280（个） 29 1小朋友分糖果，每人3粒，余30粒；每人5粒 ，少4粒。问：有多少个小朋友？多少粒糖？ 2一个汽车队运输一批货物，如果每辆汽车运 3500千克，那么货物还剩下5000千克；如果每辆汽 车运4000千克，那么货物还剩下500千克。问：这个 汽车队有多少辆汽车？要运的货物有多少千克？ 3学校买来一批图书。若每人发9本，则少25 本；若每人发6本，则少7
