1、第一章 弹性力学基本方程 1.1 应力分量 1.1 一点的应力状态 外力分为两类 体力：分布在物体体积内的力，如重力、磁 力或运动物体的惯性力等，称为体力(body force) 面力：是分布在物体表面的作用力，例如一 个物体对另一物体作用的压力，如水压力等 ，称做面力(surface traction) 集中力 分布力 内力：物体在外力作用下产生变形，物体反 抗物体的变形的、彼此间相互作用力，称为 内力 外力：外因 内力：内因 外因通过内因而起作用 外力：起源因素 内力：决定因素 材料力学：截面法 内力 外力 内力 外力 外力 外力 外力 外力 ? ? 内力 内力 应力矢量：截面上任一点M邻
2、域S上作用的力 F 与S面积之比的极限值，也称全应力 pN随截面的法线 方向n的方向改变 而变化 pN 问题： pN的方向与截面的法线方向是否一致？ pN 应力状态一点所有截面应力矢量的集合。 显然，弹性体内某确定点各个截面的应力 应力状态必然存在一定的关系。 应力状态分析讨论一点截面方位改变引起 的应力变化趋势。 应力状态对于结构强度是十分重要的。 准确描述应力状态，合理的应力参数。 为了探讨各个截面应力的变化趋势，确定可以 描述应力状态的参数，通常将应力矢量分解。 应力矢量沿坐标分解 没有工程意义 正应力和切应力 正应力s N与切应力t N 与结构强度关系密切 根据截面方位不能完全确定切应
3、力 应力分量应力张量 应力张量可以描述一点应力状态 pN 应力张量 应该注意 应力分量是标量 箭头仅是说明方向 N pN N=l .i+m .j+n .k l 、m 、n是什么? ABC的面积为dS OAC的面积为mdS OAB的面积为ndS OBC的面积为ldS pN=pxi + pyj + pzk x轴平衡条件 pxdS - x ldS - yx mdS - zx ndS=0 px - x l -yx m- zx n=0 px =x l +yx m+ zx n pN N px = x l + yx m + zx n py = xy l + x m + zy n pz = xz l + yz
4、 m + z n 任一点的应力 矢量可以用应力张 量来描述，应力张 量可以完全描述应 力状态。 应力矢量与应力分量的关系 pN N 公式表明：已知应力张量，可以确定任意方位 微分面的应力矢量。 当然可以确定正应力s N与切应力t N。 px = x l + yx m + zx n py = xy l + x m + zy n pz = xz l + yz m + z n pN N pN t N s N 切应力 正应力 1.2 主应力与主方向 切应力为零的平面称为主平面，主平面上 的正应力称为主应力，主平面的法线方向称 为主方向。主应力是强度分析的重要参考。 主平面上应力矢量的三个分量 px =
5、 l，py = m，pz = n 关于l，m，n的齐次线性方程组，非零解的条 件为方程组的系数行列式等于零，即 其中： 主元之和 代数主子式之和 应力张量元素 构成的行列式 主应力特征方程 应力状态特征方程 确定弹性体内部任意一点主应力和应力 主轴方向。 主应力和应力主轴方向取决于载荷、形状和 边界条件等，与坐标轴的选取无关。 因此，特征方程的根是确定的，即I1、I2、I3 的值是不随坐标轴的改变而变化的。 I1、I2、I3 分别称为应力张量的第一、第二 和第三不变量。 特征方程有三个实数根 s1，s2，s3分别表示这三个根，代表某点三个 主应力。 对于应力主方向，将s1，s2，s3分别代入
6、和 l2+m2+n2=1 则可求应力主方向。 主应力和应力主方向取决于结构外 力和约束条件，与坐标系无关。 因此特征方程的三个根是确定的。 特征方程的三个根，即一点的三 个主应力均为实数。 根据三次方程性质可以证明。 任意一点三个应力主方向是相互 垂直的三个应力主轴正交的。 应力不变量性质 坐标系的改变导致应力张量各分量变化，但应 力状态不变。 应力不变量正是对应力状态性质的描述。 l不变性 l实数性 l正交性 主应力正交性证明： 下面证明下述结论： 1. 若s1s2s3，特征方程无重根； 应力主轴必然相互垂直； 2. 若s1s2s3，特征方程有两重根； s1和s2的方向必然垂直于s3的方向。
7、而s1和 s2的方向可以是垂直的，也可以不垂直； 3. 若s1=s2=s3，特征方程有三重根； 三个应力主轴可以垂直，也可以不垂直， 任何方向都是应力主轴。 设s1，s2，s3 的方向分别为（l1，m1，n1）， （l2，m2，n2）和（l3，m3，n3），则 分别乘以l2，m2，n2 分别乘以-l1,-m1,-n1 六式相加，可得 如果 s1s2s3 3个应力 主方向相 互垂直 如果 s1=s2s3 可以等于零，也 可以不等于零。 s3与s1和s2的方向垂直， 而s1和s2的方向可以垂直或不垂直。 s3的垂直方向都是s1和s2的应力主向 。 如果 s1=s2=s3 则 l1l2+m1m2+n1n2 l2l3+m2m3+n2n3 l1l3+m1m3+n1n3 均可为零或者不为零。 任何方向都是应力主方向 。 因此问题可证。 1.若s1s2s3，应力主轴必然相互垂直； 2.若s1s2s3，s1和s2必然垂直于s3。而s1 和s2可以是垂直的，也可以不垂直； 3. 若s1=s2=s3，任何方向都是应力主轴。 1.3 最大切应力 莫尔圆 应力球张量和应力偏张量 应力张量的分解 应力球量改变单元 体体积， 应力偏量改变单元 体形状。 八面体单元
