1、3 3 力偶理论力偶理论 与力一样，力偶是力学中的一个基本量。作 用于刚体上的力偶不能使刚体产生移动效应，只 能使刚体产生转动效应。 力偶是一种特殊的力系，没有合力，不能与 单个力平衡。 但它具有可移转性、可改变性等重要性质， 它对刚体的转动效应完全取决于力偶矩矢。 1 3.1 力偶、力偶矩矢 3.1.1 力偶的概念 如图3-1所示，作用于刚体上大小 相等、方向相反的一对平行力，称为 力偶（Couple），记作（F，F）。 由二力平衡公理可知，力偶不是平衡力系，它是一种 特殊的力系。在力偶的作用下，刚体会产生转动效应。例 如，汽车司机用双手转动方向盘，钳工用丝锥攻螺纹，电 动机转子受到电磁力作
2、用旋转等等，都是力偶作用下刚体 的转动效应。 图3-1 2 力偶是力学中的一个基本量。 力偶没有合力。 力偶不能与单个力等效，也不能与单个力平衡。 力偶只能与力偶等效，只能与力偶平衡。 作用于刚体上的一群力偶构成力偶系（System of couples）。 力偶系可分为平面力偶系（Coplanar couple system ）和空间力偶系（Three dimensional couple system）。 3 3.1.2 力偶矩矢 力偶（F，F）的两个力的作用线所确定的平面 称为力偶作用平面(见图3-2)。两个力作用线之间的垂 直距离d称为力偶臂，力偶对刚体的作用效应取决于三 个因素: （
3、1）乘积Fd； （2）力偶的转向； （3）力偶作用面的方位。 这三个因素用一个矢量表示，称为力偶矩矢，记 为M。力偶矩矢的表示法如下：矢的长度按一定的比 例表示力偶矩的大小Fd ；矢的方位垂直于力偶作用面 ；矢的指向按右手规则确定，即右手四指的指向符合 力偶转向而握拳时，大拇指伸出的方向就是力偶矩矢 的转向。 F d M F 图3-2 4 对于平面力偶系，各力偶作用面相互重合，因 此各力偶矩矢的方位相同。这时，力偶矩矢可用一 代数量表示(见图3-3)，即 M 一般规定，当力偶使刚体产生逆时针的转动时， 力偶矩取正号，反之则取负号。力偶矩的单位为牛 米（N m），或千牛米（kN m）。 图3-3
4、 5 3.1.3 力偶的等效 若两个力偶对刚体的作用效应相同，则称这二力 偶等效。 两力偶的等效条件 ：力偶矩矢相等，即 (3-2) 3.1.3.1 力偶的可移、可转性 在保持力偶矩矢不变的前提下，力偶可在其作用 面内任意移动、转动，不改变力偶对刚体的转动效应 。因此，力偶对刚体的作用与其在作用面内的位置无 关。 在保持力偶矩矢不变的前提下，力偶可以平行地 移至另一个平面内，而不改变力偶对刚体的转动效应 。因此，力偶矩矢为自由矢量。 6 在保持力偶矩矢不变的前提下，可以任意改变力 偶中力的大小和力偶臂的长短，而不改变力偶对刚体 的转动效应。可见，力偶中力的大小和力偶臂的长短 都不是决定力偶效应
5、的独立因素。 3.1.3.2 力偶的可改变性 在保持力偶矩矢不变的前提下，力偶的这些变化 都不会改变力偶对刚体的作用效应。因此，今后我们 只关心力偶的力偶矩矢，而不过问该力偶中力的大小 、方向和作用线。故在表示力偶时，只要在力偶作用 面内用一带箭头的弧线表示力偶的转向，旁边标注力 偶矩M的值即可，如图3-3所示。 7 3.2 平面力偶系的合成与平衡 3.2.1 平面力偶系的合成 设作用于刚体上同一平面内的n个力偶（F1，F1） ，（F2，F2），（Fn，Fn）对刚体的作用效应与 力偶（FR，FR）对刚体的作用效应相同，则称力偶（ FR，FR）是力偶（F1，F1），（F2，F2），（Fn ，Fn
6、）的合力偶。一般情况下，平面力偶系可合成为 一个合力偶，合力偶矩等于原力偶系中各力偶矩的代 数和，即 （3-3） 8 证明：设作用于刚体上的平面力偶系（F1，F1），（ F2，F2），（Fn，Fn），其力偶臂分别为d1，d2 ，dn，如图3-4所示。 则各力偶的力偶矩分别为 ， F1 F2 Fn d1 dn d2 F11 F21 Fn1 d A B d A B FR ， 图3-4 9 3.2.2 平面力偶系的平衡方程 式（3-4）称为平面力偶系的平衡方程。由于只有一 个平衡方程，因此只能求解一个未知量。 平面力偶系平衡的必要与充分条件是：所有各 力偶矩的代数和等于零，即 （3-4） 10 例
7、3-1 如图3-5所示机构，各杆自重不计，在两力偶作用 下处于平衡。已知：M1 = 100 N m，O1A = 40 cm，O2B = 60 cm 。试求力偶矩M2的大小。 M1 FO1 FA A O1 M2 FB FO2 B O2 解：取O1A杆为研究对象，受力如图3-5(b) 所示， 列平衡方程有 AB 图3-5 M1 M 2 O2 O1 A 30 o B (a) (b) 11 AB杆为二力构件，则有 取O2B杆为研究对象，受力如图3-5(b)所示。 列平衡方程有 12 3.3 空间力偶理论 3.3.1 空间力偶系的合成 一般情况下，平面力偶系可合成为一个合力偶， 合力偶矩等于原力偶系中各
8、力偶矩的代数和，即 （3-5） 在实际计算中，通常采用投影形式。 （3-6） 13 合力偶矩矢的大小和方向余弦 （3-7） 3.3.2 空间力偶系的平衡方程 空间力偶系平衡的充分必要条件为：合力偶对应 的力偶矩矢量为零矢量。 （3-8） 14 空间力偶系的平衡方程 （3-8） 例 3-2 如图3-6所示，在长方体的两个对角面上分别作用二 力偶 (F1，F1)。已知：F1 = 200 kN，F2 = 100 kN。试求这两个 力偶的合力偶矩矢。 解：设力偶(F1，F1)，(F2，F2) 的力偶矩矢分别为M1和M2， 图3-6 15 取Oxyz直角坐标系，将各力偶矩矢平移到O点，如图3-6 所示。则合力偶矩矢在三个直角坐标轴上的投影分别为 合力偶矩矢的大小和方向余弦为 16 例 3-3 作用于如图3-7所示楔块上的三个力偶处于平衡。 已知： 。试求力F1和F2的大小。 列空间力偶系平衡方程 解：取楔块为研究对象 将各力偶矩矢平移到O点， 解得 图3-7 17
