1、1 第二章 线性方程组的解法 2 2.1 高斯列主元消去法 2.2 对称正定矩阵的平方根法 第二章 线性方程组的解法 2.4 线性方程组的迭代法 2.5 向量范数与矩阵范数 2.6 方程组的性态和迭代法的收敛分析 3 2.1 Gauss列主元消去法 一、Gauss消去法 4 对线性方程组 对其增广矩阵施行行初等变换: 一般的 5 定义行乘数 6 且 7 定义行乘数 8 9 10 运算量: 计算机作乘除运算所耗时间要远远多于加减运算 且在一个算法中，加减运算和乘除运算次数大体相当 故在衡量一个算法的运算量时只需统计乘除的运算次数 乘法次数： 除法次数： 11 全部回代过程需作乘除法的总次数为 于
2、是Gauss消去法的乘除法运算总的次数为 数级 12 Gauss消去法乘除法约为2700次 而如果用Cramer法则的乘除法运算次数约为 用行列式定义 13 例1.用Gauss消去法解线性方程组(用3位十进制浮 点数计算） 解:本方程组的精度较高的解为 用Gauss消去法求解(用3位十进制浮点数计算) 引例: 二、 Gauss列主元消去法 14 9999 回代后得到 与精确解相比,该结果相当糟糕 究其原因,在求行乘数时用了很小的数0.0001作除数 15 如果在求解时将1,2行交换,即 0.9999 回代后得到 这是一个相当不错的结果 16 例2.解线性方程组(用8位十进制尾数的浮点数计算)
3、解:这个方程组和例1一样,若用Gauss消去法计算会有 小数作除数的现象,若采用换行的技巧,则可避免 17 绝对值最大 不需换行 18 经过回代后可得 事实上,方程组的准确解为 19 例2所用的方法是在Gauss消去法的基础上,利用换行 避免小主元作除数,该方法称为Gauss列主元消去法 20 1.Gauss消去法消元过程的矩阵描述 行变换相 当于左乘 初等矩阵 由于 2.2 对称正定矩阵的平方根法 一、矩阵的三角分解 21 令 则 显然若令 22 则有 因此 从而 故 23 即 且 顺序主元 24 定义1. 不带行交换的Gauss 消去法的消元过程,产生 一个单位下三角矩阵L和一个上三角矩阵
4、U,即 该过程称之为 由上述分析不难得到 注：Crout分解 25 Gauss消去法 可以执行 定理1. 在定理中,可能注意到 可能存在 26 如何求L,U ? 27 上式可记为 28 同样,由 29 综合以上分析,有 因此可以推导出 U的第一行 L的第一列 -(1) -(2) 30 U的第r行 L的第r列 -(3) -(4) 称上述(1) (4)式所表示的分解过程为Doolittle分解 31 对于线性方程组 系数矩阵非奇异,经过Doolittle分解后 线性方程组可化为下面两个三角形方程组 32 33 例1. 用Dolittle分解和Crout分解方法分别解方程组 34 1、定理1. (C
5、holesky分解) 且该分解式唯一. 这种关于对称正定矩阵的分解称为Cholesky分解. 二、对称正定矩阵的平方根法 35 -(6) -(7) -(8) 36 37 2、对称正定线性方程组的解法 线性方程组 -(10) -(11) 则线性方程组(10)可化为两个三角形方程组 -(12) -(13) 38 -(14) -(15) 对称正定方程 组的平方根法 39 例1.用平方根法解对称正定方程组 解: 40 41 即 42 所以原方程组的解为 练习. 求下列矩阵的Cholesky分解 43 3、平方根法的数值稳定性 用平方根法求解对称正定方程组时不需选取主元 由 可知 因此 平方根法是数值稳定的 事实上,对称正定方程组也可以用顺序Gauss消去法求解 而不必加入选主元步骤 44 三、 三对角方程组求解的追赶法 45 46 47 48 其计算工作量为5n-4次乘除法。工作量小，其 实现的条件为qi不为零。有以下定理可得证三对 角矩阵求解的充分性条件。 49 解三对角矩阵线性方程组的追赶法程序框图 50 本节作业
