1、动态 模型 描述对象特征随时间(空间)的演变过程 分析对象特征的变化规律 预报对象特征的未来性态 研究控制对象特征的手段 根据函数及其变化率之间的关系确定函数 微分 方程 建模 根据建模目的和问题分析作出简化假设 按照内在规律或用类比法建立微分方程 数学模型 1 传染病模型 问题 描述传染病的传播过程 分析受感染人数的变化规律 预报传染病高潮到来的时刻 预防传染病蔓延的手段 按照传播过程的一般规律，用机 理分析方法建立模型 数学模型 2 已感染人数 (病人) i(t) 每个病人每天有效接触(足以使人致病)人数为 模型1 【模型假设】 若有效接触的是病人，则不 能使病人数增加 必须区分已感染者(
2、病人)和 未感染者(健康人) 【模型构成】 ? 数学模型 3 模型2区分已感染者(病人)和未感染者(健康人) 1）总人数N不变，病人和健康 人的 比例分别为 2）每个病人每天有效接触人数为, 且使接触的健康人致病 日 接触率 SI 模型 数学模型 【模型假设】 【模型构成】 4 模型2 1/2 tm i i0 1 0 t tm传染病高潮到来时刻 (日接触率) tm Logistic 模型 病人可以治愈！ ? t=tm, di/dt 最大 数学模型 5 模型3 传染病无免疫性病人治愈成为健 康人，健康人可再次被感染 增加假设 SIS 模型 3）病人每天治愈的比例为 日治愈率 日接触率 1/ 感染
3、期 一个感染期内每个病人的有效 接触人数，称为接触数。 数学模型 【模型构成】 6 模型3 i0 i0 接触数 =1 阈值 感染期内有效接触感染的健康者人 数不超过病人数 1-1/ i0 模型2(SI模型)如何看作模型3(SIS模型)的特例 i di/dt 0 1 1 0t i 1 1-1/ i 0 t 1 di/dt 1/ i(t)先升后降至0 P2: s01/ i(t)单调降至0 1/ 阈值 P3 P4 P2 S0 数学模型 11 模型4 SIR模型 预防传染病蔓延的手段 (日接触率) 卫生水平 (日治愈率) 医疗水平 传染病不蔓延的条件s01/ 的估计 降低 s0提高 r0 提高阈值 1/ 降低 (=/) , 群体免疫 数学模型 12 模型4 SIR模型 被传染人数的估计 记被传染人数比例 xs0 i 0 P1 i0 0, s0 1 小, s0 1 提高阈值1/降低被传 染人数比例 x s0 - 1/ = 数学模型 13
