1、 。 正态分布正态分布 若随机变量若随机变量X的分布密度的分布密度 22 2/)( 2 1 )( = = x exf )(+ + x N (-3 , 1.2 ) -6-5-4-3-2-1 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 3= 应用场合应用场合 若随机变量 X 受到众多相互独立的随 机因素的影响,而每一因素的影响都是微小 的, 且这些影响可叠加,则 X 服从正态分布. 可用正态变量描述的实例非常之多：可用正态变量描述的实例非常之多： 各种测量的误差；人的生理特征； 工厂产品的尺寸；农作物的收获量； 海洋波浪的高度；金属线的抗拉强度； 热噪声电流强度；学生们的考试成绩； LL
2、LL X的分布函数为的分布函数为 dtexF t x 22 2/)( 2 1 )( = = 特别地称特别地称N(0,1)为标准正态分布，其概率 密度及分布函数常记为： 为标准正态分布，其概率 密度及分布函数常记为： 2/ 2 2 1 )( x ex = = = x t dtex 2/ 2 2 1 )( = = = = b a x b a dxe dxxfbXaP 2 2 2 )( 2 1 )( 如如XN(,2)，有，有 )()( = = ab bXaP 证明：证明： 时也成立。或结论当时也成立。或结论当+ + = = =ba )( 2 1 )( , 2/ 2 = = = = x dtexF x
3、ba x t 有时，特别地，当有时，特别地，当 )()( = = ab = = b a t dte 2 2 2 1 = = b a x x de)( 2 1 2 2 2 )( = = x t令令 )1 , 0( )( )()( )( N xx P x xF x PxPxF = = = = = = Q )1 , 0(),( 2 NN ，则如 ，则如 证明：证明： 例例：设设N(1，4)，求，求P12 0919. 0 8413. 09332. 0 )1()5 . 1( ) 2 11 () 2 12 (21 = = = + + = = = = + + = = XPF FXP -6-5-4-3-2-1
4、 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 （3）f(x)的图形关于直线的图形关于直线x=对称，即对称，即 )()(xfxf+ += = )()(xx = = )(1)(xx = = （4）F(x)=1F(u+x) 特别 特别 特别 特别 x= f(x) x )()( , = = x xF（5） (x) x= )( 1 ,0 xf )( 1 . 0, 0 xf )( 5 . 2,0 xf 固定时， 的值越小， 固定时， 的值越小，f(x)的图形就愈尖、越狭。 的值越大， 的图形就愈尖、越狭。 的值越大，f(x)的图形就愈平、越宽。的图形就愈平、越宽。 Showfn1,fn3 大 小
5、 -6-5-4-3-2-1 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 几何意义大小与曲线陡峭程度成反比 数据意义大小与数据分散程度成正比 1)(2 )(1 )( )()( = = = = = = = = x xx xx xxPxP 1)(2)1 , 0(=，则如，则如 证明：证明： )(1 21 1 xxP xPxP = = 例例1：设设N(0,1)，借助于标准正态分布的分 布函数 ，借助于标准正态分布的分 布函数 (x)的表计算：的表计算： ;24. 1)1( P ;54. 1)2( P （1）解：）解： 1075. 08925. 01 )24. 1(1 )24. 1(24. 1 = = =
6、= = = P （2） 1)54. 1(2 54. 1 = = = 例例2 解：解： 95. 010. 05 . 01 2 1 1)(=xPx x=1.645 例例3 设已知测量误差设已知测量误差XN（0，102），现独 立重复进行 ），现独 立重复进行100次测量，求误差绝对值超过次测量，求误差绝对值超过19.6 的次数不少于的次数不少于3的概率。 解： 第一步 的概率。 解： 第一步:以以A表示一次测量中表示一次测量中“误差绝对值超 过 误差绝对值超 过19.6”的事件，则有的事件，则有 05. 0)96. 1(2296. 1 10 1 6 .1916 .19)( = = = = X P
7、XPXPAP 第二步第二步:以以Y表示表示100次独立重复测量中，事件次独立重复测量中，事件 A发生的次数，则发生的次数，则B（100，0.05），所求 概率是 ），所求 概率是 P（Y3）=1P（Y3） 8754. 0 ! 2 5 ! 1 5 ! 0 5 1 )2()1()0(1 )3(1)3( 525150 = = = = hXP hXP hXP 184 33. 2 6 170 99. 09901. 0)33. 2( 99. 0) 6 170 ()()( )6170( 2 = = = = h h h hXPhXP NX 得 查正态分布表得 ， 得 查正态分布表得 ，Q 例例5：从南郊某地乘
8、车前往北区火车站搭火车 有两条路线可走，第一条穿过市区，路程较 短，但交通拥挤，所需时间（单位分钟）服 从正态分布 ：从南郊某地乘车前往北区火车站搭火车 有两条路线可走，第一条穿过市区，路程较 短，但交通拥挤，所需时间（单位分钟）服 从正态分布N(50,100)，第二条沿环城公路 走，路线较长，但意外堵塞较少，所需时间 （单位分钟）服从正态分布 ，第二条沿环城公路 走，路线较长，但意外堵塞较少，所需时间 （单位分钟）服从正态分布N(60,16)， （ ， （1）如有）如有70分钟可用，问应走哪一条路线？ （ 分钟可用，问应走哪一条路线？ （2）如只有）如只有65分钟可用，问应走哪一条路线？分钟
9、可用，问应走哪一条路线？ 解：解： 应走第二条路线。 的概率为：走第二条路线及时赶到 的概率为：走第一条路线及时赶到 分钟可用时有 表示行车时间。设 应走第二条路线。 的概率为：走第二条路线及时赶到 的概率为：走第一条路线及时赶到 分钟可用时有 表示行车时间。设 = = = = = = = = 9938. 0) 4 6070 (70 9772. 0) 10 5070 (70 70)1( P P 应走第一条路线。 的概率为：走第二条路线及时赶到 的概率为：走第一条路线及时赶到 分钟可用时有 应走第一条路线。 的概率为：走第二条路线及时赶到 的概率为：走第一条路线及时赶到 分钟可用时有 = = = = = = = = 8944. 0) 4 6065 (65 9332. 0) 10 5065 (65 65)2
