1、3.1导数的应用(一)典例精析题型一求函数f(x)的单调区间来源:来源:【例1】已知函数f(x)x2axaln(x1)(aR)，求函数f(x)的单调区间.【解析】函数f(x)x2axaln(x1)的定义域是(1，).f(x)2xa，若a0，则1，f(x)0在(1，)上恒成立，所以a0时，f(x)的增区间为(1，).若a0，则1，故当x(1，时，f(x)0；当x，)时，f(x)0，所以a0时，f(x)的减区间为(1，f(x)的增区间为，).【点拨】在定义域x1下，为了判定f(x)符号，必须讨论实数与0及1的大小，分类讨论是解本题的关键.【变式训练1】已知函数f(x)x2ln xax在(0,1)上
2、是增函数，求a的取值范围.来源:数理化网【解析】因为f(x)2xa，f(x)在(0,1)上是增函数，所以2xa0在(0,1)上恒成立，即a2x恒成立.又2x2(当且仅当x时，取等号).所以a2，故a的取值范围为(，2.来源:来源:【点拨】当f(x)在区间(a，b)上是增函数时f(x)0在(a，b)上恒成立；同样，当函数f(x)在区间(a，b)上为减函数时f(x)0在(a，b)上恒成立.然后就要根据不等式恒成立的条件来求参数的取值范围了.题型二求函数的极值【例2】已知f(x)ax3bx2cx(a0)在x1时取得极值，且f(1)1.(1)试求常数a，b，c的值；(2)试判断x1是函数的极小值点还是
3、极大值点，并说明理由.【解析】(1)f(x)3ax22bxc.因为x1是函数f(x)的极值点，所以x1是方程f(x)0，即3ax22bxc0的两根.由根与系数的关系，得 又f(1)1，所以abc1. 由解得a，b0，c.(2)由(1)得f(x)x3x，所以当f(x)x20时，有x1或x1；当f(x)x20时，有1x1.来源:所以函数f(x)x3x在(，1)和(1，)上是增函数，在(1,1)上是减函数.所以当x1时，函数取得极大值f(1)1；当x1时，函数取得极小值f(1)1.【点拨】求函数的极值应先求导数.对于多项式函数f(x)来讲， f(x)在点xx0处取极值的必要条件是f(x)0.但是，
4、当x0满足f(x0)0时， f(x)在点xx0处却未必取得极值，只有在x0的两侧f(x)的导数异号时，x0才是f(x)的极值点.并且如果f(x)在x0两侧满足“左正右负”，则x0是f(x)的极大值点，f(x0)是极大值；如果f(x)在x0两侧满足“左负右正”，则x0是f(x)的极小值点，f(x0)是极小值.来源:【变式训练2】定义在R上的函数yf(x)，满足f(3x)f(x)，(x)f(x)0，若x1x2，且x1x23，则有()A. f(x1)f(x2)B. f(x1)f(x2)C. f(x1)f(x2)D.不确定【解析】由f(3x)f(x)可得f3(x)f(x)，即f(x)f(x)，所以函数
5、f(x)的图象关于x对称.又因为(x)f(x)0，所以当x时，函数f(x)单调递减，当x时，函数f(x)单调递增.当时，f(x1)f(x2)，因为x1x23，所以，相当于x1，x2的中点向右偏离对称轴，所以f(x1)f(x2).故选B.题型三求函数的最值【例3】 求函数f(x)ln(1x)x2在区间0,2上的最大值和最小值.【解析】f(x)x，令x0，化简为x2x20，解得x12或x21，其中x12舍去.来源:又由f(x)x0，且x0,2，得知函数f(x)的单调递增区间是(0,1)，同理， 得知函数f(x)的单调递减区间是(1,2)，所以f(1)ln 2为函数f(x)的极大值.又因为f(0)0
6、，f(2)ln 310，f(1)f(2)，所以，f(0)0为函数f(x)在0,2上的最小值，f(1)ln 2为函数f(x)在0,2上的最大值.【点拨】求函数f(x)在某闭区间a，b上的最值，首先需求函数f(x)在开区间(a，b)内的极值，然后，将f(x)的各个极值与f(x)在闭区间上的端点的函数值f(a)、f(b)比较，才能得出函数f(x)在a，b上的最值.【变式训练3】(2008江苏)f(x)ax33x1对x1,1总有f(x)0成立，则a.【解析】若x0，则无论a为何值，f(x)0恒成立.当x(0,1时，f(x)0可以化为a，设g(x)，则g(x)，x(0，)时，g(x)0，x(，1时，g(
7、x)0.因此g(x)maxg()4，所以a4.当x1,0)时，f(x)0可以化为a，此时g(x)0，g(x)ming(1)4，所以a4.综上可知，a4.总结提高1.求函数单调区间的步骤是：(1)确定函数f(x)的定义域D；(2)求导数f(x)；(3)根据f(x)0，且xD，求得函数f(x)的单调递增区间；根据f(x)0，且xD，求得函数f(x)的单调递减区间.2.求函数极值的步骤是：(1)求导数f(x)；(2)求方程f(x)0的根；(3)判断f(x)在方程根左右的值的符号，确定f(x)在这个根处取极大值还是取极小值.3.求函数最值的步骤是：先求f(x)在(a，b)内的极值；再将f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)、f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值. 3 / 3精品DOC
