1、14.2直接证明与间接证明典例精析题型一运用综合法证明 【例1】设a0，b0，ab1，求证：8.【证明】因为ab1，所以1122248，当且仅当ab时等号成立.【点拨】在用综合法证明命题时，必须首先找到正确的出发点，也就是能想到从哪里起步，我们一般的处理方法是广泛地联想已知条件所具备的各种性质，逐层推进，从已知逐渐引出结论.来源:【变式训练1】设a，b，c0，求证：abc.【证明】因为a，b，c0，根据基本不等式，有b2a，c2b，a2c.三式相加：abc2(abc).来源:即abc.题型二运用分析法证明【例2】设a、b、c为任意三角形三边长，Iabc，Sabbcca.求证：I24S.来源:【
2、证明】由I2(abc)2a2b2c22(abbcac)a2b2c22S，故要证I24S，只需证a2b2c22S4S，即a2b2c22S.欲证上式，只需证a2b2c22ab2bc2ca0，即证(a2abac)(b2bcba)(c2cacb)0，只需证三括号中的式子均为负值即可，即证a2abac，b2bcba，c2cacb，即abc，bac，cab，显然成立，因为三角形任意一边小于其他两边之和.故I24S.来源:【点拨】(1)应用分析法易于找到思路的起始点，可探求解题途径.(2)应用分析法证明问题时要注意：严格按分析法的语言表达；下一步是上一步的充分条件.【变式训练2】已知a0，求证：a2.【证明
3、】要证a2，只要证2a.因为a0，故只要证(2)2(a)2，即a244a222(a)2，从而只要证2(a)，只要证4(a2)2(a22)，即a22，而该不等式显然成立，故原不等式成立.题型三运用反证法证明【例3】 若x，y都是正实数，且xy2.求证：2或2中至少有一个成立.来源:【证明】假设2和2都不成立.则2，2同时成立.因为x0且y0，所以1x2y且1y2x，两式相加得2xy2x2y，所以xy2，这与已知条件xy2相矛盾.因此2与2中至少有一个成立.来源:【点拨】一般以下题型用反证法：当“结论”的反面比“结论”本身更简单、更具体、更明确；否定命题，唯一性命题，存在性命题，“至多”“至少”型
4、命题；有的肯定形式命题，由于已知或结论涉及到无限个元素，用直接证明形式比较困难因而往往采用反证法.【变式训练3】已知下列三个方程：x24ax4a30；x2(a1)xa20；x22ax2a0，若至少有一个方程有实根，求实数a的取值范围.来源:【解析】假设三个方程均无实根，则有来源:由(4a)24(4a3)0，得4a24a30，即a；由(a1)24a20，得(a1)(3a1)0，即a1或a；来源:由(2a)24(2a)0，得a(a2)0，即2a0.以上三部分取交集得Ma|a1，则三个方程至少有一个方程有实根的实数a的取值范围为RM，即a|a或a1.总结提高分析法与综合法各有其优缺点：分析法是执果索因，比较容易寻求解题思路，但叙述繁琐；综合法叙述简洁，但常常思路阻塞.因此在实际解题时，需将两者结合起来运用，先用分析法寻求解题思路，再用综合法简洁地叙述解题过程.从逻辑思维的角度看，原命题“pq”与逆否命题“qp”是等价的，而反证法是相当于由“q”推出“p”成立，从而证明了原命题正确.因此在运用反证法的证明过程中要特别注意条件“q”的推理作用.综合法与分析法在新课标中第一次成为独立的显性的课题，预测可能有显性的相关考试命题.反证法证明的关键是在正确的推理下得出矛盾，这个矛盾可以是与已知矛盾，或与假设矛盾或与定义、公理、公式事实矛盾等. 3 / 3精品DOC
