1、18.4柯西不等式和排序不等式典例精析题型一用柯西不等式、排序不等式证明不等式【例1】设a1，a2，an都为正实数，证明：a1a2an.【证明】方法一：由柯西不等式，有来源:()(a2a3ana1)()2(a1a2an)2.不等式两边约去正数因式a1a2an即得所证不等式.方法二：不妨设a1a2an，则aaa，.来源:由排序不等式有aaaaaaaa1a2an，故不等式成立.方法三：由均值不等式有a22a1，a32a2，a12an，将这n个不等式相加得a2a3ana12(a1a2an)，整理即得所证不等式.【点拨】 根据所证不等式的结构形式观察是否符合柯西不等式、排序不等式的结构形式或有相似之处
2、.将其配成相关结构形式是解决问题的突破口，有时往往要进行添项、拆项、重组、配方等方法的处理.【变式训练1】已知abc1，且a、b、c是正数，求证：9.【证明】左边2(abc)()(ab)(bc)(ca)()(111)29，(或左边(ab)(bc)(ca)()332229)所以9.题型二用柯西不等式求最值来源:学科网【例2】 若实数x，y，z满足x2y3z2，求x2y2z2的最小值.【解析】 由柯西不等式得，(122232)(x2y2z2)(x2y3z)24(当且仅当1kx,2ky,3kz时等号成立，结合x2y3z2，解得x，y，z)，所以14(x2y2z2)4.所以x2y2z2.故x2y2z2
3、的最小值为.【点拨】 根据柯西不等式，要求x2y2z2的最小值，就要给x2y2z2再配一个平方和形式的因式，再考虑需要出现定值，就要让柯西不等式的右边出现x2y3z的形式，从而得到解题思路.由此可见，柯西不等式可以应用在求代数式的最值中.【变式训练2】已知x22y23z2，求3x2yz的最小值.【解析】因为(x22y23z2)32()2()2(3xyz)2(3x2yz)2，所以(3x2yz)212，即23x2yz2，当且仅当x，y，z时，3x2yz取最小值，最小值为2.题型三不等式综合证明与运用【例3】 设x0，求证：1xx2x2n(2n1)xn.【证明】(1)当x1时，1xx2xn，由排序原
4、理：顺序和反序和得11xxx2x2xnxn1xnxxn1xn1xxn1，即1x2x4x2n(n1)xn.又因为x，x2，xn，1为序列1，x，x2，xn的一个排列，于是再次由排序原理：乱序和反序和得1xxx2xn1xnxn11xnxxn1xn1xxn1，来源:即xx3x2n1xn(n1)xn，来源:将和相加得1xx2x2n(2n1)xn.(2)当0x1时，1xx2xn.由仍然成立，于是也成立.综合(1)(2)，原不等式成立.【点拨】 分类讨论的目的在于明确两个序列的大小顺序.【变式训练3】把长为9 cm的细铁线截成三段，各自围成一个正三角形，求这三个正三角形面积和的最小值.来源:【解析】设这三
5、个正三角形的边长分别为a、b、c，则abc3，且这三个正三角形面积和S满足：来源:数理化网3S(a2b2c2)(121212)(abc)2S.当且仅当abc1时，等号成立.总结提高1.柯西不等式是基本而重要的不等式，是推证其他许多不等式的基础，有着广泛的应用.教科书首先介绍二维形式的柯西不等式，再从向量的角度来认识柯西不等式，引入向量形式的柯西不等式，再介绍一般形式的柯西不等式，以及柯西不等式在证明不等式和求某些特殊类型的函数极值中的应用.2.排序不等式也是基本而重要的不等式.一些重要不等式可以看成是排序不等式的特殊情形，例如不等式a2b22ab.有些重要不等式则可以借助排序不等式得到简捷的证明.证明排序不等式时，教科书展示了一个“探究猜想证明应用”的研究过程，目的是引导学生通过自己的数学活动，初步认识排序不等式的数学意义、证明方法和简单应用.3.利用柯西不等式或排序不等式常常根据所求解(证)的式子结构入手，构造适当的两组数，有难度的逐步调整去构造.对于具体明确的大小顺序、数目相同的两列数考虑它们对应乘积之和的大小关系时，通常考虑排序不等式. 3 / 3精品DOC
