1、质心数学竞赛第一轮 2019 寒第四讲函数综合 2 质心数学竞赛第一轮 2019 寒第四讲函数综合 2 课程目标 ? ? Course Goals K 不动点 (考试要求：B，考查频率：0.03，难度：2.67) 1. 理解不动点的定义以及求解方式； 2. 能够利用不动点进行简单的代数变形 K 二阶不动点 (考试要求：A，考查频率：0.03，难度：3.18) 1. 理解二阶不动点的定义以及求解方式； 2. 能够将二次不动点问题转化为曲线的公共点问题 K 迭代函数的解析式 (考试要求：A，考查频率：0.01，难度：2.50) 1. 能够求解简单的迭代函数的解析式； 2. 掌握一些常见的具有迭代周
2、期的函数； 3. 了解桥函数及其工作原理 K 抽象函数 (考试要求：B，考查频率：0.05，难度：3.24) 1. 掌握常见的抽象函数对应的函数原型； 2. 能够利用函数原型进行抽象函数的性质的论证 K 函数方程 (考试要求：A，考查频率：0.06，难度：2.87) 1. 能够求解一些简单的函数方程； 2. 可以用柯西方法求解简单的函数方程 Powered by 质心教育 https:/ 1 质心数学竞赛第一轮 2019 寒第四讲函数综合 2 知识梳理 ? ? Knowledge Combing K 不动点 函数的不动点 对于函数 y = f(x)，方程 f(x) = x 的解称为函数 f(x
3、) 的 一阶不动点 ，简称为 不动点 不动点即函 数图象与 y = x 的图象的交点的横坐标 K 二阶不动点 二阶不动点的概念 方程 f(f(x) = x 的根称为函数 f(x) 的 二阶不动点 当然，我们也可以以此类推定义 n 阶不动点 二阶不动点的研究方法 方程 f (f(x) = x 的解为曲线 y = f(x) 与曲线 x = f(y)（这两条曲线关于直线 y = x 对称）的交点 的横坐标 二阶不动点的性质 二阶不动点的性质 1 单调递增函数的二阶不动点必然是不动点 证明设 f(x) 单调递增，假设 x = x0是方程 f (f(x) = x 的解 若 f(x0) x0，则由于 f(
4、x) 单调递增，因此 f(f(x0) f(x0) x0, 矛盾；若 f(x0) x0，则由于 f(x) 单调递增，因此 f(f(x0) f(x0) 0,a = 1) ； 3. f(xy) = f(x) f(y)：幂函数 f(x) = x； 4. f(xy) = f(x) + f(y)：对数函数 f(x) = logax(a 0,a = 1) ； 5. f(x + y) = f(x) + f(y) 1 f(x)f(y) ：正切函数 f(x) = tanx 函数原型可以给我们解决抽象函数问题带来思路与启发，但不能证明满足这样的函数方程就一定是这些函 数，这需要更多的条件与知识 K 函数方程 函数方
5、程 含有未知函数的等式叫做 函数方程 ，能使函数方程成立的函数叫做 函数方程的解 奇函数、 偶函数、 周 期函数的定义 f(x) + f(x) = 0、f(x) f(x) = 0、f(x + T) = f(x)(T = 0) 都是函数方程，求解函 数方程的方法有：换元法、方程组法、待定系数法等 拓展知识 柯西方程 函数方程 f(x + y) = f(x) + f(y)，再加上下列条件之一就可以得到解 f(x) = C x，其中 C 是常数 1. f(x) 是连续函数（在 1821 年已被柯西证明） ，后来在 1875 年被达布将条件减弱为 f(x) 在某点连 续； 2. 函数 f(x) 在某开
6、区间 (a,b) 内有界； 3. 函数 f(x) 在某开区间 (a,b) 内单调； 4. 函数 f(x) 在区间 0,m（m 0）上恒有 f(x) 0 或恒有 f(x) 0 经典例题 ? ? Classic Examples Powered by 质心教育 https:/ 4 质心数学竞赛第一轮 2019 寒第四讲函数综合 2 K 不动点 例题 1 （$）若存在实数 x，使 f (x) = x，则称 x 为 f (x) 的不动点，已知函数 f(x) = 2x + a x + b 有两个关 于原点对称的不动点 （1）求 a,b 须满足的充要条件； （2）试用 y = f (x) 和 y = x
7、的图形表示上述两个不动点的位置（画草图） O 答案（1）b = 2,a 0； （2）略 O 解析 （1）由 2x + a x + b = x，即 x2+ (b 2)x a = 0 x = b. 该方程有两个互为相反数的根，于是 b = 2,a 0； 备注由 2x + a x + b = x，即 x2+ (b 2)x a = 0 x = b. 该方程有两个互为相反数的根，于是 b = 2,a 0 a = 4 ； （2）草图如图（取 a = 1 ） O x y K 二阶不动点 例题 2 （$）方程 (x3 + x 3 )3 + x3+ x 3 = 3x 的所有实根的平方和等于（） A. 0B. 2
8、 C. 4D. 前三个答案都不对 O 答案C Powered by 质心教育 https:/ 5 质心数学竞赛第一轮 2019 寒第四讲函数综合 2 O 解析令 f(x) = x3+ x 3 ，则原方程等价于 f (f(x) = x, 由于函数 f(x) 在 R 上单调递增，故原方程又等价于 f(x) = x, 所以原方程的所有实根为 0, 2,2，其平方和为 4 例题 3 （$）设集合 M = x | f (x) = x， N = x | f (f (x) = x （1）求证：M N ； （2）若 f (x) 是一个在 R 上单调递增的函数，是否有 M = N ？若是，请证明 O 答案（1）
9、略； （2）是 O 解析 （1）情形一若 M = ，命题显然成立； 情形二若 M = ， 对于任意 x0 M ，都有 f (f (x0) = f (x0) = x0，所以 M N （2）情形一若 N = ，则 N M ，所以 M = N ； 情形二若 N = ，则对于任意 x0 N ，即有 f (f (x0) = x0. 若 f (x0) x0，则 f (f (x0) f (x0)，矛盾； 若 f (x0) x0，则 f (f (x0) x 的解集 O 答案（1）略； （2） ( , 1 13 2 ) ( 1 17 2 , 1 + 13 2 ) ( 1 + 17 2 ,+ ) O 解析 （1）
10、记方程 f(x) = x 的实数根为 x0，则 f(x0) = x0，故 f(f(x0) = f(x0) = x0. 即 x0也是方程 f(f(x) = x 的实数根 （2）根据题意，有 f(f(x) x ( x2 4 1 + 17 2 ) ( x2 9 + 17 2 ) ( x 1 13 2 ) ( 1 17 2 x 1 + 17 2 ) . 习题 6 （$）已知函数 f (x) = ax2+bx+c（a = 0 ） ，且 f (x) = x 没有实数根那么 f (f (x) = x 是否 有实数根？并证明你的结论 O 答案没有 Powered by 质心教育 https:/ 13 质心数学竞赛第一轮 2019 寒第四讲函数综合 2 O 解析没有实根，证明如下设 g(x) = f(x) x，则 g(x) 没有零点，因此 x R,g(x) 0, 或 x R,g(x) f(x) x, 或 x R,f(f(x) f(x) x, 因此方程 f(f(x) = x 没有实根 备注每日一题 853 函数的不动点（2） Powered by 质心教育 https:/ 14
