1、第七节极限存在准那么两个主要极限散布图示夹逼准那么例1例2例3例4例5例6例7例8例9例10枯燥有界准那么例11例12例13例14例15例16例17例18例19例20例21-22例23例24例25例26例27柯西极限存在准那么内容小结讲堂训练习题1-7前往内容要点一、夹逼准那么：假如数列及满意以下前提:1;2那末数列的极限存在,且注：应用夹逼准那么求极限，要害是结构出与,同时与的极限一样且轻易求.二、枯燥有界准那么：枯燥有界数列必有极限.三、两个主要极限：1.；2.四、柯西Cauchy极限存在准那么例题选讲夹逼准那么的使用例1(E01)求解又由夹逼定理得例2求解由易见对恣意天然数有故而因而例3
2、求解设显然，又由夹逼准那么知即例4求解设那么因而从而又因故得例5求解此中因而而因而例6(E02)求解由易见又因而例7(E03)求解令那么因而,因为因而故例8求证解(1)事先,故(2)事先,设显然事先,由例3知因而(3)事先，总存在一个负数使得由(2)知因而综合上述证实可知例9求极限解事先,，因而，事先,由夹逼定理可妥事先，有由夹逼定理可得从而例10(E04)求极限.解因为,故由准那么,得,即例11(E05)设无数列求.解显然是枯燥递增的.上面应用数学归结法证实有界.因为假设那么因而是有界的.从而存在.由递推关联得故即解得(舍去).因而例12设为常数,数列由以下界说:此中为年夜于零的常数,求解先
3、证实数列的极限的存在性.由即由知因而即有下界.又故数列枯燥递加，由极限存在准那么知存在.无妨设对式子双方取极限得:解之得即例13(E06)求.解例14求解例15(E07)求解原式例16(E08)盘算解例17以下运算进程能否准确：.解这种运就是过错的.事先,此题因而不克不及使用上述办法进展盘算.准确的作法如下：令那么事先,因而例18盘算解例19盘算解例20求.解例21(E09)求.解例22(E10)求解例23求解例24(E11)求解例25求解例26盘算解例27求极限解令那么事先,又故讲堂训练1.求极限2.求极限柯西AugustinLouisCauchy，17891857事迹永存的数学巨匠19世纪
4、初期，微积分已开展成一个宏年夜的分支，内容丰厚，使用特不广泛，与此同时，它的单薄之处也越来越暴显露来，微积分的实际根底并不严厉。为处理新咨询题并廓清微积分观点，数学家们开展了数学剖析谨严化的任务，在剖析根底的奠定任务中，做出杰出奉献的要推巨年夜的数学定柯西。柯西1789年8月21日诞生于巴黎。父亲是一位通晓古典文学的状师，与事先法国的年夜数学家拉格朗日，拉普拉斯来往亲密。柯西青年时期的数学才气颇受这两位数学家的欣赏，并预言柯西日后必成年夜器。拉格朗日向其父倡议“赶紧给柯西一种坚固的文学教导，以便他的喜好不致反他引入岐途。父亲增强了对柯西的文学修养，使他在诗歌方面也表示出非常高的才气。1807年
5、至1810年柯西在工学院进修。曾当过交通路途工程师。因为身欠佳，承受拉格朗日跟拉普拉斯的劝说，保持工程师而努力于纯数学的研讨，柯西在数学上的最年夜奉献是在微积分中引进了极限观点，并以极限为根底树破了逻辑明晰的剖析系统。这是微积分开展史上的青华，也柯西凑合类迷信开展所作的宏年夜奉献。1821年柯西提出极限界说的办法，把极限进程用不等式来刻划，后经维尔斯特拉斯改良，成为如今所说的柯西极限界说或叫界说。当今一切微积分的教科书都还至多是在实质上相沿着栖西等人对于极限、延续、导数、收敛等观点的界说。他对微积分的说明被先人广泛采纳。柯西对定分作了最零碎的创始性任务。他把定积分界说为跟的“极限。在定积分运算
6、之前，夸年夜必需确破积分的存在性。他应用中值定理起首严厉证实了微积分根本定理。经过柯西以及厥后维尔斯特拉斯的艰辛任务，使数学剖析的根本观点掉掉严厉的阐述。从而完毕微积分二百年来思维上的凌乱场面，把微积分及其推行从对多少何观点，活动跟直觉理解的完整依附中束缚出来，并使微积分开展成古代数学最根底最宏年夜的数学学科。数学剖析谨严化的任务一开场就发生了非常年夜的妨碍。在一次学术集会上柯西提出了级数收敛性实际。会后，拉普拉斯匆忙赶回家中，依照栖西的谨严判不法，逐个反省其巨著天膂力学中所用到的级数能否都收敛。栖西在别的方面的研讨效果也非常丰厚。复变函数的微积分实际确实是由他创建的。在代数方面、实际物理、光学、弹性实际方面，也有凸起奉献。柯西的数学成绩不只光辉，并且数目惊人。柯西选集有27卷，其论著有800多篇。在数学史上是仅次于欧拉的多产数学家。他的光芒名字与很多定理、准那么一同铭刻在当今很多课本中。作为一位学者，他是思绪矫捷，功劳卓越。但他常无视青年人的制造。比方，因为柯西“丢掉了才气盖世的年老数学家阿贝尔与伽罗华的创始性的论文手稿，形成群论晚咨询世约半个世记。1857年5月23日柯西在巴黎病逝。他临终的一名名言“人老是要逝世的，然而，他们的事迹永存持久地叩击着一代又一代学子的心扉。
