1、自然数平方数列和立方数列求和公式怎么推导 即： (1) 12+22+32+n2=n(n+1)(2n+1)/6 (2) 13+23+33+n3=n(n+1)/22 推导过程如下： 一. 12+22+32+n2=n(n+1)(2n+1)/6 利用立方差公式 n3-(n-1)3=1*n2+(n-1)2+n(n-1) =n2+(n-1)2+n2-n =2*n2+(n-1)2-n 23-13=2*22+12-2 33-23=2*32+22-3 43-33=2*42+32-4 . n3-(n-1)3=2*n2+(n-1)2-n 各等式全相加 n3-13=2*(22+32+.+n2)+12+22+.+(n-
2、1)2-(2+3+4+.+n) n3-1=2*(12+22+32+.+n2)-2+12+22+.+(n-1)2+n2-n2-(2+3+4+ .+n) n3-1=3*(12+22+32+.+n2)-2-n2-(1+2+3+.+n)+1 n3-1=3(12+22+.+n2)-1-n2-n(n+1)/2 3(12+22+.+n2)=n3+n2+n(n+1)/2=(n/2)(2n2+2n+n+1) =(n/2)(n+1)(2n+1) 故：12+22+32+.+n2=n(n+1)(2n+1)/6 二. 13+23+33+n3=n(n+1)/22 证明如下： (n+1)4-n4=(n+1)2+n2(n+1)2-n2 =(2n2+2n+1)(2n+1) =4n3+6n2+4n+1 24-14=4*13+6*12+4*1+1 34-24=4*23+6*22+4*2+1 44-34=4*33+6*32+4*3+1 . (n+1)4-n4=4*n3+6*n2+4*n+1 各式相加有 (n+1)4-1=4*(13+23+33.+n3)+6*(12+22+.+n2)+4*(1+2+3+.+n)+ n 4*(13+23+33+.+n3)=(n+1)4-1+6*n(n+1)(2n+1)/6+4*(1+n)n/2+n =n(n+1)2 13+23+.+n3=n(n+1)/22
