1、绝密启用前2005 年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）数学试题卷（理工农医类）本试卷分第 I 卷（选择题）和第 II 卷（非选择题）两部分. 满分 150 分. 考试时间 120 分钟.第 I 部分（选择题 共 60 分）注意事项：1答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。2每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。答在试题卷上无效。3考试结束，监考人员将本试题卷和答题卡一并收回。一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分. 在每小题
2、给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的.1设 P、Q 为两个非空实数集合，定义集合 P+Q= ,520,|PQba若，则 P+Q 中元素的个数是 （ ）6,2A9 B 8 C7 D62对任意实数 a，b，c，给出下列命题：“ ”是“ ”充要条件； “ 是无理数”是“a 是无理数”的充要条件5“ab”是“a 2b2”的充分条件；“a0，都有n.51na2005 年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）数学试题卷（理工农医类）参考答案一、选择题：本题考查基本知识和基本运算. 每小题 5 分，满分 60 分.1B 2B 3C 4D 5A 6B 7C 8C 9D 10C 11D 12A二、填空题
3、：本题考查基本知识和基本运算. 每小题 4 分，满分 16 分.136，2 14 152 16500三、解答题17本小题主要考查平面向量数量积的计算方法、利用导数研究函数的单调性，以及运用基本函数的性质分析和解决问题的能力。解法 1：依定义 ,)1()() 232 txxtxf .3)(2txf则 .0)(),(, xf上 可 设则 在上 是 增 函 数在若,31)( ,23)(,)(,230xxg xxgtf的 图 象 是 对 称 轴 为由 于 考 虑 函 数上 恒 成 立在 区 间开口向上的抛物线，故要使 在区间（1，1）上恒成立t2 .5),1(tt即.)1,(,0)()1,(,5 上
4、是 增 函 数在即上 满 足在时而 当 xffxft.t的 取 值 范 围 是故解法 2：依定义 ,)1()() 232 txxtxf .0)(),(,)1,(.3) fxft上 可 设则 在上 是 增 函 数在若的图象是开口向下的抛物线，Q时且当 且 仅 当 5)1(,0)(tftf.5.),)(1,)( tt xfxf的 取 值 范 围 是故 上 是 增 函 数在即上 满 足在18本小题主要考查正弦定理、余弦定理等基础知识，同时考查利用三角公式进行恒等变形的技能和运算能力.解法 1：设 E 为 BC 的中点，连接 DE，则 DE/AB，且 DE= ,3621xBEA设在BDE 中利用余弦定
5、理可得：BD2=BE2+ED22BEEDcosBED，,6385xx ,328cos2,2),(7,12 BCABACB从 而故 舍 去解 得 .1470sin,632sin,630sin,1AB故又即解法 2：以 B 为坐标原点， 轴正向建立直角坐标系，且不妨设点 A 位于第一象限.xC为 ).(314,2.5)32(6| .,),0( ),354()sin364co(63sin舍 去从 而由 条 件 得 则设 则由 xxBDxBA,5(CA故 .1470cos1sin ,14398096|s2AB于 是解法 3：过 A 作 AHBC 交 BC 于 H，延长 BD 到 P 使 BD=DP，连
6、接 AP、PC ，过 P 作 PNBC 交 BC 的延长线于 N，则 HB=ABcosB= ,354,AH.1470sin,63021sin.321, ,0)54()222ACAHCNBC BNP故 由 正 弦 定 理 得 而19本小题主要考查随机变量的分布列和数学期望的概念和运算，以及运用概率统计的知识解决实际问题的能力.解： 的取值分别为 1，2，3，4.，表明李明第一次参加驾照考试就通过了，故 P（ ）=0.6.1 1，表明李明在第一次考试未通过，第二次通过了，故2.2807.)61()2(P=3，表明李明在第一、二次考试未通过，第三次通过了，故 .96.)().()3(=4，表明李明第
7、一、二、三次考试都未通过，故 .024)8.1()7.0()6.1()4( P李明实际参加考试次数 的分布列为 1 2 3 4P 0.6 0.28 0.096 0.024 的期望 E=10.6+20.28+30.096+40.024=1.544.李明在一年内领到驾照的概率为1(10.6)(1 0.7)(1-0.8)(1 0.9)=0.9976.20本小题主要考查线面关系和四棱锥等基础知识，同时考查空间想象能力和推理运算能力.解法 1：（）建立如图所示的空间直角坐标系，则 A、B、C 、 D、P 、E 的坐标为 A（0，0，0） 、B（ ，0，0） 、C（ ，1，0） 、D （0，1，0） 、3
8、3P（0，0，2） 、E（0， ，1） ，2从而 ).,(),(PBA设 的夹角为 ，则C与 ,14732|cosPBAAC 与 PB 所成角的余弦值为 .（）由于 N 点在侧面 PAB 内，故可设 N 点坐标为（ x，O ，z） ，则，由 NE面 PAC 可得，)1,2(zxE .0213,.0),13(,(2.0, xzzxACP化 简 得即 163zx即 N 点的坐标为 ，从而 N 点到 AB、AP 的距离分别为 1， .),63 63解法 2：（）设 ACBD=O，连 OE，则 OE/PB，EOA 即为 AC 与 PB 所成的角或其补角.在AOE 中， AO=1，OE= ,271PB,
9、251PDAE .14732cosO即 AC 与 PB 所成角的余弦值为 .1473（）在面 ABCD 内过 D 作 AC 的垂线交 AB 于 F，则 .6AD连 PF，则在 RtADF 中 .3tan,32cosFAF设 N 为 PF 的中点，连 NE，则 NE/DF，DFAC ，DFPA，DF面 PAC，从而 NE面 PAC.N 点到 AB 的距离 ，N 点到 AP 的距离12P.621A21本小题主要考查直线、圆和椭圆等平面解析几何的基础知识以及推理运算能力和综合解决问题的能力.（）解法 1：依题意，可设直线 AB 的方程为 ，整理得 23,)(yxxky代 入.0)3()(2)3( 22 kxkxk设 是方程的两个不同的根，211,yBA则 ,)()(42k且 由 N（1，3）是线段 AB 的中点，得,21x.)(,22 k解得 k=1，代入得， 的取值范围是（12，+）.即,1于是，直线 AB 的方程为 .04),(3yxy即解法 2：设 则有),(),(21xBA
