1、 清华大学大学数学竞赛培训教材 1，2，3，5 章及其经典习题 第一部分 例题精讲与习题 第一章 极限与连续性 1.1基本概念与内容提要 1）.极限存在的条件：左极限等于右极限。 相关联的题型： （1）函数连续性和可导性的判断及应用； （2）求函数的间断点： 第一类间断点（左右极限存在） ：a可去间断点：左右极限存在且相等但函数在该点无 定义或函数值不等于极限值。 b跳跃间断点： 左右极限存在但不相等。 第二类间断点： 除第一类间断点以外所有的间断点； （3）用定义求导数，若 0 0 0 lim xx fxfx xx 存在， 则函数在 0 x 处可导且 0 0 0 0 lim xx fxfx
2、fx xx 。所以，判断可导性就是判断极限 0 0 0 lim xx fxfx xx 是否存在；(4)求函数的渐近线：水平渐近线： lim x fxA ，则 y=A是f(x)的水平渐近线； 铅直 （垂直） 渐近线： 0 lim xx fx ， 则 0 x x 是 yfx 的铅直 （垂直） 渐近线； 斜渐近线：yk xb 其中 lim , lim xx fx kbf x k x x ； 斜渐近线最多有两条，水平渐近线最多有两条，水平渐近线与斜渐近线的总条数最多 有两条。 2）.连续函数的极限 3）.常用极限： lim 1 0 ,lim 1,lim cot 0, nn nnx aa n a r c
3、x 00 lim cot ,limarctan ,limarctan 22 lim 0,lim ,lim 1 ,lim ln 0 xxx xxx xxxx arc x x x eexx x 4）.极限的四则运算 5）恒等变形、约去零因子、有理化等常用化简方法 6）.极限存在准则（夹逼定理、单调有界定理） 7）.两个重要极限及其变形： 1 00 sin lim 1,lim 1 x xx x x e x 8）.洛比达法则（重点） ，常与洛比达法则一起交替使用，常考的共有七种不定式极限： 0 0 型，常用方法：约去零因子；等价无穷小替换；变量代换；洛比达法则；恒等变形 型，常用方法：分子分母同时除以
4、最高次幂项；变量替换；洛比达法则 型，常用方法：通分；倒代换；有理化 0 型，常用方法：变形；变量代换；取倒数化为 型 0 0 型，常用方法：取对数化为0 型；恒等变形；变量代换 0 型，常用方法：取对数化为0 型；恒等变形消除不定式；利用重要极限 1 0 lim 1 x x x e ；等价替换 1 型，常用方法：取对数化为0 型；利用重要极限 1 0 lim 1 x x x e 9）. 无穷小得比较 设 00 lim 0, lim 0, 0 xx xx xxx ，则 , x x 即为无穷小量， （1）若 0 lim 0 xx x x ，则称当 0 x x 时 x 是比 x 高阶的无穷 小，记
5、为 x ox ，或者说当 0 x x 时 x 是比 x 低阶的无穷小； （2）若 0 lim 0 xx x CC x ，则称当 0 x x 时 x 是与 x 同 阶的无穷小。特别的，当 C=1 时，称当 0 x x 时 x 与 x 是等价无穷小，记为 0 x xxx ； （3）若 0 lim 0 k xx x CC x ，则称当 0 x x 时 x 是与 x 的 k阶无穷小。 等价无穷小替换求极限（注意：有界函数与无穷小的积是无穷小） ：等价无穷小是 指在乘积型极限中，一个无穷小因式可以用与它等价的无穷小因式代替。 常用等价无穷小：当 0 x 时， s i n, t a n,1, l n 1,
6、 x xxxx exxx 2 11 1c o s ,1 1 , 1 l n,1 1 , a r c s i n , 2 a x n x xxa x axaxxxx n arctanx x 。注意：高阶无穷小、k阶无穷小的判断及应用。 补充：无穷大量比较： 当n 时，无穷大的阶数由低到高排列为： ln , 0 , 0 , 1 , nn nn n a a n ； 当x 时，无穷大的阶数由低到高排列为： ln , 0 , 0 , 1 , x x xxxa ax 。 9）.利用泰勒公式、中值定理求极限，求极限常用迈克劳林公式有： 2 1 21 35 2 1. . . 1! 2! ! 1 sin . 3
7、! 5! 2 1 ! n xn n n n xx x eo x n x xx xxo x n 2 24 21 1 cos 1 . 2! 4! 2 ! n n n x xx xo x n 355 1 23 12 tan 31 5 11 ln 1 . 1 23 n n n xxx xox x x xxx o x n 2 1 1 . 1 nn xxxo x x 10） .利用定积分的定义求极限 11） 证明数列极限存在的方法：夹逼定理单调有界定理级数敛散法：若级数 1 1 nn n aa 收敛，则 lim n n a 存在级数收敛的必要条件：若级数 1 n n a 收敛，则 lim 0 n n a
8、。 补充：给定数列 n a ，则 lim n n a 存在的充要条件是级数 1 1 nn n aa 收敛。 所以，判断数列的敛散性可以转化为判断级数的敛散性。 12） 抓大头公式： 0 0 1 01 1 01 , . lim 0, . , nn n mm x n a nm b ax ax a nm bx bx b nm ，数列极限也可用。 13） 中值定理求极限：关键是将欲求的极限写成中值定理的形式，在求函数式具有 规律比或其分子分母之项具有中值定理那样的关联或函数式非常复杂难以化简时， 尤其是像求类未定的极限如 lim sin 1 sin x x x ，可以考虑使用中值定理。 14） 利用级
9、数收敛的必要条件求极限： 若 1 n f n 收敛， 则 lim lim 0 nx fn fx 。 求极限可以转化为求定积分、判断级数的敛散性等。 1.2例题选讲 例1： tan sin 0 lim sin x x x ee x x 。 解：方法一：由拉格朗日中值定理得 tan sin tan sin xx eeexx ，其 中 在sinx 与tanx之间，当 0 x 时 0, 1 e tan sin 2 000 tan sin sec cos lim lim lim sin sin 1 cos xx xxx exx ee xx xxxx x 3 2 2 00 0 1c o s limsec
10、lim lim 1 cos cos 3 1c o s xx x x xx x x 方法二：先处理一下，在使用等价无穷小和洛比达法则 sin tan sin tan sin 000 1 tan sin lim lim lim 3 sin sin sin xxx xx xxx ee ee xx xxxxxx 例 2.求 1 2 0 lim 1 n n x dx x 。 解： 1 0, 2 使得 1 2 0 12 1 nn x dx x ， 1 2 0 lim lim 0 12 1 nn nn x dx x 例 3.设 222 : r Dxyr ，则 22 2 0 1 lim cos r xy r
11、D ex y d x d y r =_. 解： , r D 使得 22 22 2 cos cos r xy D ex y d x d y r e ， 当 0 r 时 ,0 , 0 ， 22 22 2 0 0 0 1 lim cos lim cos r xy r D ex y d x d ye r 例 4. lim (cos cos cos ) 22 2 21 n n nnn n . 1 22 2 2 0 1 0 21 lim cos cos . cos cos 1 sin 2 1 1c o s 2 2 0 222 n n xdx nnn n xx x dx 例 5.求极限 1 1 lim 1
12、n k n n k nkn C 。 解：当 1 kn 时， 2 2 1 2 .2 11 1 1 2 3 . k n kk k nk nC n n n n n k n 2 11 01 k n nk kn nC n 1 22 1 1121 01 n k n k nn nkn C n nn 即 1 2 1 21 01 n k n k n nkn C n ，又 2 21 lim 0 n n n ， 由夹逼定理得 1 1 lim 1 0 n k n n k nkn C 例 6.证明：数列 7 ,7 7 ,7 7 7 ,7 7 7 7, . . . 收敛，并 求其极限。 证明：设该数列通项为 n x ，则
13、 2 77 nn x x ，令 77 fxx ， 则 f(2)=2， 22 ,2 2 nn nn xf xxf xf ，由拉格朗日中值定理得： 存在 介于 x，2之间，使得 22 fx f f x ， 1 47 7 7 fx x x 、 ， 2 222 nnn n xf xffx ，由题意得07 n x ， 11 07 , 1 47 7 7 477 1 4 nn nn f 、即 n f ，则 2 22 , 01 nn xx 1 22 22 , k k xx 由 1 22 022 k k xx 且 1 2 lim 2 0 k k x ， 由夹逼定理得 2 lim 2 0 k k x 即 2 li
14、m 2 n n x ，同理可得 21 lim 2 n n x ， 所以， lim 2 n n x ，即原数列的极限为 2。 例 7.设函数 3 2 21 , 1 ,1 2 4, 2 xx fx x x xx ，又设 , 分别是 yfx 的反函数 ygx 的不可导点中横坐标最小者和最大者。求： （1）求 , ； （2）设 01 21 , ,0 , 1 , 2 , . . . 2 n n n x xxn x ，求 lim n n x 。 解： （1） 1 gx f x 、 、 ，g(x)的不可导点即 f x 、 不存在或 0 fx 、 的点的 取值，显然 00 f ，又 2 22 2 4 28 ,
15、 l i m l i m 4 22 xx fx f x f x x ， 3 22 2 8 lim lim 12, 22 xx fx f x x x 2 f 、 不存在， 同理可得 1 f 、 不存 在， gx 在 123 00 , 11 , 28 xf xf xf 处均不可导， 1, 8 （2）由题意得 1 22 22 2 nn n xx x ， 1 22 22 2 2 2 2 nnn n xxx x ， 0 02 2 22 n n xx ，又 0 lim 2 2 2 0 n n x ， lim 2 0, lim 2 nn nn xx 例 8.求极限 2 1 1 lim 1 n n i i n
16、 n 。 解： 2 22 222 1 1 , i ii nnn 由介值定理得 1 , i ii nn 使得 2 2 2 1 i i n ， 11 2222 11 1 2 1 0 2 111111 lim lim lim lim 1111 1 1 4 1 nn n nnnn ii i i nn iin nn nn n dx x 例 9.求极限 2 1 2 lim 1 n n k n n k kC nn 。 解： 12 11 11 1 111 1 nnn kk k k k nn n n n kkk kC nC k C n k C n C 22 12 1 12 2 12 n knnn n k kC
17、nn n nn 2 1 21 lim 14 n n k n n k kC nn 例 10.求极限 1 2 1 lim 1 sin n n k kk n n 。 解：由泰勒公式得 222 1 sin kk o nnn ， 11 22 11 1 0 13 1 1 lim 1 sin lim 1 lim 2 5 1 6 nn nnn kk kk kkn o nn n n nn xx d x 例 11.当 0 x 时， 无穷小量 53 22 35 fxxxxx 关于 x的阶为_。 解： 1 15155 5 5 2 3 15 3 15 3 3 1 11 5 xxxxxxo x 1 19199 3 3 2
18、 5 15 5 15 5 5 1 11 3 xxxxxxo x 15959 15 3 5 3 5 11 53 fx x x x ox ox 是关于 x的 152 6 15 3 15 阶。 例 12.设函数 f(x)满足 01 , l i m x f fx A ，且 1 x fx efx 、 0 x ，求证：11 l n 2 A 。 证明：由 1 0 x fx efx 、 得 f(x)单调递增， 01 fx f ， 0 11 , 0 ln ln 2 11 1 x x xx tx dt e fx fxf efxe e e 、 1 1 ln 2 ln , 1 1 ln 2 1 x x e fx A
19、e 。 例 13.求函数 2 lim 1 2 n n n n x fx x 的表达式。 解：当 1 x 时 f(x)=1；当 2 x 时 22 2 22 lim 1 22 nn n n x x fx x x ； 当12 x 时 1 lim 1 2 n n n n x fxx x x ； 当21 x 时，若 n为偶数 1 lim 1 2 n n n n x fxx x x ， 若 n为奇数 1 lim 1 , 2 n n n n x fxx x x 当21 x 时该极限不存在，即 f x 不存在； 又 1 11 ,2l i m12 2 n n n ff ， 当 1 x 时，若 n为偶数 11 f
20、 ，若 n为奇数 1 1,1 2 ff 不存在； 当 2 x 时，若 n为偶数 22 f ，若 n为奇数 21 , 2 ff 不存在； 故， 2 1, 1 1, ,1 2, ,2 2 2 x fx x x x xx 或 ，其定义域为 ,2 1 , 例 14.已知 1 2 1 2 351 7 12 . 241 6 2 n n n x ，则 lim n n x =_。 解：分子 1 2242 2 212121 . . . 2 121 nn ， 分母 21 122 . . .2 2 1 22 nn ， 2 21 21 21 1 lim lim lim 2 2 22 n n nn nn n x 。 真
21、题演练：设 22 11. . . 1, n n xaaa 其中 1 a ，求 lim n n x 。 答案： 1 lim 1 n n x a 例 15.求 22 2 0 2 1 11 2 lim cos sin x x x x xex 。 解：由迈克劳林公式得： 2244 11 11 28 x xxo x 2 22 22 1 cos 1 , 1 2 x x xoxe xox 2 2244 22 113 11 , c o s 282 x x xxo xxexo x 44 22 2 00 2 222 11 1 11 1 88 2 lim lim 3 3 12 cos sin 2 2 xx x xo
22、x xx xe x xxo x 例 16.求 ln ln lim ln n n n nn nn 。 解： ln 2 ln 2ln ln ln 2ln 2 lim lim 1 exp lim ln ln ln nn n n nn n n nn n nn n n nn nn nn 2 22 exp lim exp lim 1 ln 1 xx x e xx x 例 17.求 1 1 11 lim 1 . 23 n n n 解：设 1 1 11 1 . 23 n n S n ，则 2 11 1 1 1 11 1 1 . 1 . . 23 2 3 21 24 2 n S nnn 11 1 11 1 1
23、. 2 . 23 2 24 2 nn 11 1 11 1 1 . 1 . 23 2 23 nn 11 1111 1 . . 12 12 11 1 n nn nnn nn n 1 2 0 11 1 1 1 lim lim . ln 2 12 1 11 1 n nn Sd x n nx nn n 21 2 2 1 lim lim lim ln 2 2 nnn nn n SSS n 1 1 11 lim lim 1 . ln 2 23 n n nn S n 例 18.设 lim 2011 1 n n nn ，求 , 的值。 解： 11 11 nn nn n 0 lim lim 2011, 0, 0
24、11 1 nx nx nn x 又 1 000 1 lim lim lim 2011 11 xxx xx x x x 1 2010 1 10 , 2 0 1 1 , , 2011 2011 例 19.已知有整数 4 nn 使极限 4 lim 7 2 0 n x xx xA ，求 。 解： 44 lim 7 2 lim 1 7 2 nn n n xx xxxxxxx 由极限的存在性得 1 1, nn ， 4 4 0 17 2 1 lim 1 7 2 lim nn nn xt tt xxxx t 4 51 00 72 11 lim lim 7 2 0, 5, 5 nn nn tt tt ttAn
25、tn 例 20.求 3333 3333 21 31 41 1 lim . 21 31 41 1 n n n 解：原式 2 3 32 22 11 1 11 lim lim 1 11 nn nn kk kk kk k kk k 2 21 2 lim 133 n nn nn 例 21.求 32 1 61 15 lim 3! n n k kkk k 解：原式 1 11 lim !3 ! n n k kk 11 1 1 1 5 lim 1 2! 3! 1 ! 2 ! 3 ! 3 n nnn 例 22.求 222 3232 32 12 lim . 12 n n nnnn 。 解：设 2222 323232
26、3 1 , 1 n n k kkkk x nknnnkn 又 2 1 1 12 1, 6 n k kn nn 32 3 12 1 12 1 66 1 n nn n nn n x nn n 又 32 3 12 1 12 1 1 lim lim 3 66 1 nn nn n nn n nn n 1 lim 3 n n x 即 222 3232 32 12 1 lim . 3 12 n n nnnn 例 23.求 2 1 2 1 lim n n kn k 解：原式 21 22 2 2 0 11 1 1 lim . lim 12 1 n nn k nn nn nk 21 22 0 111 22122
27、, 11 n k nn nn nn nk nk 21 2 0 22 22 1 lim lim 2, lim 2 1 n nnn k nn nn nk 2 1 2 1 lim 2 n n kn k 例 24.求 1! 2! . ! lim ! n n n 解： 1! 2! . 1 ! 1! 2! . ! lim 1 lim ! nn n n nn 1! 2! . 1 ! 2 2 ! 1 ! 23 0 !1 nnnn n nnn n 1! 2! . 1 ! 23 lim 0, lim 0 1! nn n n nn n 1! 2! . ! lim 1 ! n n n 例 25.求 2 lim sin
28、 n nn 解：原式 2 2 lim sin lim sin 1 nn n nnn nnn 例 26.设 f(x)在 R上连续， lim 0 x fx x ，求证： R 使得 0 f 。 证明：令 Fx fx x ，则 lim lim 1 xx fx Fx x x lim lim 1 xx fx Fx x x 0 N 使得 0, 0 FN F N ， 由零点定理得： R 使得 0 F 即 0 f 例 27.求 n n n n b a 2 lim 解： n n n n b a 2 lim = 2 2 2 2 2 2 1 lim n n n n b a b a n n n n b a11 11 l
29、n ln 22 2111 exp lim exp lim 11 22 nn nn nn ab ab a b n nn ea b 例 28.若函数 ) (x f 在 1 x 处可导,且 , 1 ) 1 ( f 求 x x f x f x f x ) tan 3 1 ( 2 ) sin 2 1 ( ) 1 ( lim 0 。 解： x x f x f x f x ) tan 3 1 ( 2 ) sin 2 1 ( ) 1 ( lim 0 = x f x f f x f f x f x ) 1 ( ) tan 3 1 ( 2 ) 1 ( ) sin 2 1 ( ) 1 ( ) 1 ( lim 0 =
30、 x x x f x f x x x f x f f x x tan 3 tan 3 ) 1 ( ) tan 3 1 ( lim 2 sin 2 sin 2 ) 1 ( ) sin 2 1 ( lim ) 1 ( 0 0 =1+ 9 6 2 1 ) 3 ( ) 1 ( 2 2 ) 1 ( f f 例 29. 设 ) (x F 除 0 x 与 1 x 两点外， 对全体实数有定义， 且满足 x x x F x F 1 1 ) ( ， 求函数 ) (x F 。 解： x x x F x F 1 1 ) ( (1) ，将x代换成 x x 1 , x x x x x F x x F x x x x F
31、x x F 1 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 (2 ) x代换成 1 1 x ， 1 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 x x x x F x F x x F x F (3) (1)+(3)-(2)得 ) 1 ( ) 1 2 )( 1 ( ) 2 ( ) 1 ( 1 2 1 2 ) 1 ( ) ( 2 2 x x x x x x x x x x x x x x F = ) 1 ( 1 2 3 x x x x即 ) 1 ( 2 1 ) ( 2 3 x x x x x F 例 30.设 0, 1,2,3,., n an 12 112 12 1 ( 1) ( 1) ( 1
32、) ( 1)( 1) n n n a aa x aaa aaa ， 证明: lim n n x 存在 证明： 0, 1, 2,., nn an x 单调增加， 1 1 1 1 1 x a ， 2 2 1121112 12 11 11 1 1 11 1( 1) ( 1)11( 1) ( 1) 1 1 (1 )(1 ) a x aaaaaaa aa 设 1 12 1 1 1 (1 )(1 ) (1 ) n n x aaa 1 12 12 1 12 (1 )(1 ) (1 ) 1 1 (1 )(1 ) (1 )(1 ) (1 )(1 ) (1 ) n nn n nn nn n a xx aaa aa aaaaaaa 12 1 1 (1 )(1 ) (1 ) n aaa 1, n x n x 单调有界， 0 lim n x x 存在. 例 31. n为自然数,) (x f 在0, n 上连续， ) ( ) 0 ( n f f ， 试证：存在 , 0 1 , n a a ，使 ) 1 ( ) ( a f a f 。 证明：当n =1, 存在 0 a ,使 ) 1 ( ) 0 ( f f ,结论成立； 当n 1,令 ) ( ) 1 ( ) ( x f x f x g ,) (x g 在0, n -1上连续,
