资源描述
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2.教学难点：根据平面向量加、减运算的坐标表示求点的坐标。
多媒体
教学过程
教学设计意图
核心素养目标
1、 复习回顾，温故知新
1.平面向量的基本定理是什么？
若e1、e2是同一平面内的两个不共线向量，则对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.
2、用坐标表示向量的基本原理是什么？
设i、j是与x轴、y轴同向的两个单位向量，若a＝xi＋yj，则a＝(x，y).
二、探索新知
思考：已知，你能得到的坐标吗？
【答案】
即
同理可得。
这就是说，两个向量和（或差）的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差.
例1.已知的坐标。
解：
探究：如图，已知，你能得出的坐标吗？
【答案】=-=(x2,y2)-(x1,y1)=(x2-x1,y2-y1).
结论:一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去始点的坐标.
例2：如图，已知平行四边形ABCD 的三个顶点A、B、C的坐标分别是（-2，1）、（-1，3）、（3，4），试求顶点D的坐标.
通过复习上节所学知识，引入本节新课。建立知识间的联系，提高学生概括、类比推理的能力。
通过思考，得到向量加法、减法的坐标表示，提高学生分析问题、推理能力。
通过例题讲解，让学生明白怎样求向量加法、减法的坐标运算，提高学生解决问题的能力。
通过探究，总结如何由向量起点、终点坐标求向量的坐标，提高学生解决问题的能力。
通过例题进一步理解向量加法、减法的坐标运算，提高学生解决问题的能力。
三、达标检测
1．点A(1，－3)，的坐标为(3，7)，则点B的坐标为( )
A．(4，4) B．(－2，4)
C．(2，10) D．(－2，－10)
【解析】 设点B的坐标为(x，y)，由＝(3，7)＝(x，y)－(1，－3)＝(x－1，y＋3)，得B(4，4)．
【答案】 A
2.若向量＝(1，2)，＝(3，4)，则等于( )
A．(4，6) B．(－4，－6) C．(－2，－2) D．(2，2)
【解析】 由＝＋＝(1，2)＋(3，4)＝(4，6)．故选A．
【答案】 A
3.已知边长为2的正三角形ABC，顶点A在坐标原点，AB边在x轴上，C在第一象限，D为AC的中点，分别求向量，，，的坐标.
【解】 如图，正三角形ABC的边长为2，
则顶点A(0，0)，B(2ᅤුႌධඤඌဈ൴൨൜ൄസከሼᄨ๘์ബഠഔነᅰഈೌೀನಜಐᆸ಄౸౬းຠౠၴ༤ై఼రతఘఌఀ௴௨ௐሤመஸᄜྴ༰ஔஈ୰ᆔᇨୌୀନଜჸଐ૬ૠᅀ႘ၨၜၐ၄༘ૈ઼ቔરતઘઌའੴ੨ੜᄄਸቬਬਠਔႀਈৼৰቈᅼৌীনዌজঐႤຈॸᅘႰเิ६ॠ॔ै़रतघऌᆠऀ࣐ࣴࣨࣜࣄာࢸࢬࢠሀᇄ࢈ࡼࡰࡤᆈࡘࡌࡀ࠴ᆬคࠨࠜࠐཔࠄ߸߬ດߠߔ߈በྜްޤᇴᇐޘތᄐހݴݨݜݐ݄ܸܬܠܔ܈ຸۼ࿌ຬ۰ۤۘཬیۀᄴ྄ڴڨڜڐڄٸ٬٠ٔوؼذؤؘ،״רלאָׄ֬ໜໄ֠֔ֈռհդՌՀԴኜྐԨԜԐᇜླྀԄӸӬӠӔӈኴҼሰҰҤҘҌҀѴዀѨќሌѐф࿘ྨиЬРДЈϼϰϤϘό༌ༀผπδΨΜΐ΄࿀෬͔͈ͬ͠༼̼̰̤წ̘̌̀˴˨˜ː˄ʸეʬʠʔʈɼɰɤɘɌɀȴȨȜᅌȐȄǸǬǠǔLjቸኄƼưႼƤศƘƌƀŴŨŜŐńĸĬዘĠ㛢�ちȀ 欖㛢ちȀ 氖㛢ちȀ 渖㛢ちȀ 漖㛢ちȀ 瀖㛢ちȀ 焖㛢ちȀ 爖㛢ちȀ 猖㛢ちȀ 琖㛢ちȀ 甖㛢ちȀ 瘖㛢ちȀ 眖㛢ちȀ 礖㛢ちȀ 笖㛢ちȀ 簖㛢ちȀ 紖㛢ちȀ 縖㛢ちȀ 编㛢ちȀ 耖㛢ちȀ 脖㛢ちȀ 舖㛢ちȀ 茖㛢ちȀ 萖㛢豈ちȀ 蔖㛢ちȀ 蜖㛢ffちȀ 蠖㛢切ちȀ 褖㛢ﰀちȀ 謖㛢ﴀちȀ 谖㛢̀ぢȀ 贖㛢︀ちȀ 踖㛢ちȀ 輖㛢ĀぢȀ 逖㛢 ぢȀ 鄖㛢ȀぢȀ 錖㛢܀ぢȀ 锖㛢ЀぢȀ 阖㛢ࠀぢȀ 霖㛢ԀぢȀ 頖㛢ぢȀ 餖㛢ऀぢȀ 騖㛢ぢȀ 鬖㛢ぢȀ 鰖㛢ఀぢȀ 鴖㛢ഀぢȀ 鸖㛢ぢȀ 鼖㛢ༀぢȀ ꀖ㛢ကぢȀ ꈖ㛢ᄀぢȀ ꌖ㛢ሀぢȀ ꔖ㛢ጀぢȀ ꘖ㛢᐀ぢȀ ꜖㛢ᔀぢȀ ꠖ㛢ᜀぢȀ ꤖ㛢ᘀぢȀ ꨖ㛢ᬀぢȀ ꬖ㛢ᨀぢȀ 갖㛢ᤀぢȀ 괖㛢᠀ぢȀ 긖㛢ᴀぢȀ 꼖㛢℀ぢȀ 뀖㛢ᰀぢȀ 넖㛢ḀぢȀ 눖㛢 ぢȀ 댖㛢ἀぢȀ 됖㛢∀ぢȀ 딖㛢⌀ぢȀ 똖㛢␀ぢȀ 뜖㛢─ぢȀ 렖㛢☀ぢȀ 뤖㛢✀ぢȀ 먖㛢⠀ぢȀ 묖㛢⤀ぢȀ 밖㛢⨀ぢȀ 븖㛢⬀ぢȀ 뼖㛢ⰀぢȀ 섖㛢⼀ぢȀ 쌖㛢⸀ぢȀ 쐖㛢ⴀぢȀ 옖㛢ぢȀ 젖㛢 ぢȀ 줖㛢㈀ぢȀ 쨖㛢㌀ぢȀ 쬖㛢㐀ぢȀ 찖㛢㔀ぢȀ 촖㛢㘀ぢȀ 츖㛢㜀ぢȀ 퀖㛢㠀ぢȀ 툖㛢㤀ぢȀ 팖㛢㨀ぢȀ 픖㛢㬀ぢȀ 혖㛢㰀ぢȀ 휖㛢㼀ぢȀ �㛢㸀ぢȀ �㛢㴀ぢȀ �㛢䀀ぢȀ 㛢䄀ぢȀ 㛢䈀ぢȀ 㛢䌀ぢȀ 㛢䐀ぢȀ 㛢䔀ぢȀ Ė㛣촀ぢȀ ଖ㛣츀ぢȀ 㛣케ぢȀ 㛣퀀ぢȀ ᴖ㛣턀ぢȀ ‖㛣툀ぢȀ ‖㛣팀ぢȀ ‖㛣퐀ぢȀ ⨖㛣픀ぢȀ ⨖㛣휀ぢȀ ⨖㛣�ぢȀ ⬖㛣혀ぢȀ 〖㛣�ぢȀ 㐖㛣�ぢȀ 㔖㛣�ぢȀ 㜖㛣�ぢȀ 㰖㛣�ぢȀ 鬖㛣�ぢȀ 鸖㛣�ぢȀ 鼖㛣ぢȀ ꀖ㛣ぢȀ ꄖ㛣ぢȀ ꘖ㛣ぢȀ ꨖ㛣ぢȀ 갖㛣ぢȀ 뀖㛣ぢȀ 눖㛣ぢȀ 댖㛣ぢȀ 됖㛣ぢȀ 딖㛣ぢȀ 똖㛣ぢȀ 㛣谀っȀ 㛣贀っȀ 㛣踀っȀ 㛣輀っȀ 烙㛣退っȀ 猪㛣鄀っȀ ﬖ㛣鈀っȀ ﰖ㛣錀っȀ ︖㛣鐀っȀ Ė㛤销っȀ ਖ㛤阀っȀ ༖㛤需っȀ ဖ㛤頀っȀ ሖ㛤餀っȀ ᐖ㛤騀っȀ ᔖ㛤鬀っȀ ㈖㛤鰀っȀ ㌖㛤鴀っȀ 㜖㛤鸀っȀ 㠖㛤鼀っȀ 㤖㛤ꀀっȀ 㨖㛤ꄀっȀ 㬖㛤ꈀっȀ 㰖㛤ꌀっȀ 㴖㛤ꐀっȀ 䄖㛤ꔀっȀ 䈖㛤ꘀっȀ 䌖㛤꜀っȀ 䐖㛤ꠀっȀ 䘖㛤꤀っȀ 䠖㛤ꨀっȀ 䤖㛤관っȀ 䨖㛤글っȀ 䬖㛤가っȀ 䰖㛤っȀ 䴖㛤꼀っȀ 世㛤뀀っȀ 伖㛤대っȀ 倖㛤눀っȀ 儖㛤넀っȀ 圖㛤됀っȀ 堖㛤똀っȀ 外㛤딀っȀ 娖㛤뜀っȀ 嬖㛤렀っȀ 尖㛤뤀っȀ 崖㛤봀っȀ 帖㛤묀っȀ 弖㛤먀っȀ 怖㛤븀っȀ 愖㛤밀っȀ 或㛤뼀っȀ 挖㛤쀀っȀ 攖㛤숀っȀ 昖㛤쌀っȀ 朖㛤쐀っȀ 栖㛤섀っȀ 椖㛤씀っȀ 樖㛤였っȀ 欖㛤윀っȀ 氖㛤저っȀ 洖㛤준っȀ 渖㛤츀っȀ 漖㛤찀っȀ 瀖㛤쨀っȀ 焖㛤촀っȀ 爖㛤쬀っȀ 猖㛤퀀っȀ 琖㛤케っȀ 甖㛤턀っȀ 瘖㛤툀っȀ 眖㛤팀っȀ 砖㛤퐀っȀ 礖㛤픀っȀ 稖㛤혀っȀ 笖㛤휀っȀ 縖㛤�っȀ 耖㛤�っȀ 脖㛤�っȀ 萖㛤�っȀ 蜖㛤�っȀ 蠖㛤�っȀ 锖㛤�っȀ 餖㛤�っȀ 鰖㛤っȀ 鸖㛤っȀ ꀖ㛤っȀ ꘖ㛤っȀ ꤖ㛤っȀ 괖㛤っȀ 꼖㛤っȀ 넖㛤っȀ 딖㛤っȀ 쐖㛤っȀ 옖㛤っȀ 혖㛤っȀ �㛤っȀ �㛤っȀ 㛤っȀ 㛤っȀ 㛤っȀ 㛤っȀ 㛤っȀ 㛤っȀ 㛤っȀ 㛤っȀ 㛤っȀ 㛤っȀ ﴖ㛤っȀ ﴖ㛤豈っȀ ︖㛤切っȀ ︖㛤ffっȀ 㛥ﰀっȀ 㛥ﴀっȀ Ȗ㛥︀っȀ Ж㛥っȀ Ж㛥 つȀ Ԗ㛥ĀつȀ Ԗ㛥ȀつȀ ؖ㛥̀つȀ ؖ㛥ЀつȀ ܖ㛥ԀつȀ ܖ㛥つȀ ࠖ㛥܀つȀ ࠖ㛥ࠀつȀ ख㛥ऀつȀ ख㛥つȀ ਖ㛥つȀ ਖ㛥ఀつȀ ଖ㛥ഀつȀ ଖ㛥つȀ ഖ㛥ༀつȀ ഖ㛥ကつȀ ถ㛥ᄀつȀ ถ㛥ሀつȀ ༖㛥ጀつȀ ༖㛥᐀つȀ ဖ㛥ᔀつȀ ဖ㛥ᘀつȀ ሖ㛥ᜀつȀ ሖ㛥᠀つȀ 㛥ᤀつȀ 㛥ᨀつȀ ᐖ㛥ᬀつȀ ᐖ㛥ᰀつȀ ᔖ㛥ᴀつȀ ᔖ㛥ḀつȀ ᘖ㛥ἀつȀ ᘖ㛥 つȀ 㛥℀つȀ 㛥∀つȀ ᠖㛥⌀つȀ ᠖㛥␀つȀ ᤖ㛥─つȀ ᤖ㛥☀つȀ ᨖ㛥✀つȀ ㌖㛤鄀ペȀ 㛤鴀ペȀ ㌖㛤言㐏Ȁ 㛤退㐏Ȁ 眖㛢눀㑤Ȁ ꜖㛢대㑤Ȁ 뀖㛢됀㑤Ȁ 댖㛢딀㑤Ȁ 똖㛢똀㑤Ȁ 쐖㛢뜀㑤Ȁ 젖㛢렀㑤Ȁ 쬖㛢뤀㑤Ȁ 툖㛢먀㑤Ȁ 팖㛢묀㑤Ȁ 휖㛢밀㑤Ȁ �㛢봀㑤Ȁ 㛢븀㑤Ȁ 㛢뼀㑤Ȁ 眖㛢�㑤Ȁ ꜖㛢�㑤Ȁ 뀖㛢�㑤Ȁ 댖㛢�㑤Ȁ 똖㛢�㑤Ȁ 쐖㛢㑤Ȁ 젖㛢㑤Ȁ 쬖㛢㑤Ȁ 툖㛢㑤Ȁ 팖㛢㑤Ȁ ⬖㛣輀㘕Ȁ ㌖㛤嘀㘟Ȁ 㛤帀㘟Ȁ ﴖ㛤㸀㝦Ȁ 怖㛤䀀㝦Ȁ 怖㛤吀㝦Ȁ ﴖ㛤唀㝦Ȁ ﴖ㛤匀㠒Ȁ 怖㛤吀㠒Ȁ 鰖㛢蘀㢘Ȁ 뜖㛢蜀㢘Ȁ 렖㛢蠀㢘Ȁ 怖㛤㣐Ȁ ﴖ㛤㣐Ȁ 㛣䔀㥶Ȁ 㛤㦾Ȁ ㌖㛤㦾Ȁ ꬖ㛣䈀㧛Ȁ ‖㛣㸀㨭Ȁ ⨖㛣㼀㨭Ȁ ㌖㛤䤀㴉Ȁ ‖㛣餀㸎Ȁ ㌖㛤退凿Ȁ 㛤鈀凿Ȁ 怖㛤鬀刢Ȁ ﴖ㛤관刢Ȁ 㛤攀則Ȁ ㌖㛤氀則Ȁ 怖㛤蜀剉Ȁ ‖㛣̀勭Ȁ ‖㛣ᜀ勭Ȁ 怖㛤茀匥Ȁ ﴖ㛤蜀匥Ȁ ﴖ㛤�卯Ȁ 怖㛤�卯Ȁ 怖㛤匀印Ȁ ﴖ㛤圀印Ȁ ㌖㛤蔀印Ȁ 㛤蘀印Ȁ ‖㛣 危Ȁ ఖ㛣厀Ȁ 㛢厀Ȁ ﬖ㛢厀Ȁ 㛢厀Ȁ Ж㛣厀Ȁ ６㛢厀Ȁ ㌖㛤쨀厄Ȁ 㛤휀厄Ȁ ‖㛣ఀ厣Ȁ ⨖㛣ഀ厣Ȁ 㛣ᄀ厣Ȁ ‖㛣双Ȁ ⨖㛣双Ȁ ㌖㛤㜀变Ȁ 㛤㬀变Ȁ 㛤同Ȁ ㌖㛤同Ȁ ‖㛣嚒Ȁ ‖㛣氀圡Ȁ ㌖㛤一坒Ȁ 㛤刀坒Ȁ ﴖ㛤坠Ȁ 怖㛤坠Ȁ ㌖㛤ﰀ坸Ȁ 怖㛤萀垆Ȁ ﴖ㛤蘀垆Ȁ ﴖ㛤밀堽Ȁ 怖㛤츀堽Ȁ 鬖㛣塎Ȁ 鸖㛣ఀ塎Ȁ 鼖㛣ഀ塎Ȁ ꀖ㛣塎Ȁ ꄖ㛣ༀ塎Ȁ ꘖ㛣က塎Ȁ ﴖ㛤Ⰰ墲Ȁ 怖㛤㘀墲Ȁ ㌖㛤簀壵Ȁ ㌖㛤렀夂Ȁ ㌖㛤夲Ȁ 㛣餀奁Ȁ ﴖ㛤鴀姒Ȁ 怖㛤대姒Ȁ 怖㛤ᴀ姙Ȁ ﴖ㛤∀姙Ȁ 怖㛤혀婈Ȁ ﴖ㛤婈Ȁ 崖㛣︀婟Ȁ ⴖ㛣婟Ȁ 瘖㛣 婠Ȁ 䔖㛣Ā婠Ȁ 编㛣Ȁ婠Ȁ 萖㛣Ѐ婠Ȁ 䈖㛣Ԁ婠Ȁ 礖㛣婠Ȁ 㛣܀婠Ȁ 弖㛣ࠀ婠Ȁ 伖㛣ऀ婠Ȁ ⸖㛣婠Ȁ 眖㛣婠Ȁ 鈖㛣ഀ婠Ȁ 鄖㛣ༀ婠Ȁ 䠖㛣က婠Ȁ ㌖㛤쐀婾Ȁ 怖㛤刀媎Ȁ ﴖ㛤洀媎Ȁ 怖㛤一嫯Ȁ ﴖ㛤渀嫯Ȁ 怖㛤Ā嬀Ȁ ﴖ㛤Ԁ嬀Ȁ ㌖㛤錀嬋Ȁ 㛤销嬋Ȁ ﴖ㛤ꨀ孨Ȁ 怖㛤관孨Ȁ 㛤쨀宁Ȁ ㌖㛤촀宁Ȁ ㌖㛤�宍Ȁ 㛤宍Ȁ ︖㛤ᜀ宬Ȁ 逖㛢ἀ宬Ȁ 琖㛢✀宬Ȁ ꌖ㛢䘀寖Ȁ 긖㛢䜀寖Ȁ 뼖㛢䠀寖Ȁ 옖㛢䬀寖Ȁ 뜖㛢䰀寖Ȁ 렖㛢䴀寖Ȁ 먖㛢一寖Ȁ 묖㛢伀寖Ȁ 밖㛢儀寖Ȁ 섖㛢匀寖Ȁ 쌖㛢吀寖Ȁ 꼖㛢嘀寖Ȁ ꔖ㛢圀寖Ȁ ꘖ㛢堀寖Ȁ 넖㛢夀寖Ȁ 됖㛢嬀寖Ȁ ꈖ㛢尀寖Ȁ 㛥Ԁ少Ȁ ഖ㛥✀少Ȁ ถ㛥⠀少Ȁ ༖㛥⤀少Ȁ ဖ㛥⨀少Ȁ ሖ㛥⬀少Ȁ 㛥Ⰰ少Ȁ 怖㛤攀屠Ȁ ﴖ㛤氀屠Ȁ ㌖㛤퀀屶Ȁ 㛤�屶Ȁ 㛤�岌Ȁ ㌖㛤�岌Ȁ 怖㛤崀岘Ȁ 怖㛤봀峚Ȁ 휖㛤尀崔Ȁ �㛤崀崔Ȁ 븖㛤帀崔Ȁ 쀖㛤开崔Ȁ 숖㛤怀崔Ȁ 쌖㛤愀崔Ȁ 씖㛤戀崔Ȁ 윖㛤挀崔Ȁ 젖㛤搀崔Ȁ 찖㛤攀崔Ȁ 촖㛤昀崔Ȁ 퀖㛤最崔Ȁ 팖㛤栀崔Ȁ 픖㛤椀崔Ȁ 츖㛤簀崗Ȁ 쬖㛤踀崗Ȁ 㛤蘀崡Ȁ ㌖㛤謀崡Ȁ 案】能，估计为51.4862
【解析】引入记号，把男生样本记为，其平均数记为，方差记为；把女生样本记为，其平均数记为，方差记为；把总样本数据的平均数记为，方差记为.
根据方差的定义，总样本方差为，为了与联系，变形为，计算后可得，.这样变形后可计算出．这也就是估计值．
解题技巧 (用样本平均数和样本标准差估计总体注意事项)
（1）标准差代表数据的离散程度，考虑数据范围时需要加减标准差.
（2）计算样本平均数、样本方差直接利用公式，注意公式的变形和整体代换．
跟踪训练二
1．在一个文艺比赛中，8名专业人士和12名观众代表各组成一个评判小组，给参赛选手打分．在给某选手的打分中，专业人士打分的平均数和标准差分别为47.4和3.7，观众代表打分的平均数和标准差为56.2和11.8，试根据这些数据计算这名选手得分的平均数和标准差．
【答案】平均数为52.68分，标准差为10.37.
【解析】 把专业人士打分样本记为x1，x2，…，x8，其平均数记为，方差记为s；把观众代表打分样本记为y1，y2，…，y12，其平均数为，方差记为s；把总体数据的平均数记为，方差记为s2.
则总样本平均数为：＝×47.4＋×56.2＝52.68(分)，
总样本方差为：s2＝[(xi－)2]＋(yj－)2]
＝{8[s＋(－)2]＋12[s＋(－)2]}
＝{8[3.72＋(47.4－52.68)2]＋12[11.82＋(56.2－52.68)2ුධඤඌ൴൨൜ᗰൄസᗤബഠᗘഔഈᗌᗀᖴೌೀನಜಐ಄౸౬ౠై఼రతఘఌఀ௴ᖨ௨ᒸௐᘈᑰᑌᐴᐜጸጠዼኴቔቈመწႼၨ࿘ྐ྄འஸᘬᘠᒬᒈᑤሌᇐᇄᅰᄄၴၐཔฐஔஈ୰ୌୀନଜᙨᙜଐᛸ᛬ᛠᜄᛔᛈᜐᚼᚰᚤᚘᚌ ᙴ૬ૠૈ઼રતઘઌੴ੨ੜਸਬਠਔਈৼৰৌীনজঐॸ६ॠ॔ै़रतघऌऀࣴᙐᙄᗼᑼᑀᐨᐐጬጔገዀበሼሤრეႰႌၜ࿌ྜླྀཬ࣐ࣨࣜࣄࢸࢬࢠ࢈ࡼࡰࡤࡘࡌࡀ࠴ࠨࠜࠐࠄ߸߬ߠߔ߈ްޤޘތހݴᜨᘸᘔᒠᒔᑘᐄዤዘዌሰሀᇜᆸᅤჸႀ၄ာค෬ݨݜݐ݄ܸܬܠܔ܈ۼ۰ۤۘیۀڴڨڜڐڄٸ٬٠ٔوဈؼከذኜؤነؘኄ،ቸቬ״ᏠᏬᎀ፴᎘ᏔᎰፄᎼᏸ፨ᎌרלאָׄᏈፐ༼֬ᆬᆈဠ֠֔ֈᇴᇨᆠᅼᄐႤ႘းနռհդᎤደᆔՌՀᄜԴᅌԨᅘᄴᅀᄨԜԐԄຸӸຬӬӠӔຠӈດҼҰҤ༰ຈҘ༤ҌҀѴѨќ༘ѐфи༌ЬᔀРༀ๘ДᕔЈᕈϼᓴϰϤᔼϘᔰόᔤπδᔘ࿀ΨᔌྴΜ์ΐ΄ᖐเͬ͠ᖄ͔ໜิ͈ᕠ̼ᓨ̰̤̘̌̀˴˨໐ศ˜ᕸːᕬ˄ᓜʸᖜʬʠʔʈɼྨɰɤɘɌɀȴȨȜȐȄᓄǸǬǠǔLjƼưƤƘƌƀŴŨŜŐńĸ㙼�⻏Ȁ 䨖㙼�⻏Ȁ 䬖㙼�⻏Ȁ 䬖㙼�⻏Ȁ 䰖㙼⻏Ȁ 䰖㙼⻏Ȁ 䴖㙼⻏Ȁ 䴖㙼⻏Ȁ 世㙼⻏Ȁ 世㙼⻏Ȁ 伖㙼⻏Ȁ 伖㙼⻏Ȁ 倖㙼⻏Ȁ 倖㙼⻏Ȁ 儖㙼⻏Ȁ 儖㙼⻏Ȁ 刖㙼⻏Ȁ 刖㙼⻏Ȁ 化㙼⻏Ȁ 化㙼⻏Ȁ 吖㙼⻏Ȁ 吖㙼⻏Ȁ 唖㙼⻏Ȁ 唖㙼⻏Ȁ 嬖㙼氀⻐Ȁ 嬖㙼渀⻐Ȁ 尖㙼洀⻐Ȁ 帖㙼漀⻐Ȁ 挖㙼瀀⻐Ȁ 挖㙼猀⻐Ȁ 搖㙼焀⻐Ȁ 昖㙼爀⻐Ȁ 椖㙼琀⻐Ȁ 椖㙼甀⻐Ȁ 欖㙼瘀⻐Ȁ 洖㙼眀⻐Ȁ 洖㙼礀⻐Ȁ 渖㙼砀⻐Ȁ 爖㙼稀⻐Ȁ 爖㙼笀⻐Ȁ 猖㙼ꔀ⻐Ȁ 猖㙼꜀⻐Ȁ 猖㙼꤀⻐Ȁ 猖㙼ꨀ⻐Ȁ 猖㙼관⻐Ȁ 猖㙼꼀⻐Ȁ 猖㙼넀⻐Ȁ 琖㙼ꐀ⻐Ȁ 琖㙼ꘀ⻐Ȁ 琖㙼ꠀ⻐Ȁ 琖㙼⻐Ȁ 琖㙼가⻐Ȁ 琖㙼글⻐Ȁ 琖㙼뀀⻐Ȁ 甖㙼눀⻐Ȁ 甖㙼대⻐Ȁ 甖㙼됀⻐Ȁ 甖㙼딀⻐Ȁ 甖㙼똀⻐Ȁ 甖㙼뜀⻐Ȁ 甖㙼렀⻐Ȁ 瘖㙼뤀⻐Ȁ 瘖㙼밀⻐Ȁ 瘖㙼뼀⻐Ȁ 瘖㙼숀⻐Ȁ 瘖㙼씀⻐Ȁ 瘖㙼윀⻐Ȁ 瘖㙼쨀⻐Ȁ 眖㙼먀⻐Ȁ 眖㙼봀⻐Ȁ 眖㙼쀀⻐Ȁ 眖㙼쌀⻐Ȁ 眖㙼였⻐Ȁ 眖㙼준⻐Ȁ 眖㙼찀⻐Ȁ 砖㙼묀⻐Ȁ 砖㙼븀⻐Ȁ 砖㙼섀⻐Ȁ 砖㙼쐀⻐Ȁ 砖㙼저⻐Ȁ 砖㙼쬀⻐Ȁ 砖㙼촀⻐Ȁ 礖㙼츀⻐Ȁ 礖㙼턀⻐Ȁ 礖㙼퐀⻐Ȁ 礖㙼휀⻐Ȁ 礖㙼�⻐Ȁ 礖㙼�⻐Ȁ 礖㙼⻐Ȁ 稖㙼케⻐Ȁ 稖㙼툀⻐Ȁ 稖㙼픀⻐Ȁ 稖㙼�⻐Ȁ 稖㙼�⻐Ȁ 稖㙼�⻐Ȁ 稖㙼⻐Ȁ 笖㙼퀀⻐Ȁ 笖㙼팀⻐Ȁ 笖㙼혀⻐Ȁ 笖㙼�⻐Ȁ 笖㙼�⻐Ȁ 笖㙼�⻐Ȁ 笖㙼⻐Ȁ 簖㙼⻐Ȁ 簖㙼⻐Ȁ 簖㙼⻐Ȁ 簖㙼⻐Ȁ 簖㙼⻐Ȁ 簖㙼⻐Ȁ 簖㙼⻐Ȁ 紖㙼⻐Ȁ 紖㙼⻐Ȁ 紖㙼⻐Ȁ 紖㙼⻐Ȁ 紖㙼⻐Ȁ 紖㙼⻐Ȁ 紖㙼⻐Ȁ 縖㙼⻐Ȁ 縖㙼⻐Ȁ 縖㙼⻐Ȁ 縖㙼⻐Ȁ 縖㙼⻐Ȁ 縖㙼⻐Ȁ 縖㙼⻐Ȁ 编㙼⻐Ȁ 编㙼豈⻐Ȁ 编㙼切⻐Ȁ 编㙼ff⻐Ȁ 编㙼ﰀ⻐Ȁ 编㙼ﴀ⻐Ȁ 编㙼 ⻑Ȁ 耖㙼︀⻐Ȁ 耖㙼Ā⻑Ȁ 耖㙼̀⻑Ȁ 耖㙼Ԁ⻑Ȁ 耖㙼܀⻑Ȁ 耖㙼ࠀ⻑Ȁ 耖㙼⻑Ȁ 脖㙼⻐Ȁ 脖㙼Ȁ⻑Ȁ 脖㙼Ѐ⻑Ȁ 脖㙼⻑Ȁ 脖㙼ऀ⻑Ȁ 脖㙼ఀ⻑Ȁ 脖㙼ༀ⻑Ȁ 舖㙼⻑Ȁ 舖㙼ഀ⻑Ȁ 舖㙼⻑Ȁ 舖㙼က⻑Ȁ 舖㙼ᄀ⻑Ȁ 舖㙼ሀ⻑Ȁ 舖㙼ጀ⻑Ȁ 茖㙼ᔀ⻑Ȁ 茖㙼ᘀ⻑Ȁ 茖㙼᠀⻑Ȁ 茖㙼ᨀ⻑Ȁ 茖㙼ᰀ⻑Ȁ 茖㙼Ḁ⻑Ȁ 茖㙼 ⻑Ȁ 萖㙼᐀⻑Ȁ 萖㙼ᜀ⻑Ȁ 萖㙼ᤀ⻑Ȁ 萖㙼ᬀ⻑Ȁ 萖㙼ᴀ⻑Ȁ 萖㙼ἀ⻑Ȁ 萖㙼℀⻑Ȁ 蔖㙼∀⻑Ȁ 蔖㙼⌀⻑Ȁ 蔖㙼␀⻑Ȁ 蔖㙼─⻑Ȁ 蔖㙼☀⻑Ȁ 蔖㙼✀⻑Ȁ 蔖㙼⠀⻑Ȁ 蘖㙼⨀⻑Ȁ 蘖㙼⸀⻑Ȁ 蘖㙼㘀⻑Ȁ 蘖㙼㰀⻑Ȁ 蘖㙼䈀⻑Ȁ 蘖㙼䤀⻑Ȁ 蘖㙼倀⻑Ȁ 蜖㙼 ⻑Ȁ 蜖㙼㔀⻑Ȁ 蜖㙼㸀⻑Ȁ 蜖㙼䔀⻑Ȁ 蜖㙼䰀⻑Ȁ 蜖㙼吀⻑Ȁ 蜖㙼堀⻑Ȁ 蠖㙼Ⰰ⻑Ȁ 蠖㙼⻑Ȁ 蠖㙼㠀⻑Ȁ 蠖㙼㼀⻑Ȁ 蠖㙼䘀⻑Ȁ 蠖㙼䴀⻑Ȁ 蠖㙼匀⻑Ȁ 褖㙼⤀⻑Ȁ 褖㙼⬀⻑Ȁ 褖㙼⼀⻑Ȁ 褖㙼㜀⻑Ȁ 褖㙼㴀⻑Ȁ 褖㙼䌀⻑Ȁ 褖㙼䨀⻑Ȁ 訖㙼㈀⻑Ȁ 訖㙼㤀⻑Ȁ 訖㙼䀀⻑Ȁ 訖㙼䜀⻑Ȁ 訖㙼一⻑Ȁ 訖㙼刀⻑Ȁ 訖㙼圀⻑Ȁ 謖㙼ⴀ⻑Ȁ 謖㙼㌀⻑Ȁ 謖㙼㨀⻑Ȁ 謖㙼䄀⻑Ȁ 謖㙼䠀⻑Ȁ 謖㙼儀⻑Ȁ 謖㙼唀⻑Ȁ 谖㙼㐀⻑Ȁ 谖㙼㬀⻑Ȁ 谖㙼䐀⻑Ȁ 谖㙼䬀⻑Ȁ 谖㙼伀⻑Ȁ 谖㙼嘀⻑Ȁ 谖㙼夀⻑Ȁ 贖㙼娀⻑Ȁ 贖㙼嬀⻑Ȁ 贖㙼尀⻑Ȁ 贖㙼崀⻑Ȁ 贖㙼帀⻑Ȁ 贖㙼开⻑Ȁ 贖㙼怀⻑Ȁ 踖㙼愀⻑Ȁ 踖㙼挀⻑Ȁ 踖㙼椀⻑Ȁ 踖㙼爀⻑Ȁ 踖㙼瘀⻑Ȁ 踖㙼縀⻑Ȁ 踖㙼蔀⻑Ȁ 輖㙼樀⻑Ȁ 輖㙼焀⻑Ȁ 輖㙼稀⻑Ȁ 輖㙼萀⻑Ȁ 輖㙼褀⻑Ȁ 輖㙼鈀⻑Ȁ 輖㙼销⻑Ȁ 逖㙼最⻑Ȁ 逖㙼渀⻑Ȁ 逖㙼礀⻑Ȁ 逖㙼耀⻑Ȁ 逖㙼蘀⻑Ȁ 逖㙼踀⻑Ȁ 逖㙼錀⻑Ȁ 鄖㙼攀⻑Ȁ 鄖㙼欀⻑Ȁ 鄖㙼甀⻑Ȁ 鄖㙼簀⻑Ȁ 鄖㙼茀⻑Ȁ 鄖㙼言⻑Ȁ 鄖㙼退⻑Ȁ 鈖㙼搀⻑Ȁ 鈖㙼栀⻑Ȁ 鈖㙼漀⻑Ȁ 鈖㙼眀⻑Ȁ 鈖㙼缀⻑Ȁ 鈖㙼蠀⻑Ȁ 鈖㙼輀⻑Ȁ 錖㙼戀⻑Ȁ 錖㙼昀⻑Ȁ 錖㙼氀⻑Ȁ 錖㙼琀⻑Ȁ 錖㙼笀⻑Ȁ 錖㙼舀⻑Ȁ 錖㙼谀⻑Ȁ 鐖㙼洀⻑Ȁ 鐖㙼猀⻑Ȁ 鐖㙼紀⻑Ȁ 鐖㙼蜀⻑Ȁ 鐖㙼贀⻑Ȁ 鐖㙼鐀⻑Ȁ 鐖㙼需⻑Ȁ 锖㙼瀀⻑Ȁ 锖㙼砀⻑Ȁ 锖㙼脀⻑Ȁ 锖㙼謀⻑Ȁ 锖㙼鄀⻑Ȁ 锖㙼阀⻑Ȁ 锖㙼頀⻑Ȁ 頖㙼⻒Ȁ 騖㙼⻒Ȁ 鬖㙼⻒Ȁ 鬖㙼⻒Ȁ 洖㙼蜀㑩Ȁ 爖㙼輀㑩Ȁ 刖㙼�㿆Ȁ 刖㙼㿲Ȁ 谖㙼꤀埠Ȁ 輖㙼ꨀ埠Ȁ 錖㙼埠Ȁ 锖㙼글埠Ȁ 逖㙼꼀埠Ȁ 鐖㙼뀀埠Ȁ 贖㙼대埠Ȁ 鄖㙼됀埠Ȁ 砖㙼딀埠Ȁ 眖㙼렀埠Ȁ 踖㙼뤀埠Ȁ 鈖㙼먀埠Ȁ 鐖㙼렀妹Ȁ 嬖㙼夀尨Ȁ 中位数和众数能较好地反映乙群市民的年龄特征，而平均数的可靠性较差．
解题技巧（众数、中位数、平均数的意义）
(1)样本的众数、中位数和平均数常用来表示样本数据的“中心值”，其中众数和中位数容易计算，不受少数几个极端值的影响，但只能表达样本数据中的少量信息，平均数代表了数据更多的信息，但受样本中每个数据的影响，越极端的数据对平均数的影响也越大．
(2)当一组数据中有不少数据重复出现时，其众数往往更能反映问题，当一组数据中个别数据较大时，可用中位数描述其集中趋势．
跟踪训练一
1. 某校在一次考试中，甲、乙两班学生的数学成绩统计如下：
选用平均数与众数、中位数评估这两个班的成绩．
【答案】见解析
【解析】甲班平均数79.6分，乙班平均数80.2分，从平均分看成绩较好的是乙班；
甲班众数为90分，乙班众数为70分，从众数看成绩较好的是甲班；
按从高到低(或从低到高)的顺序排列之后，甲班的第25个和第26个数据都是80，所以中位数是80分，同理乙班中位数也是80分，但是甲班成绩在中位数以上(含中位数)的学生有31人，占全班学生的62%，同理乙班有27人，占全班学生的54%，所以从中位数看成绩较好的是甲班．
如果记90分以上(含90分)为优秀，甲班有20人，优秀率为40%，乙班有24人，优秀率为48%，从优秀率来看成绩较好的是乙班．可见，一个班学生成绩的评估方法很多，需视要求而定．如果不考虑优秀率的话，显然以中位数去评估比较合适．
题型二 在频率分布直方图中求平均数、中位数、众数
例2 某校从参加高二年级学业水平测试的学生中抽出80名学生，其数学成绩(均为整数)的频率分布直方图如图所示．
(1)求这次测试数学成绩的众数；
(2)求这次测试数学成绩的中位数；
(3)求这次测试数学成绩的平均分．
【答案】(1) 75.(2) 73.3.(3)72.
【解析】(1)由图知众数为＝75.
(2)由图知，设中位数为x，由于前三个矩形面积之和为0.4，第四个矩形面积为0.3,0.3＋0.4＞0.5，因此中位数位于第四个矩形内，得0.1＝0.03(x－70)，所以x≈73.3.
(3)由图知这次数学成绩的平均分为：
×0.005×10＋×0.015×10＋×0.02×10＋×0.03×10＋×0.025×10＋×0.005×10＝72.
解题技巧 (知频率分布直方图中求平均数、中位数、众数)
(1)众数：频率分布直方图中，最高矩形的底边中点的横坐标．
(2)中位数：在频率分布直方图中，把频率分布直方图划分为左右两个面积相等的部分的分界线与x轴交点的横坐标称为中位数．
(3)平均数：平均数在频率分布直方图中等于每个小矩形底边中点的横坐标与小矩形的面积的乘积之和．
跟踪训练二
1.某校100名学生期中考试语文成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间分别是[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]．
(1)求图中a的值；
(2)根据频率分布直方图，估计这100名学生语文成绩的平均数、众数和中位数(要求写出计算过程，结果保留一位小数)．
【答案】(1)a＝0.005.(2)平均数73(分)，众数65(分)．中位数71.7(分)．
【解析】 (1)由频率分布直方图中所有小矩形面积之和为1，得10(2a＋0.02＋0.03＋0.04)＝1，解得a＝0.005.
(2)这100名学生语文成绩的平均数为55×0.05＋65×0.4＋75×0.3＋85×0.2＋95×0.05＝73(分)，
众数为＝65(分)．
∵这100名学生语文成绩在[50,70)的频率为(0.005＋0.04)×10＝0.45，
这100名学生语文成绩在[70,80)的频率为0.03×10＝0.3，
∴这100名学生语文成绩的中位数为70＋10×≈71.7(分)．
五、课堂小结
让学生总结本节课所学主要知识及解题技巧
六、板书设计
9.2.3 总体集中趋势的估计
1. 众数、中位数、平均数 例1 例2
2.在频率分布直方图中求众数、中位数、平均数
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