1、 统计学概论本资料来源 统计学概论第八章 方差分析 n第一节 方差分析的基本问题 n第二节 单因素方差分析 n第三节 双因素方差分析 2 统计学概论第一节 方差分析的基本问题n一、方差分析问题的提出n问题：消费者与供应厂商间经常出现纠纷。纠纷发生后，消费者经常会向消费者协会投诉。消协对以下几个行业分别抽取几家企业，统计最近一年中投诉次数，以确定这几个行业的服务质量是否有显著的差异。结果如下表：3 统计学概论观测值行业零售业旅游业航空业家电制造业15768314426639495134929216544045347753456405865351744行业平均49483559总平均47.94 统计
2、学概论n二、概念：方差分析简称ANOV（Analysis of Variance），该统计分析方法能一次性地检验多个总体均值是否存在显著差异。nH0：nH1： 不全等。5 统计学概论n（一）因素。因素又称因子，是在实验中或在抽样时发生变化的“量”，通常用A、B、C、表示。方差分析的目的就是分析因子对实验或抽样的结果有无显著影响。n前面例子中的因素？n如果在实验中变化的因素只有一个，这时的方差分析称为单因素方差分析；在实验中变化的因素不只一个时，就称多因素方差分析。双因素方差分析是多因素方差分析的最简单情形。 6 统计学概论n（二）水平。因子在实验中的不同状态称作水平。如果因子A有r个不同状态，
3、就称它有 r 个水平，可用表示。我们都针对因素的不同水平或水平的组合，进行实验或抽取样本，以便了解因子的影响。n前面例子中因子的水平？ 7 统计学概论n（三）交互影响。当方差分析的影响因子不唯一时，必要注意这些因子间的相互影响。如果因子间存在相互影响，我们称之为“交互影响”；如果因子间是相互独立的，则称为无交互影响。交互影响有时也称为交互作用，是对实验结果产生作用的一个新因素，分析过程中，有必要将它的影响作用也单独分离开来。8 统计学概论n三、方差分析的原理n（一）方差的分解。样本数据波动就有二个来源：一个是随机波动，一个是因子影响。样本数据的波动，可通过离差平方和来反映，这个离差平方和可分解
4、为组间方差与组内方差两部分。n组间方差反映出不同的因子对样本波动的影响；n组内方差则是不考虑组间方差的纯随机影响。9 统计学概论n离差平方和的分解是我们进入方差分析的“切入点”，这种方差的构成形式为我们分析现象变化提供了重要的信息。如果组间方差明显高于组内方差，说明样本数据波动的主要来源是组间方差，因子是引起波动的主要原因，可以认为因子对实验的结果存在显著的影响；反之，如果波动的主要部分来自组内方差，则因子的影响就不明显，没有充足理由认为因子对实验或抽样结果有显著作用。10 统计学概论n（二）均方差与自由度n因素或因素间“交互作用”对观测结果的影响是否显著，关键要看组间方差与组内方差的比较结果
5、。当然，产生方差的独立变量的个数对方差大小也有影响，独立变量个数越多，方差就有可能越大；独立变量个数越少，方差就有可能越小。为了消除独立变量个数对方差大小的影响，我们用方差除以独立变量个数，得到“均方差（Mean Square）”，作为不同来源方差比较的基础。引起方差的独立变量的个数，称作“自由度”。 11 统计学概论n检验因子影响是否显著的统计量是一个F统计量： nF统计量越大，越说明组间方差是主要方差来源，因子影响越显著；F越小，越说明随机方差是主要的方差来源，因子的影响越不显著。12 统计学概论第二节 单因素方差分析 n一、单因素条件下离差平方和的分解数据结构如下：13 统计学概论n总离
6、差平方和 SST=SSE+SSA 反映全部数据之间差异组间方差总和：样本均值与总体均值的差异，反映了因素的不同水平组内方差总和：样本观测值与样本均值的差异，反映了随机误差的影响14 统计学概论n二、因素作用显著性的检验 n自由度的确定：SST是由于的波动引起的方差，但是，这里所有的nr个变量并不独立，它们满足一个约束条件 ，真正独立的变量只有nr-1个，自由度是nr-1。nSSA是因子在不同水平上的均值变化而产生的方差。但是，r个均值并不是独立的，它们满足一个约束条件， 它的自由度是r-1。15 统计学概论nSSE是由所有的在各因素水平上的围绕均值波动产生，它们满足的约束条件一共r个，n失去了
7、r个自由度，所以SSE的自由度是nr-r。SST、SSA和SSE的自由度满足如下关系：nnr-1=(r-1)+(nr-r) 16 统计学概论n检验统计量是:式中:17 统计学概论nF值越大，越说明总的方差波动中，组间方差是主要部分，有利于拒绝原假设接受备选假设；反之，F值越小，越说明随机方差是主要的方差来源，有利于接受原假设，有充分证据说明待检验的因素对总体波动有显著影响。因此，检验的拒绝域安排在右侧。18 统计学概论 接受域 拒绝域19 统计学概论n方差分析需满足的假设条件（1）样本是独立的随机样本；（2）各样本皆来自正态总体；（3）总体方差具有齐性，即各总体方差相等。20 统计学概论Sta
8、tan oneway response_var factor_var if in weight , optionsntabulate：产生方差分析表，以及平均数和标准差nscheffe选项生成了一个表来显示在每一对平均数之间的差异是否显著n原假设：多总体的均值相等n根据Barlett检验的P值判断是否同方差n原假设：多总体同方差21 统计学概论第三节 双因素方差分析n（一）无交互影响：22 统计学概论n数据的离差平方和分解形式为：nSST=SSA+SSB+SSE 23 统计学概论nSSA表示的是因素A的组间方差总和，SSB是因素B的组间方差总和，都是各因素在不同水平下各自均值差异引起的；SSE
9、仍是组内方差部分，由随机误差产生。n各个方差的自由度是：SST的自由度为nr-1，SSA的自由度为r-1，SSB的自由度为n-1，SSE的自由度为nr-r-n-1=（r-1）(n-1)。24 统计学概论n各个方差对应的均方差是：n对因素A而言：n对因素B而言： n对随机误差项而言： 25 统计学概论n我们得到检验因素A与B影响是否显著的统计量分别是：26 统计学概论n（二）有交互影响27 统计学概论n离差平方和分解形式：nSST=SSA+SSB+SSAB+SSE 28 统计学概论n上式中29 统计学概论n离差平方和SST、SSA、SSB、SSAB和SSE的自由度分别是rnm-1、r-1、n-1、(r-1)(n-1)和rn(m-1)。30 统计学概论n相应的均方差是31 统计学概论n检验因素A与B影响是否显著的统计量分别是 :n检验交互影响是否显著的统计量度是： 32
