1、v 问题的提出：v目标规划是在线性规划的基础上，为适应经济管理多目标决策的需要而由线性规划逐步发展起来的一个分支。v由于现代化企业内专业分工越来越细，组织机构日益复杂，为了统一协调企业各部门围绕一个整体的目标工作，产生了目标管理这种先进的管理技术。目标规划是实行目标管理的有效工具，它根据企业制定的经营目标以及这些目标的轻重缓急次序，考虑现有资源情况，分析如何达到规定目标或从总体上离规定目标的差距为最小。目标规划的数学模型1v 引例 某企业计划生产甲，乙两种产品，这些产品分别要在A,B,C,D四种不同设备上加工。按工艺文件规定，如表所示。ABCD单件利润甲21402乙22043最大负荷12816
2、12问该企业应如何安排计划，使得计划期内的总利润收入为最大？2v 解：设甲、乙产品的产量分别为x1，x2，建立线性规划模型：其最优解为x14，x22，z14元3(1) 力求使利润指标不低于12元；(2) 考虑到市场需求，甲、乙两种产品的生产量需保持1:1的比例；(3) C和D为贵重设备，严格禁止超时使用；(4) 设备B必要时可以加班，但加班时间要控制；设备A即要求充分利用，又尽可能不加班。要考虑上述多方面的目标，需要借助目标规划的方法。要考虑上述多方面的目标，需要借助目标规划的方法。但企业的经营目标不仅仅是利润，而且要考虑多个方面，如：4v 线性规划模型存在的局限性：v 1）要求问题的解必须满
3、足全部约束条件，实际问题中并非所有约束都需要严格满足。v 2）只能处理单目标的优化问题。实际问题中，目标和约束可以相互转化。v 3）线性规划中各个约束条件都处于同等重要地位，但现实问题中，各目标的重要性即有层次上的差别，同一层次中又可以有权重上的区分。v 4）线性规划寻求最优解，但很多实际问题中只需找出满意解就可以。5例如某厂生产两种产品A和B，已知生产A产品100kg需8个工时，生产B产品100kg需10个工时，假定每日可用的工时数为40，且希望不雇临时工，也不加班生产。这两种产品每100kg 均可获利100元。此外，有个顾客要求每日供应他B种产品600kg.问应如何安排生产计划？解 设生产
4、A、B两种产品的数量各为 两个约束条件矛盾，故无可行解；但是，它是一个实际问题，应该存在某种解决办法。“无解”的原因有两个：一是顾客对B产品的需求太大，该工厂供应不了，仅能供给一部分；二是人力少了，不加班不雇临时工完成不了任务。 6v 目标规划怎样解决上述线性规划模型建模中的局限性？1. 设置偏差变量，用来表明实际值同目标值之间的差异。偏差变量用下列符号表示：d+超出目标的偏差，称正偏差变量d-未达到目标的偏差，称负偏差变量正负偏差变量两者必有一个为0。 当实际值超出目标值时： d+0, d-=0; 当实际值未达到目标值时： d+=0, d-0; 当实际值同目标值恰好一致时： d+=0, d-
5、=0;故恒有d+d-=072. 统一处理目标和约束。 对有严格限制的资源使用建立系统约束，数学形式同线性规划中的约束条件。如C和D设备的使用限制。 对不严格限制的约束，连同原线性规划建模时的目标，均通过目标约束来表达。1）例如要求甲、乙两种产品保持1:1的比例，系统约束表达为：x1=x2。由于这个比例允许有偏差，当x1x2时，出现正偏差d+，即： x1-d+ =x2或x1x2-d+ =08v 正负偏差不可能同时出现，故总有：vx1x2+d-d+ =0 若希望甲的产量不低于乙的产量，即不希望d-0,用目标约束可表为: 若希望甲的产量低于乙的产量，即不希望d0,用目标约束可表为: 若希望甲的产量恰
6、好等于乙的产量，即不希望d0,也不希望d-0用目标约束可表为:9v 3）设备B必要时可加班及加班时间要控制，目标约束表示为：v 2）力求使利润指标不低于12元，目标约束表示为：v 4）设备A既要求充分利用，又尽可能不加班，目标约束表示为：103. 目标的优先级与权系数在一个目标规划的模型中，为达到某一目标可牺牲其他一些目标，称这些目标是属于不同层次的优先级。优先级层次的高低可分别通过优先因子P1,P2,表示。优先因子间的关系为PkPk+1 Pk对应的目标比Pk+1对应的目标有绝对的优先性。对于同一层次优先级的不同目标，按其重要程度可分别乘上不同的权系数。权系数是一个个具体数字，乘上的权系数越大
7、，表明该目标越重要。现假定： 第1优先级P1企业利润； 第2优先级P2甲乙产品的产量保持1:1的比例 第3优先级P3设备A,B尽量不超负荷工作。其中设备A的重要性比设备B大三倍。11v 上述目标规划模型可以表示为：12例如某厂生产两种产品A和B，已知生产A产品100kg需8个工时，生产B产品100kg需10个工时，假定每日可用的工时数为40，且希望不雇临时工，也不加班生产。这两种产品每100kg 均可获利100元。此外，有个顾客要求每日供应他B种产品600kg.问应如何安排生产计划？解 设生产A、B两种产品的数量各为 两个约束条件矛盾，故无可行解；但是，它是一个实际问题，应该存在某种解决办法。
8、“无解”的原因有两个：一是顾客对B产品的需求太大，该工厂供应不了，仅能供给一部分；二是人力少了，不加班不雇临时工完成不了任务。 13为了解决这个生产实际问题，就要寻求能使产品B的产量尽量大和消耗人力尽量少的方案。又产生了两个新的目标，考虑到原来的目标和约束条件，可得: 第1优先级P1获利尽量多 第2优先级P2用人尽量少 第3优先级P3B产量尽量大利润不少于80014目标规划数学模型的一般形式达成函数目标约束其中：gk为第k个目标约束的预期目标值， 和 为pl 优先因子对应各目标的权系数。15例1 某公司准备对产品进行更新换代。但是由于资金有限，管理层不得不在三种新产品的投资上作出取舍。另外，还
9、需要考虑的是，这些决策是否会影响公司维持职工的相对稳定等。经过管理科学工作者和公司管理高层开会进行讨论，确定了如下目标：目标1：新产品产生的总利润不得少于1.25亿元；目标2：保持现有职工4000人的员工水平；目标3：将投资金额限制在5500万元；并且，他们对以上目标明确优先解决的次序：16优先级1：三种新产品产生的总利润不得少于1.25亿元；优先级2：避免员工水平低于4000人；优先级3：将投资金额限制在5500万元；优先级4：避免员工水平高于4000人。总利润、员工水平以及资金投资规模都依赖于三种产品的产量，每一产品对各个目标贡献与产量成比例关系，如下表问应该如何拟定一个满意方案？17因素
10、产品单位贡献目标 123总利润/百万元12915125员工水平/以百为单位534= 40投资资金（百万）578 5518设分别为三种产品的产量，则有解：19目标规划的图解法目标规划的图解法适用两个变量的目标规划问题，其操作简单，原理一目了然。图解法解题步骤：图解法解题步骤：1.先考虑硬约束与决策变量的非负约束，作图得可行域。2.作目标约束（暂不考虑正负偏差变量），在目标约束所代表的边界线上，用箭头标出正、负偏差变量值增大的方向3. 求满足最高优先等级目标的解4. 转到下一个优先等级的目标，在不破坏所有较高优先等级目标的前提下，求出该优先等级目标的解5. 重复4，直到所有优先等级的目标都已审查完
11、毕为止6. 确定最优解和满意解。20 x1x2(1)(2)d1+d1-(3)d2-d2+(4)d3-d3+GD满意解是线段GD上任意点其中G点X(2,4),D点X(10/3,10/3)05.51055.6112,410/3,10/35107例121(a)(b)(c)(d )x2x1(e)(f)d1-d1+d2+d2-d3-d3+d4-d4+满意解(3,3)04683462 2例2220 x2 0 x114012010080604020 20 40 60 80 100ABCDC(60 ,58.3)为所求的满意解。(60,58.3)例323v 例4 某厂装配黑白与彩色两种电视机，每装配一台电视机，
12、需占用装配线1小时，装配线每周开动40小时，预计市场每周彩电销量为24台，每台获利80元，黑白电视机销量为30台，每台可获利40元，该厂的目标是：第1优先级：充分利用装配线每周开动40小时第2优先级：允许装配线加班，但每周加班时间不超过10小时第3优先级：装配电视机数量尽量满足市场需要，但因彩电利润高，彩电的权因子取2建立目标规划，并计算两种电视机的产量应为多大?24解：设x1,x2分别为彩电及黑白电视机产量，目标约束为目标函数为25Ox1x22040605020406050abd1-d1+d2-d2+cdd3-d3+d4-d4+(24,26)满意解X=(24，26)26模糊数学绪论用数学的眼
13、光看世界，可把我们身边的现象划分为：1.确定性现象：如水加温到100oC就沸腾，这种现象的规律 性靠经典数学去刻画； 2.随机现象：如掷筛子，观看那一面向上，这种现象的规律 性靠概率统计去刻画;3.模糊现象：如 “今天天气很热”，“小伙子很高”，等等。此话准确吗？有多大的水分？靠模糊数学去刻画。 27年轻、重、热、美、厚、薄、快、慢、大、小、高、低、长、短、贵、贱、强、弱、软、硬、阴天、多云、暴雨、清晨、礼品。共同特点：模糊概念的外延不清楚。模糊概念导致模糊现象模糊数学模糊数学研究和揭示模糊现象的研究和揭示模糊现象的定量处理方法。定量处理方法。 模糊数学绪论28产生1965年，L.A. Zad
14、eh（扎德） 发表了文章模糊集 (Fuzzy Sets，Information and Control, 8, 338-353 )基本思想用属于程度代替属于或不属于。某个人属于高个子的程度为0.8, 另一个人属于高个子的程度为0.3等.模糊数学绪论29模糊代数，模糊拓扑，模糊逻辑，模糊分析，模糊概率，模糊图论，模糊优化等模糊数学分支 涉及学科分类、识别、评判、预测、控制、排序、选择； 模糊产品洗衣机、摄象机、照相机、电饭锅、空调、电梯人工智能、控制、决策、专家系统、医学、土木、农业、气象、信息、经济、文学、音乐模糊数学绪论30模糊数学绪论模糊线性规划将线性规划的约束条件或目标函数模糊化，引入隶
15、属函数，从而导出一个新的线性规划问题，其最优解称为原问题的模糊最优解31模糊线性规划一、模糊约束条件下的极值问题例：某人想买一件大衣，提出如下标准：式样一般，质量好，尺寸较全身，价格尽量便宜，设有5件大衣Xx1,x2,x3,x4,x5供选择，经调查结果如表大衣x1x2x3x4X5式样过时一般较陈旧较新时髦质量好较好好较差一般尺寸合身较合身合身合身较合身价格40801008575问他应该购买哪一件大衣？32模糊线性规划该类问题的解题过程：2. 目标函数f(x)模糊化1.将言真(价果)化各模糊束集的隶属度3.定义模糊判决：加权型：对称型：4. 由最大隶属原则求出x*, 则x*为模糊条件极大值点。3
16、3解：将式样，质量，尺寸化为三个模糊约束A1,A2,A3,价格为模糊目标G：大衣x1x2x3x4X5A100.70.50.81A210.810.40.6A310.8110.8G10.3300.250.5将表中的评价结果转化为各模糊约束集的隶属度其中模糊目标34总约束集模糊目标集约束与目标对等时，用对称型模糊判决由最大隶属原则，应该买x5.35如果要求价格更便宜，则放松约束，令a=0.4, b=0.6加权型判决为由最大隶属原则，应该买x1.36模糊线性规划实例： 采区巷道布置是矿井开拓中的重要内容，其目的就是建立完善的矿井生产系统，实现采区合理集中生产，改善技术经济指标.因此，合理地选择最优巷道
17、布置方案，对于矿井生产具有十分重要的意义.根据煤矿开采的特点和采区在矿井生产的作用，在选择最优巷道布置方案时，要求达到下列标准：(1)生产集中程度高； (2)采煤机械化程度高；(3)采区生产系统十分完善； (4)安全生产可靠性好；(5)煤炭损失率低； (6)巷道掘进费用尽可能低.上述问题,实际上就是一个模糊约束下的条件极值问题，我们可以把(1)(5)作为模糊约束，而把(6)作为目标函数.设某矿井的采区巷道布置有六种方案可供选择，即=(方案), (方案), (方案), (方案), (方案), (方案).37模糊线性规划经过对六种方案进行审议，评价后，将其结果列于表163.6044.2034.50
18、78.8069.1059.40G： 巷道掘进费用(万元)很低一般一般一般较高高 :煤炭损失率低高一般高较低一般较低 :安全生产可靠度高较高高很高较低较低一级 :采区生产系统完善高很高高较高较高高 :采煤机械化程度高较高较高很高较高高较低 :生产集中程度高 方案评价项目略38普通线性规划的一般形式为 目标函数约束条件 矩阵表达形式模糊线性规划二、模糊线性规划问题(1)39模糊线性规划是将约束条件和目标函数模糊化，引入隶属函数，从而导出一个新的线性规划问题，它的最优解称为原问题的模糊最优解. 普通线性规划其约束条件和目标函数都是确定的，但在一些实际问题中，约束条件可能带有弹性，目标函数可能不是单一
19、的，可以借助模糊集的方法来处理.40模糊线性规划，其模型为为了体现这个近似小于等于，我们引入伸缩指标di ,41模型又可写成当时， 当取内某一。 （2）42模糊线性规划43模糊线性规划44模糊线性规划45模糊线性规划46模糊线性规划47模糊线性规划48模糊线性规划49实例1：饮料配方问题某种饮料含有三种主要成份A1,A2,A3, 每瓶含量分别为755 mg, 1205 mg, 1385 mg,这三种成份主要来自于五种原料 B1, B2, B3, B4, B5. 各种原料每千克所含成分与单价如下表所示，若生产此种饮料一万瓶，如何选择原料成本最小？原料B1B2B3B4B5A1/mg85601208
20、0120A2/mg801509016060A3/mg100120150120200单价/元1.31.51.61.71.850多目标线性规划 在相同的条件下,要求多个目标函数都得到最好的满足,这便是多目标规划. 若目标函数和约束条件都是线性的,则为多目标线性规划. 一般来说,多个目标函数不可能同时达到其最优值,因此只能求使各个目标都比较“满意”的模糊最优解. 模糊线性规划51例2 解多目标线性规划问题模糊线性规划52解普通线性规划问题： 得最优解为x1 = 0, x2 = 2, x3 = 2, 最优值为2，此时 f 2 = 8. 模糊线性规划53解普通线性规划问题： 得最优解为x1 = 10,
21、x2 = 0, x3 = 0, 最优值为20，此时f 1 = 10. 模糊线性规划54的最优解为x1 = 0, x2 = 2, x3 = 2, 最优值为2,此时 f 2 = 8.的最优解为x1 = 10, x2 = 0, x3 = 0, 最优值为20，此时f 1 = 10. 同时考虑两个目标，合理的方案是使f 1 2, 10 , f 2 8, 20 , 可取伸缩指标分别为d1 = 10 - 2 = 8, d2 = 20 - 8 = 12. 如果认为目标 f 1更重要,可单独缩小d1; 如果认为目标 f 2更重要，可单独缩小d2. 55 再分别将两个目标函数模糊化,变为解普通线性规划问题： 得最优解为x1 = 6.29, x2 = 0.29, x3 = 1.43, = 0.57.此时f 1 = 5.43, f 2 = 14.86.56
