1、高等代数硕士研究生招生初试考试大纲高等代数硕士研究生招生初试考试大纲一、试卷满分及考试时间试卷满分为150分，考试时间为180分钟。二、考试形式考试形式为闭卷、笔试。三、学习内容(一) 多项式主要考核一元多项式，整除的概念，最大公因式，因式分解定理，重因式，多项式函数，复系数与实系数多项式的因式分解，有理系数多项式。学习要求：1. 理解数域的概念。2. 掌握带余除法。3. 理解因式分解定理，会对多项式进行复系数与实系数及有理系数的因式分解。(二) 行列式主要考核行列式的性质，行列式的计算，克拉默法则，行列式的乘法规则。学习要求：1. 掌握n阶行列式的主要计算方法。2. 理解n阶行列式的定义。3
2、. 理解并会应用克拉默法则求线性方程组的解。(三) 线性方程组主要考核向量空间，向量线性相关性，矩阵的秩，线性方程组有解的判别定理；n维向量的概念及运算；向量组的线性组合、线性表示、线性相关、线性无关等概念；向量组的线性相关性的判定；两个向量组的等价；向量组的极大无关组、秩的概念及性质；向量组的秩与矩阵的秩的关系；线性方程组解的结构。学习要求：1. 理解矩阵秩的概念并会求矩阵的秩。2. 掌握向量组的秩与矩阵的秩的关系。3. 理解向量组线性相关和线性无关的定义并掌握其判定定理。4. 掌握向量组的线性关系与线性方程组解的联系。5. 掌握线性方程组解的结构，会用矩阵的初等变换求线性方程组的解。(四)
3、 矩阵主要考核矩阵的概念，矩阵的运算，矩阵乘积的行列式与秩，矩阵的逆，矩阵的分块，初等矩阵，初等变换。学习要求：1. 掌握矩阵的基本运算和初等变换的应用2. 了解初等变换与矩阵乘法的联系。3. 理解逆矩阵的概念及其存在的充要条件，并会求逆矩阵。4. 会用矩阵分块法进行特殊矩阵的计算。(五) 二次型主要考核二次型的矩阵表示，标准形，规范型，正定二次型，半正定二次型，负定二次型，半负定二次型。学习要求：1. 理解二次型的概念并能求其标准形。2. 掌握判定二次型正定的方法。(六) 线性空间主要考核集合，映射，线性空间的定义与性质，维数、基与坐标，基变换与坐标变换，线性子空间，子空间的交与和，子空间的
4、直和，线性空间的同构。学习要求：1. 理解线性空间和子空间的概念。2. 会求线性空间的维数和基，掌握基变换和坐标变换之间的关系。3. 了解子空间直和与同构的概念。(七) 线性变换主要考核线性变换的概念与性质，线性变换的运算，线性变换的矩阵，特征值与特征向量，矩阵相似对角矩阵的各种条件，线性变换的值域与核，不变子空间，若当(Jordan)标准形。学习要求：1. 掌握线性变换与矩阵的关系，会求线性变换在某基下的矩阵。2. 理解矩阵相似的概念，掌握线性变换在不同基下矩阵的对应。 3. 会求矩阵的特征值与特征向量。4. 理解线性变换的值域与核的概念。5. 掌握方阵对角化的条件与方法。6. 会将线性空间按特征值分解成不变子空间的直和。(八) 欧几里得空间主要考核欧几里得空间的概念与性质，标准正交基，欧几里得空间的子空间与同构，正交变换，对称变换，Schimidt正交化方法，实对称矩阵的标准形。学习要求：1. 理解正交变换和对称变换概念。2. 会求标准正交基。3. 会用正交变换化实对称矩阵为对角阵。四、考核主要形式1、选择、填空、判断题(涵盖较广，包括基本概念、简单计算、基本方法的简单运用等)；2、计算和证明(基本原理和基本方法在具体问题上的运用)。 3 / 3
