1、第18章 平行四边形 专项训练专训1.利用特殊四边形的性质巧解折叠问题名师点金：四边形的折叠问题是指将四边形按照某种方式折叠，然后在平面图形内按照要求完成相应的计算和证明折叠的本质是图形的轴对称变换，折叠后的图形与原图形全等21*cnjy*com 平行四边形的折叠问题1在ABCD中，AB6，AD8，B是锐角，将ACD沿对角线AC所在直线折叠，点D落在ABC所在平面内的点E处如果AE恰好经过BC的中点，那么ABCD的面积是_【来源：21cnj*y.co*m】2如图，将平行四边形纸片ABCD沿对角线AC所在直线折叠，点D落在点E处，AE恰好经过BC边的中点若AB3，BC6，求B的度数(第2题) 矩
2、形的折叠问题3如图，将矩形ABCD沿DE折叠，使顶点A落在DC上的点A处，然后将矩形展平，沿EF折叠，使顶点A落在折痕DE上的点G处再将矩形ABCD沿CE折叠，此时顶点B恰好落在DE上的点H处如图.(1)求证：EGCH；(2)已知AF，求AD和AB的长(第3题) 菱形的折叠问题(第4题)4如图，在菱形ABCD中，A120，E是AD上的点，沿BE折叠ABE，点A恰好落在BD上的F点，连接CF，那么BFC的度数是()A60 B70 C75 D805如图，将菱形纸片ABCD折叠，使点A恰好落在菱形的对角线交点O处，折痕为EF.若菱形的边长为2，A120，求EF的长(第5题) 正方形的折叠问题(第6题
3、)6如图，正方形纸片ABCD的边长AB12，E是DC上一点，CE5，折叠正方形纸片使点B和点E重合，折痕为FG，则FG的长为_7(中考德州)如图，现有一张边长为4的正方形纸片ABCD，点P为正方形AD边上的一点(不与点A，点D重合)将正方形纸片折叠，使点B落在P处，点C落在G处，PG交DC于H，折痕为EF，连接BP，BH.(1)求证：APBBPH.(2)当点P在边AD上移动时，PDH的周长是否发生变化？并证明你的结论(第7题)专训2.利用特殊四边形的性质巧解动点问题名师点金：利用特殊四边形的性质解动点问题，一般将动点看成特殊点解决问题，再运用从特殊到一般的思想，将特殊点转化为一般点(动点)来解
4、答 平行四边形中的动点问题1如图，在ABCD中，E，F两点在对角线BD上运动(E，F两点不重合)，且保持BEDF，连接AE，CF.请你猜想AE与CF有怎样的数量关系和位置关系，并对你的猜想加以证明www-2-1-cnjy-com(第1题) 矩形中的动点问题2已知，在矩形ABCD中，AB4 cm，BC8 cm，AC的垂直平分线EF分别交AD，BC于点E，F，垂足为O.21教育名师原创作品(1)如图，连接AF，CE，试说明四边形AFCE为菱形，并求AF的长；(2)如图，动点P，Q分别从A，C两点同时出发，沿AFB和CDE各边匀速运动一周即点P自AFBA停止，点Q自CDEC停止在运动过程中，已知点P
5、的速度为5 cm/s，点Q的速度为4 cm/s，运动时间为t s，当以A，C，P，Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，求t的值(第2题) 菱形中的动点问题3如图，在菱形ABCD中，B60，动点E在边BC上，动点F在边CD上(1)如图，若E是BC的中点，AEF60，求证：BEDF；(2)如图，若EAF60，求证：AEF是等边三角形(第3题) 正方形中的动点问题4如图，正方形ABCD的边长为8 cm，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA上的动点，且AEBFCGDH.21*cnjy*com(1)求证：四边形EFGH是正方形；(2)判断直线EG是否经过一个定点，并说明理由(第4题)专训3.特殊平
6、行四边形中的五种常见热门题型名师点金：本章主要学习平行四边形、菱形、矩形、正方形的性质与判定的灵活应用，其中特殊平行四边形中的折叠问题、动点问题、中点四边形问题、图形变换问题是中考的热门考点 特殊平行四边形中的折叠问题1如图，将一张长为10 cm，宽为8 cm的矩形纸片对折两次后，沿所得矩形两邻边中点的连线(图中的虚线)剪下，再打开，得到的菱形的面积为()A10 cm2 B20 cm2C40 cm2 D80 cm2(第1题)(第2题)2如图，在矩形ABCD中，E是AD的中点，将ABE沿直线BE折叠后得到GBE，延长BG交CD于点F，若AB6，BC4，则FD的长为()A2 B4 C. D23如图
7、，将正方形纸片ABCD折叠，使边AB，CB均落在对角线BD上，得折痕BE，BF，则EBF的大小为()A15 B30 C45 D60(第3题)(第4题) 特殊平行四边形中的动点问题4如图，在RtABC中，B90，AC60 cm，A60.点D从点C出发沿CA方向以4 cm/s的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以2 cm/s的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动设点D，E运动的时间是t s(0t15)过点D作DFBC于点F，连接DE，EF.若四边形AEFD为菱形，则t的值为()A5 B10C15 D205如图，正方形ABCD的边长为4，DAC的平分线交D
8、C于点E.若点P，Q分别是AD和AE上的动点，则DQPQ的最小值是()A2 B4 C2 D4(第5题)(第6题) 特殊平行四边形中的中点四边形问题6如图，在四边形ABCD中，ACa，BDb，且ACBD，顺次连接四边形ABCD各边中点，得到四边形A1B1C1D1，再顺次连接四边形A1B1C1D1各边中点，得到四边形A2B2C2D2，如此进行下去，得到四边形AnBnCnDn.下列结论正确的是()21cnjy四边形A4B4C4D4是菱形；四边形A3B3C3D3是矩形；四边形A7B7C7D7的周长为；四边形AnBnCnDn的面积为.A BC D7如图，已知E，F，G，H分别为菱形ABCD四边的中点，A
9、B6 cm，ABC60，则四边形EFGH的面积为_(第7题)(第8题) 特殊平行四边形中的图形变换问题8如图，边长为1的正方形ABCD绕点A逆时针旋转45得到正方形AB1C1D1，边B1C1与CD交于点O，则四边形AB1OD的面积是()A. B.C.1 D19如图，四边形ABCD是正方形，点G是BC边上任意一点，DEAG于点E，BFDE，交AG于点F.【出处：21教育名师】(1)求证：AFBFEF；(2)将ABF绕点A逆时针旋转，使得AB与AD重合，记此时点F的对应点为点F，若正方形ABCD的边长为3，求点F与旋转前的图形中点E之间的距离(第9题) 灵活应用特殊平行四边形的性质与判定进行计算或
10、证明10如图，在ABCD中，E，F分别是AB，CD的中点，连接AF，CE.(1)求证：BECDFA；(2)连接AC，当CACB时，判断四边形AECF是什么特殊四边形，并说明理由(第10题)11如图，在矩形ABCD中，点E在边CD上，将该矩形沿AE折叠，使点D落在边BC上的点F处，过点F作FGCD，交AE于点G，连接DG.(1)求证：四边形DEFG为菱形；(2)若CD8，CF4，求的值(第11题)12如图，在正方形ABCD中，E，F分别是边AD，DC上的点，且AFBE.(1)求证：AFBE.(2)如图，在正方形ABCD中，M，N，P，Q分别是边AB，BC，CD，DA上的点，且MPNQ.MP与NQ
11、是否相等？并说明理由(第12题)专训4.全章热门考点整合应用名师点金：本章内容是中考的必考内容，主要考查与平行四边形、矩形、菱形、正方形有关的计算和证明等问题近几年又出现了许多与平行四边形有关的开放探索题、操作题以及与全等、相似、函数知识相结合的综合题其主要考点可概括为：一个性质，一个定理，四个图形，三个技巧21cnjycom 一个性质直角三角形斜边上的中线性质1如图，在ABC中，点D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，AH是边BC上的高求证：(1)四边形ADEF是平行四边形；(2)DHFDEF.(第1题) 一个定理三角形的中位线定理2如图所示，已知在四边形ABCD中，ADBC且ACBD，点
12、E，F，G，H，P，Q分别是AB，BC，CD，DA，AC，BD的中点www.21-cn-求证：(1)四边形EFGH是矩形；(2)四边形EQGP是菱形(第2题) 四个图形图形1平行四边形3如图，E，F分别是ABCD的AD，BC边上的点，且AECF.(1)求证：ABECDF；(2)若M，N分别是BE，DF的中点，连接MF，EN，试判断四边形MFNE是什么特殊的四边形，并证明你的结论【来源：21世纪教育网】(第3题)图形2矩形4如图，在ABCD中，点O是AC与BD的交点，过点O的直线与BA的延长线，DC的延长线分别交于点E，F.(1)求证：AOECOF.(2)连接EC，AF，则EF与AC满足什么数量
13、关系时，四边形AECF是矩形？请说明理由(第4题)图形3菱形5如图，在ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，过点E作EFAB，交BC于点F.(1)求证：四边形DBFE是平行四边形(2)当ABC满足什么条件时，四边形DBFE是菱形？为什么？(第5题)图形4正方形6如图，已知在RtABC中，ABC90，先把ABC绕点B顺时针旋转90后至DBE，再把ABC沿射线AB平移至FEG，DE，FG相交于点H.(1)判断线段DE，FG的位置关系，并说明理由；(2)连接CG，求证：四边形CBEG是正方形(第6题) 三个技巧技巧1解与四边形有关的折叠问题的技巧(轴对称变换法)7如图所示，在矩形ABCD中，AB1
14、0，BC5，点E，F分别在AB，CD上，将矩形ABCD沿EF折叠，使点A，D分别落在矩形ABCD外部的点A1，D1处，求阴影部分图形的周长21世纪*教育网(第7题)技巧2解与四边形有关的旋转问题的技巧(特殊位置法)8如图，正方形ABCD的对角线相交于点O，点O也是正方形ABCO的一个顶点，如果两个正方形的边长都等于1，那么正方形ABCO绕顶点O转动，两个正方形重叠部分的面积大小有什么规律？请说明理由(第8题)技巧3解与四边形有关的动态问题的技巧(固定位置法)9如图，在边长为10的菱形ABCD中，对角线BD16，对角线AC，BD相交于点G，点O是直线BD上的动点，OEAB于E，OFAD于F.(1
15、)求对角线AC的长及菱形ABCD的面积(2)如图，当点O在对角线BD上运动时，OEOF的值是否发生变化？请说明理由(3)如图，当点O在对角线BD的延长线上时，OEOF的值是否发生变化？若不变，请说明理由；若变化，请探究OE，OF之间的数量关系，并说明理由21世纪教育网版权所有(第9题)答案专训1112点拨：如图，设AE，BC的交点为O，连接BE，已知O是BC的中点在ABC和CDA中，ABCD，BCDA，ACCA，ABCCDA，则ABCCEA，ACBCAE，同时，BCAE，即在四边形ABEC中，两条对角线相等在AOC中，ACBCAE，AOOC，易得O是AE的中点四边形ABEC是矩形，在RtAEC
16、中，CEAB6，AEAD8，由勾股定理得AC2.21教育网ABCD的面积ABAC6212.(第1题)(第2题)2解：设AE与BC相交于点F，如图四边形ABCD为平行四边形，ADBC.13.平行四边形纸片ABCD沿对角线AC所在直线折叠，点D落在点E处，23，12.FCFA.F为BC边的中点，BC6，AFCFBF63.又AB3，ABF是等边三角形B60.(第3题)3(1)证明：由折叠知AEADEG，BCCH.四边形ABCD是矩形，ADBC.EGCH.(2)解：ADE45，FGEA90，AF，DG，DF2.AD2.如图，由折叠知，12，34，2490，1390.1AFE90，3AFE.又AB90，
17、由(1)知，AEBC，EFACEB.AFBE.ABAEBEADAF222.4C点拨：四边形ABCD是菱形，ABBC，AABC180，BD平分ABC.A120，ABC60，FBC30.根据折叠可得ABBF，FBBC.BFCBCF(18030)275.故选C.2-1-c-n-j-y5解：如图，连接BD，AC.四边形ABCD是菱形，ACBD，AC平分BAD.BAD120，BAC60.ABO906030.AOB90，AOAB21.由勾股定理，得BODO.点A沿EF折叠与点O重合，EFAC，EF平分AO.ACBD，EFBD，易得EF为ABD的中位线，EFBD().(第5题)613点拨：如图，过点F作FM
18、BC，垂足为M，连接BE，FE，设BE交FG于点N，由折叠的性质知FGBE，【版权所有：21教育】CBNG90，BGNBEC.易知FMBC，FMGC，FMGBCE，MGCE5，由勾股定理得FG13.(第6题)7(1)证明：PEBE，EBPEPB.又EPHEBC90，EPHEPBEBCEBP，即BPHPBC.又ADBC，APBPBC，APBBPH.(2)解：PDH的周长不变且为定值8.证明如下：过B作BQPH，垂足为Q.如图由(1)知APBBPH，又ABQP90，BPBP，ABPQBP.APQP，ABBQ.又ABBC，BCBQ.又CBQH90，BHBH，RtBCHRtBQH，CHQH.PDH的周
19、长为：PDDHPHAPPDDHHCADCD8.(第7题)专训21解：AECF，AECF.证明如下：四边形ABCD是平行四边形，ABCD，ABCD.ABECDF.在ABE和CDF中，ABCD，ABECDF，BEDF，ABECDF.AECF，AEBCFD.AEBAEDCFDCFB180，AEDCFB.AECF.2解：(1)四边形ABCD是矩形，ADBC.CADACB，AEFCFE.EF垂直平分AC，垂足为O，OAOC.AOECOF.OEOF.四边形AFCE为平行四边形又EFAC，四边形AFCE为菱形设AFCFx cm，则BF(8x)cm，(第2题)在RtABF中，AB4 cm，由勾股定理得42(8
20、x)2x2，解得x5.AF5 cm.(2)显然当P点在AF上，Q点在CD上时，A，C，P，Q四点不可能构成平行四边形；同理P点在AB上，Q点在DE或CE上时，也不可能构成平行四边形因此只有当P点在BF上，Q点在ED上时，才能构成平行四边形，如图，连接AP，CQ，则以A，C，P，Q四点为顶点的四边形是平行四边形，此时PCQA.点P的速度为5 cm/s，点Q的速度为4 cm/s，运动时间为t s，PC5t cm，QA(124t)cm.5t124t，解得t.以A，C，P，Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，t.3证明：(1)如图，连接AC.在菱形ABCD中，B60，ABBCCD，BCD180B120
21、.ABC是等边三角形又E是BC的中点，AEBC.AEF60，FEC90AEF30.CFE180FECBCD1803012030.FECCFE.ECCF.BEDF.(第3题)(2)如图，连接AC.由(1)知ABC是等边三角形，ABAC，ACBBAC60.又EAF60，BAECAF.BCD120，ACB60，ACF60B.ABEACF.AEAF.AEF是等边三角形(第4题)4(1)证明：如图，四边形ABCD为正方形，AABCCADC90，ABBCCDAD.AEBFCGDH，AHBECFDG.AEHBFECGFDHG.12，EHEFFGGH.四边形EFGH为菱形1390，12，2390.HEF90.
22、四边形EFGH为正方形(2)解：直线EG经过一个定点理由如下：如图，连接BD，DE，BG，EG.设EG与BD交于O点BE綊DG，四边形BGDE为平行四边形BD，EG互相平分BOOD.点O为正方形的中心直线EG必过正方形的中心专训31A2B点拨：连接EF，由题易知，AEEGED，AEGBEGFD90，又EFEF，所以RtEGFRtEDF，所以FGDF.设DFx，则BF6x，CF6x，在RtBCF中，(4)2(6x)2(6x)2，解得x4，所以FD4.3C4B点拨：在DFC中，DFC90，C30，DC4t cm，所以DF2t cm.又因为AE2t cm，所以AEDF.因为AEDF，所以可推出四边形
23、AEFD为平行四边形令AEAD，则604t2t.解得t10.所以当t10时，四边形AEFD为菱形5C点拨：连接BD交AC于点O，由图可知，DQPQ的最小值即为DO的长，由正方形的边长为4可知，DO的长为2，所以DQPQ的最小值为2.6A(第7题)79 cm2点拨：连接AC，BD，设AC，BD相交于点O，如图，易知，四边形EFGH是矩形由四边形ABCD是菱形，ABC60，可得ABO30，又AOB90，AOAB3 cm.AC6 cm.在RtAOB中，OB3(cm)，BD6 cm.EHBD，EFAC，EH3 cm，EF3 cm.矩形EFGH的面积EFEH339(cm2)8C9(1)证明：四边形ABC
24、D是正方形，ABAD，BADBAGEAD90.DEAG，AEDDEG90.EADADE90.ADEBAF.又BFDE，AFBDEG90.在AED和BFA中，AEDBFA(AAS)BFAE.AFAEEF，AFBFEF.(第9题)(2)解：如图，由题意知将ABF绕A点旋转得到ADF，B与D重合，连接FE，由(1)易得DEAF.根据题意知：FAF90，DEAFAF，FAEAED90.即FAEAED180.AFED.四边形AEDF为平行四边形又AED90，四边形AEDF是矩形AD3，EFAD3.10(1)证明：四边形ABCD为平行四边形，ABCD，BD，BCAD.E，F分别是AB，CD的中点，BEDF
25、.BECDFA(SAS)(2)解：四边形AECF是矩形，理由：AEAB，CFCD，ABCD，AECF.AECF，四边形AECF是平行四边形当CACB时，CEAB，AEC90.四边形AECF是矩形11(1)证明：如图，由折叠的性质可知：DGFG，EDEF，12，FGCD，31.23.FGFE.DGGFEFDE.四边形DEFG为菱形(2)解：设DEx，则EFDEx，EC8x，在RtEFC中，FC2EC2EF2，即42(8x)2x2，解得x5.CE8x3.(第11题)12(1)证明：四边形ABCD是正方形，ADAB，DBAE90，DAFBAF90.AFBE，ABEBAF90.DAFABE.DAFAB
26、E(ASA)AFBE.(2)解：MP与NQ相等理由如下：过点A作AFMP交CD于F，过点B作BENQ交AD于E，MPNQ，AFBE，由(1)知AFBE.易证四边形AMPF，四边形BNQE都是平行四边形，AFMP，BENQ，MPNQ.专训四1证明：(1)点D，E分别是AB，BC的中点，DEAC.同理可得EFAB.四边形ADEF是平行四边形(2)由(1)知四边形ADEF是平行四边形，DAFDEF.在RtAHB中，D是AB的中点，DHABAD，DAHDHA.同理可得HFACAF，FAHFHA.DAHFAHDHAFHA.DAFDHF.DHFDEF.2证明：(1)点E，F，G，H分别为AB，BC，CD，
27、DA的中点，EFAC且EFAC，GHAC且GHAC，EFGH且EFGH，四边形EFGH是平行四边形又ACBD，EFEH.EFGH是矩形(2)点E，P，G，Q分别为AB，AC，DC，DB的中点，EPBC，PGAD，GQBC，QEAD.ADBC，EPPGGQQE，四边形EQGP是菱形点拨：在三角形中出现两边中点，常考虑利用三角形中位线得到线段的平行关系或数量关系3(1)证明：四边形ABCD是平行四边形，ABCD，AC.又AECF，ABECDF(SAS)(2)解：四边形MFNE是平行四边形证明：由(1)知ABECDF，BEDF，AEBCFD.M，N分别是BE，DF中点，MENF.又四边形ABCD是平
28、行四边形，ADBC.AEBEBC.CFDEBC.BEDF.四边形MFNE是平行四边形4(1)证明：四边形ABCD是平行四边形，OAOC，ABCD，AEOCFO.在AOE和COF中，AOECOF(AAS)(2)解：当ACEF时，四边形AECF是矩形理由如下：由(1)知AOECOF，OEOF.AOCO，四边形AECF是平行四边形又ACEF，四边形AECF是矩形5(1)证明：D，E分别是AB，AC的中点，DE是ABC的中位线，DEBC.又EFAB，四边形DBFE是平行四边形(2)解：答案不唯一，下列解法供参考当ABBC时，四边形DBFE是菱形理由：D是AB的中点，BDAB.DE是ABC的中位线，DE
29、BC.又ABBC，BDDE.又四边形DBFE是平行四边形，四边形DBFE是菱形6(1)解：DEFG.理由如下：由题意，得AEDBGFE，ABCDBE90，BDEBED90.GFEBED90，FHE90，即DEFG.(2)证明：ABC沿射线AB平移至FEG.CBGE，CBGE.四边形CBEG是平行四边形ABCGEF90，四边形CBEG是矩形BCBE，四边形CBEG是正方形7解：在矩形ABCD中，AB10，BC5，CDAB10，ADBC5.又将矩形ABCD沿EF折叠，使点A，D分别落在矩形ABCD外部的点A1，D1处，根据轴对称的性质可得，A1EAE，A1D1AD，D1FDF.设线段D1F与线段A
30、B交于点M，则阴影部分的周长为(A1EEMMD1A1D1)(MBMFFCCB)AEEMMD1ADMBMFFCCB(AEEMMB)(MD1MFFC)ADCBAB(FD1FC)10AB(FDFC)1010101030.点拨：要求阴影部分的周长，我们可以把两块阴影部分的周长相加，找到它们的周长和与原矩形边长的关系，从而得到问题的答案8解：两个正方形重叠部分的面积保持不变，始终是.理由如下：四边形ABCD是正方形，OBOC，OBEOCF45，BOC90.四边形ABCO是正方形，EOF90，EOFBOC.EOFBOFBOCBOF，即BOECOF.BOECOF.SBOESCOF.两个正方形重叠部分的面积等于SBOC.S正方形ABCD111.SBOCS正方形ABCD.两个正方形重叠部分的面积保持不变，始终是.9解：(1)如图，在菱形ABCD中，ACBD，BGBD168，由勾股定理得AG6，AC2AG2612.菱形ABCD的面积ACBD121696.(第9题)(2)如图，连接AO，则SABDSABOSAOD，所以BDAGABOEADOF，即16610OE10OF，解得OEOF9.6是定值，不变(3)如图，连接AO，则SABDSABOSAOD，所以BDAGABOEADOF，即16610OE10OF，解得OEOF9.6，是定值，不变所以OEOF的值变化，OE，OF之间的数量关系为：OEOF9.6.
