1、20212021 年和年和 20202020 年高校年高校强基计划数学试题强基计划数学试题（北大，清华，复旦，交大，中科大等）（北大，清华，复旦，交大，中科大等）微信公众号：乐思数学研究微信公众号：乐思数学研究两点说明：两点说明：1.若转载请注明来源微信公众号： 乐思数学研究乐思数学研究， 作者微信： lesimathlesimath,试题仅用于交流学习，不得用于商业用途，谢谢配合.2.为了方便读者交流学习，作者对文档没有添加水印，若有公众号需要转载，请不要添加自己公众号水印，保留资源来源，谢谢.笔名：乐思笔名：乐思2021.12.102021.12.10目录目录1.20211.2021 年北
2、京大学强基计划数学试题年北京大学强基计划数学试题.5.52.20212.2021 年清华大学强基计划数学试题年清华大学强基计划数学试题.9.93.20213.2021 年复旦大学强基计划数学试题年复旦大学强基计划数学试题.15.154.20214.2021 年上海交通大学强基计划数学试题年上海交通大学强基计划数学试题.17.175.20215.2021 年中国科学技术大学强基计划数学试题年中国科学技术大学强基计划数学试题.18.186.20216.2021 年中国科学技术大学强基计划数学试题（广东）年中国科学技术大学强基计划数学试题（广东）.20.207.20217.2021 年南京大学强基计
3、划数学试题年南京大学强基计划数学试题.23.238.20208.2020 年北京大学强基计划数学试题年北京大学强基计划数学试题.24.249.20209.2020 年清华大学强基计划数学试题年清华大学强基计划数学试题.30.3010.202010.2020 年复旦大学强基计划数学试题年复旦大学强基计划数学试题.40.4011.202011.2020 年上海交通大学强基计划数学试题年上海交通大学强基计划数学试题.47.4712.202012.2020 年中国科学技术大学创新班数学试题年中国科学技术大学创新班数学试题.52.5213.202013.2020 年武汉大学强基计划数学试题年武汉大学强基
4、计划数学试题.54.54强基计划强基计划简介简介一、强基计划一、强基计划2020 年 1 月，教育部（教学）1 号文件指出，自 2020 年起，在部分高校开展基础学科招生改革试点（也称强基计划），取代原有的高校自主招生，突出基础学科的引领作用，重点在数学、物理、化学、生物、历史及哲学等相关专业招生. 强基计划的主要目标是选拔并培养有志于服务国家重大战略需求且综合素质优秀或基础学科拔尖的人才.二、二、3636 所强基计划试点高校名单所强基计划试点高校名单北京大学、中国人民大学、清华大学、北京航空航天大学、北京理工大学、中国农业大学、北京师范大学、中央民族大学、南开大学、天津大学、大连理工大学、吉
5、林大学、哈尔滨工业大学、复旦大学、同济大学、上海交通大学、华东师范大学、南京大学、东南大学、浙江大学、中国科学技术大学、厦门大学、山东大学、中国海洋大学、武汉大学、华中科技大学、中南大学、中山大学、华南理工大学、四川大学、重庆大学、电子科技大学、西安交通大学、西北工业大学、兰州大学、国防科技大学.三、强基计划重点专业三、强基计划重点专业强基计划重点在数学、物理、化学、生物及历史、哲学、古文字学等相关专业招生.四、录取方式四、录取方式高校强基计划以考生综合成绩择优录取，大部分高校校测成绩占综合成绩的15%，高考成绩占综合成绩的 85%.高校强基计划主要考笔试、面试，考试时间集中安排 1-2 天内
6、进行，考生在高考后得知自己是否入围，并决定是否参加高校校测.另外，五大学科竞赛银牌及以上的考生可以通过强基计划破格入围生报考，部分高校会给予破格入围考生校测满分.五、培养模式五、培养模式强基计划不仅聚焦拔尖人才的选拔，更注重人才的培养.按照“一校一策”的原则，高校对通过强基计划录取的学生单独制定培养方案，单独编班，配备一流的师资和学习条件，实行导师制、小班化等培养模式，探索本-硕-博衔接培养模式.六、时间安排六、时间安排3 月底前，高校公布招生简章；4 月，考生网上报名；6 月，考生参加统一高考；6 月 25 日前，各省（区、市）提供高考成绩；6 月 26 日前，高校确定参加考核的考生名单；7
7、 月 4 日前，高校组织考核；7 月 5 日前，高校根据考生的高考成绩、高校综合考核结果及综合素质评价等折合成综合成绩，择优录取.20212021 年北京大学强基计划数学试题年北京大学强基计划数学试题本试卷共本试卷共 2 20 0 题，部分题目可能与实际考试有所出入，仅供参考题，部分题目可能与实际考试有所出入，仅供参考. .1.已知O为ABC的外心，AB、AC与OBC的外接圆交于D、E若DEOA，则OBC_2 2方程345yfd的正整数解,y f d的组数为_3 3 若实数a，b，c，d满足1abbccdda， 则2222234abcd的最小值为_4 4 （微信公众号：乐思数学研究微信公众号：
8、乐思数学研究）已知2021027iiY，则Y的个位数字是_5 5若平面上有 100 条二次曲线，则这些曲线可以把平面分成若干个连通区域，则连通区域数量最大值为_6 6已知实数00,1x 数列 kx满足：若112nx，则12nnxx，若112nx，则1211,2,nnxxn现知02021xx，则可能的0 x的个数为_微信公众号：乐思数学研究微信公众号：乐思数学研究7 7设12221nny 若9101|ny，则n的最小值为_8 8已知a、b、c是三个不全相等的实数且满足aabc、bbca、ccab则abc_9 9如图，AD为ABC中A的平分线过A作AD的垂线AH，过C作CEAD交AH于点E 若BE
9、与AD交于点F， 且6AB ，8AC ，7BC 则CF _1010如果一个十位数F的各位数字之和为 81，则称F是一个“小猿数” 则小猿数的个数为_微信公众号：乐思数学研究微信公众号：乐思数学研究1111设na是与2n的差的绝对值最小的整数，nb是与2n的差的绝对值最小的整数 记1na的前n项和为1,nnSb的前n项和为nT 则1001002TS的值为_1212设正整数2021n，且53547nnn是完全平方数则可能的n的个数为_1313方程2223450 xxyyx的整数解的组数为_1414现有 7 把钥匙和 7 把锁用这些钥匙随机开锁，则1D，2D，3D这三把钥匙不能打开对应的锁的概率是_
10、1515 设正整数m，n均不大于 2021， 且121mmnn 则这样的数组,m n个数为_1616 （微信公众号微信公众号： 乐思数学研究乐思数学研究） 有三个给定的经过原点的平面 过原点作第四个平面，使之与给定的三个平面形成的三个二面角均相等则这样的的个数是_微信公众号：乐思数学研究微信公众号：乐思数学研究1717若a，b，c为非负实数，且22225abcabbcca，则abc的最小值为_1818已知数列 na满足12a ，12nana数列 nb满足15b ，15nbnb若正整数m满足25mba，则m的最小值为_1919若127,x xx为非负整数，则方程1271 27xxxx xx的解有
11、_组2020已知, ,Ra b c，且1113abcabc，求444444111abcabc的最小值微信公众号：乐思数学研究微信公众号：乐思数学研究20212021 年清华大学强基计划数学试题年清华大学强基计划数学试题部分题目可能与实际考试有所出入，仅供参考部分题目可能与实际考试有所出入，仅供参考. .1 1甲乙丙丁四人共同参加 4 项体育比赛，每项比赛第一名到第四名的分数依次为 4、3、2、1 分比赛结束甲获得 14 分第一名，乙获得13 分第二名，则（） A第三名不超过 9 分B第三名可能获得其中一场比赛的第一名C最后一名不超过 6 分D第四名可能一项比赛拿到 3 分2 2定义*1xyxy
12、xy，则2*3 *4*21（） 3 3已知cosisin55，则（） A4323791xxxxxxxx B4323791xxxxxxxx C4323791xxxxxxxx D4323791xxxxxxxx 微信公众号：乐思数学研究微信公众号：乐思数学研究4 4 恰有一个实数x使得31 0 xax 成立， 则实数a的取值范围为 （） A3,2B33 2,2C3 22D3 2,25 5已知 x为高斯函数，235xxxx 解的组数为（） A30B40C50D606 6已知m，n最大公约数为10!，最小公倍数为50!，数对,m n的组数为（） A92B152C212D1827 7设a为常数， 102f
13、， fxyfx f ayfy f ax，则（） A 12f a B 12fx 恒成立C 2fxyfx fyD满足条件的 f x不止一个微信公众号：乐思数学研究微信公众号：乐思数学研究8 8已知四面体DABC中，1ACBCADBD，则DABC体积的最大值为（） A4 227B3 28C2 327D3189 9 在ABC中，D为BC的中点，15CAD， 则ABC的最大值为 （） A120B105C90D601010已知非负实数a，b，c满足1abc，则222abcbcacab的最大值为（） 1111 已知1210,A AA十等分圆周， 则在其中取四点构成凸四边形为梯形个数为（） A60B45C40
14、D501212已知 2sincossincos5f xxxxx，0,2x，设 f x的最大值为M，最小值为m，则（） A238M B25m C3825M D15m 微信公众号：乐思数学研究微信公众号：乐思数学研究1313已知集合0,1,2,2021U ，SU，且S中任意两项相加不是 5 的倍数，求S的元素个数最大值1414将函数24620,6yxxx的图象逆时针方向旋转0 ，得到曲线C若对于每一个旋转角，曲线C都是一个函数的图像，则的最大值为（） A3arctan2B2arctan3C4D31515 （微信公众号：乐思数学研究微信公众号：乐思数学研究）在平面直角坐标系中，O是坐标原 点 ， 两
15、 定 点A，B满 足2OAOBOA OB ， 则 点 集|,1, ,P OPOAOB 所表示的区域的面积是（）A2 2B4 2C2 3D4 31616已知24yx，过2,3A 做拋物线两条切线，交y轴于B，C两点，则ABC外接圆方程为（） A22313124xyB2213114xyC22139222xyD22317124xy微信公众号：乐思数学研究微信公众号：乐思数学研究17椭圆2241xy，2,0A ，过1,0P作直线l交椭圆于M、N，AM、AN交1x 于B、C，下面正确的有（）APBPC定值BPBPC为定值CPBPC可能为 2DPBPC可能为 218 如图， 四边形AEBC为圆O外接四边形
16、，BCDE，BC为直径： 若12BE ，14DEDC，则AE BD_19.1x，2x，3x，4x为互不相等的正实数，1ix，2ix，3ix，4ix为其一个排列，1234max min,min,iiiiXxxxx，1234min max,max,iiiiYxxxx，则XY的概率是_微信公众号：乐思数学研究微信公众号：乐思数学研究20. （微信公众号微信公众号： 乐思数学研究乐思数学研究） 有n个质点， 每个质点的质量为km，则质心位置kkkm xxm；对于一杆，长3m，放于1,2x 间，且线密度满足2x，则质心位于（） A215B25C35D4521.21.有限项等差数列公差为 4，第二项起各项
17、的和加首项的平方小于100，则该数列最多可有_项微信公众号：乐思数学研究微信公众号：乐思数学研究20212021 复旦大学强基计划数学试题复旦大学强基计划数学试题1 1 （微信公众号微信公众号：乐思数学研究乐思数学研究）命题p： “ABC的内心与外心重合”是命题q： “ABC是正三角形”的什么条件？2 2已知 f x周期为 1，则命题p： “ 32f xf x”是命题q： “ fx恒为 1”的什么条件？3 3AD是ABC的角平分线，3AB ，8AC ，7BC ，求AD的长4 4求824211xyxyy的常数项5 5已知018n ，2022192021mn，则n _6 6已知1F，2F分别是椭圆
18、的左右焦点，B为椭圆上一点，延长2F B到点A，满足1BFBA1AF的中点为H，则下列两个结论是否正确：结论 1：1AFBH；结论 2：BH为椭圆的切线微信公众号：乐思数学研究微信公众号：乐思数学研究7 7若 224xxxxg x， 2logf xx，解不等式 01g f x8 8方程18492021xyz的正整数解有多少组？9 9确定曲线22236xyxy的类型1010求由曲线xy，222xy围成的面积1111 （微信公众号：乐思数学研究微信公众号：乐思数学研究）求极坐标的曲线轨迹1212若数列 na满足211441240nnnaaa，求limnnan1313求展开式633231xxxx中的
19、常数项微信公众号：乐思数学研究微信公众号：乐思数学研究20212021 上海交大上海交大强基计划强基计划数学试题数学试题1已知ABC中，tan3tanCA ，求tan B最大值2求边长为 1 的正五边形的对角线长3实数a，1b ，满足lglglgabab，求lg1lg1ab的值42 个抛物线最多分平面为 7 份，3 个最多分 16 份，求 4 个抛物线最多分平面为几份?5 （微信公众号：乐思数学研究微信公众号：乐思数学研究）求方程222xx的实根个数微信公众号：乐思数学研究微信公众号：乐思数学研究20212021 年中科大强基年中科大强基计划计划数学数学试题试题1 1 已知正实数a， 二次函数
20、 21f xaxx， 若任意长度为 1 的区间上，存在两点函数值之差的绝对值不小于 1，则a的最小值为_2 2已知正实数xy满足811xy，则22xy的最小值为_3 3 （微信公众号微信公众号：乐思数学研究乐思数学研究）已知正实数a，b，c满足1abc，则2222abcabc的取值范围为_4 4抛物线2yx上有A，B两点，2AB ，则AB中点的轨迹方程为_5 5 抛掷一个均匀的骰子16n各面次， 记该过程中出现的最大数字为X，则E X_微信公众号：乐思数学研究微信公众号：乐思数学研究6 6 有边长为 1 的正ABC，D在边AB上，E在边AC上，DEBC， 沿DE折起ABC，求四棱锥ADEBC体
21、积的最大值7 7已知42 3nnC的整数部分，证明：121nnC8 8已知0,2，求444422222sin3cos2cos3sin4sin5cos4cos5sin的范围9.9. f x， g x， h x为实系数多项式，且两两互素， nnnfxg xh x，证明：1n 或 2微信公众号：乐思数学研究微信公众号：乐思数学研究20212021 年中国科学技术大学强基计划数学试题年中国科学技术大学强基计划数学试题（广东广东）一、填空题一、填空题1 1求20201sin2021kk_2 2设抛物线2yx与21xay相切，则a _3 3写出一个函数 fx _，使得 21f xfyffyxfyf x对于
22、任意的, x y恒成立4 4 （微信公众号微信公众号： 乐思数学研究乐思数学研究） 设空间区域222, ,|1,0 x y xxyzz中存在四个点两两距离都是d，则d的是大值为_微信公众号：乐思数学研究微信公众号：乐思数学研究5 5 设k个人进行互相传球游戏， 每个拿球的人等可能地把球传给其他人中的任何一位，3k若初始时球彺甲手中，则第n次传球之后，球又回到甲手中的概率为_二、解答题二、解答题6 6求函数 231356cos3cos4cossin42xf xxxx的取值范围7 7设a，b，c是正整数，p是素数，5p且p整除111222pppabc，证明：p整除abc微信公众号：乐思数学研究微信
23、公众号：乐思数学研究8 8设数列na满足13a ，且对任意正整数m，n均有22224m nmnaaammn求na的通项公式9.9.设 fx是n次实系数多项式， 其中1n， g xfxfx 证明： 若 fx的n个根都是实数，则 g x的n个根也都是实数微信公众号：乐思数学研究微信公众号：乐思数学研究20212021 年年南京大学强基计划数学试题南京大学强基计划数学试题及其及其解析解析1 1求333122021M2 2已知0ab，bc，1ca，求Mabbcca的最值微信公众号：乐思数学研究微信公众号：乐思数学研究20202020 年北京大学强基计划数学试题年北京大学强基计划数学试题共 20 道选择
24、题，在每题的四个选项中，只有一个选项符合题目要求，选对得 5 分，选错或不选得 0 分1.（微信公众号：乐思数学研究微信公众号：乐思数学研究）已知wzyx,均为正实数，且满足wyx和wzyx2，则yzxw的最小值等于（）A.43B.87C.1D.前三个答案都不对2在20212019 2020的全体正因数中选出若干个，使得其中任意两个的乘积都不是平方数，则最多可选因数的个数为（）A16B31C32D前三个答案都不对3已知整数列 na（1n）满足11a ，24a ，且对任意2n有21112nnnnaaa，则2020a的个位数字是（）A8B4C2D前三个答案都不对4.设a，b，c，d是方程43223
25、450 xxxx的4个复根，则11112222abcdabcd的值为（）A43B23C23D前三个答案都不对微信公众号：乐思数学研究微信公众号：乐思数学研究5 设等边ABC的边长为1， 过点C作以AB为直径的圆的切线， 交AB的延长线于点D，ADBD，则BCD的面积为（）A6 23 316B4 23 316C3 22 316D前三个答案都不对6设x，y，z均不为12k，其中k为整数，已知sin yzx，sin xzy，sin xyz成等差数列， 则依然成等差数列的是 （） Asin x，sin y，sinzBcosx，cos y，coszCtan x，tan y，tan zD前三个答案都不对7
26、（微信公众号：乐思数学研究微信公众号：乐思数学研究）方程19934xyxy的整数解个数为（）A4B8C16D前三个答案都不对8从圆224xy上的点向椭圆C：2212xy引切线，两个切点间的线段称为切点弦，则椭圆C内不与任何切点弦相交的区域面积为（）A2B3C4D前三个答案都不对微信公众号：乐思数学研究微信公众号：乐思数学研究9使得512xxy a xy对所有正实数x，y都成立的实数a的最小值为（）A8B9C10D前三个答案都不对10 （微信公众号微信公众号： 乐思数学研究乐思数学研究） 设 P 为单位立方体1111ABCDABC D的面对角线1AB上的一点，则11PAPC的最小值为（）A22B
27、22 2C222D前三个答案都不对11 设数列1nna满足11a ，29a ， 且对任意1n有214320nnnaaa，其前n项和为nS，则nS的最大值等于（）A28B35C47D前三个答案都不对12设直线3yxm与椭圆2212516xy交于A，B两点，O坐标原点，则OAB面积的最大值为（）A8B10C12D前三个答案都不对微信公众号：乐思数学研究微信公众号：乐思数学研究13 正整数3n称为理想的， 若存在正整数11k n 使得1Ckn，Ckn，1Ckn构成等差数列，其中!C!knnknk为组合数，则不超过2020的理想数个数为（）A40B41C42D前三个答案都不对14在ABC中，150A，
28、1D，2D，2020D依次为边BC上的点，且11223BDD DD D201920202020DDDC设11BAD，122D AD， ，201920202020DAD，20202021DAC， 则132021242020sinsinsinsinsinsin的值为（）A11010B12020C12021D前三个答案都不对15 函数 2232 3coscos52 3coscos4sinf的最大值为（）A23B2 23C22 3D前三个答案都不对微信公众号：乐思数学研究微信公众号：乐思数学研究16（微信公众号：乐思数学研究微信公众号：乐思数学研究）方程5412211xxxx的实根个数为（）A1B2C
29、3D前三个答案都不对17凸五边形ABCDE的对角线CE分别与对角线BD和AD交于点F和G， 已知:5:4BF FD ，:1:1AG GD ，:2:2:3CF FG GE ，CFDS和ABES分别为CFD和ABE的面积，则:CFDABESS等于（）A8：15B2：3C11：23D前三个答案都不对18设p，q均为不超过100的正整数，则有有理根的多项式 5f xxpxq的个数为（）A99B133C150D前三个答案都不对19满足对任意1n有123nnnaa且严格递增的数列1nna的个数为（）A0B1C无穷个D前三个答案都不对微信公众号：乐思数学研究微信公众号：乐思数学研究20设函数, ,xyzf
30、x y zxyyzzx，其中x，y，z均为正实数，则有（）Af既有最大值也有最小值Bf有最大值但无最小值Cf有最小值但无最大值D前三个答案都不对微信公众号：乐思数学研究微信公众号：乐思数学研究20202020 年清华大学强基计划数学试题年清华大学强基计划数学试题共 35 道选择题，为不定项选择题1若221xy，则22xxyy的取值范围是（） A33,22B1,1C55,22D2,22 设a，b，c为正实数， 若一元二次方程20axbxc有实根， 则 （）A1max, ,2a b cabcB4max, ,9a b cabcC1min, ,4a b cabcD,m n1,3ia b cabc3.
31、在非等边ABC中，BCAC，若O和P分别为ABC的外心和内心，D在线段BC上，且满足ODBP，则下列选项正确的是（） AB，D，O，P四点共圆BODACCODABDPDAC4 已知集合, ,1,2,3,2020A B C ， 且ABC， 则有序集合组, ,A B C的个数是（） A20202B20203C20204D20205微信公众号：乐思数学研究微信公众号：乐思数学研究5已知数列 na满足00a ，11iiaaiN，则201kkAa的值可能是（） A0B2C10D126（微信公众号微信公众号： 乐思数学研究乐思数学研究） 已知点P在椭圆22143xy上，1,0A，1,1B，则PAPB的最大
32、值是（） A4B43C45D67已知P为双曲线2214xy上一点（非顶点） ，2,0A ，2,0B，令PAB，PBA，下列表达式为定值的是（） AtantanBtantan22CtanPABSDcotPABS8甲、乙、丙三位同学讨论同一道数学竞赛题，甲说： “我做错了 ”乙说： “甲做对了 ”丙说： “我做错了 ”老师看过他们的答案并听了他们的上述对话后说： “你们仅有一人做对且仅有一人说谎了” ，则根据以上信息可以推断（） A甲做对了B乙做对了C丙做对了D无法确定谁做对了微信公众号：乐思数学研究微信公众号：乐思数学研究9在RtABC中，2ABC，3AB ，1BC ，PAPBPCPAPBPC
33、0 ，则下列说法正确的是（） A23APBB23BPCC2PCPBD2PAPC10求值：212limarctannnkk（） A2B34C54D3211从 0 到 9 这十个数中任取五个数组成一个五位数abcde（a可以等于 0） ，则396 abcde的概率为（） A1396B1324C1315D121012随机变量1,2,3,X ，0,1,2Y ，满足12kP Xk，且mod3Yx，则 E Y （） A47B87C127D167微信公众号：乐思数学研究微信公众号：乐思数学研究13已知向量a，b，c满足1a，1b，22abcab，则下列说法正确的是（） Ac的最大值为4 2Bc最大值为2 5
34、Cc的最小值为 0Dc的最小值为 214若存在x，*yN，使得2xky与2ykx均为完全平方数，则正整数k可能取值为（） A2B4C5D61531sin arctan1 arccosarcsin105（） A0B12C22D116已知正四棱锥中，相邻两侧面构成的二面角为，侧棱与底面夹角为，则（） A2costan1B2sectan1 C2cos2tan1D2sec2tan1 微信公众号：乐思数学研究微信公众号：乐思数学研究17已知函数 e2esin2,2exxxf xx x ，则 f x的最大值与最小值的和是（） A2BeC3D4（微信公众号：乐思数学研究微信公众号：乐思数学研究）18已知函数
35、 f x的图像如图所示， f x的图像与直线xa，xt atc ，x轴围成图形的面积为 S t，则下列说法正确的是（） A S tcf bB fS taC fS tbD fS tc19我们称数列 na为“好数列” ，若对任意*nN存在*mN，使得nmaS，其中1nniiSa，则下列说法正确的是（） A若21,1,2,2,nnnan，则数列 na为“好数列”B若nna k（k为常数） ，则数列 na为“好数列”C若 nb， nc均为“好数列” ，则nnnabc为等差数列D对任意等差数列 na，存在“好数列” nb， nc，使*nnnabcnN微信公众号：乐思数学研究微信公众号：乐思数学研究20
36、（微信公众号：乐思数学研究微信公众号：乐思数学研究）22440sindsincosxxxx（） AB2C2D521.在ABC中，1AC ，3BC ，2AB ，设M为AB中点，现将ABC沿CM折起，使得四面体BACM的体积为212，则折起后AB的长度可能为（）A1B2C3D222设复数1z，2z在复平面内对应的点分别为1Z，2Z，O为坐标原点，若11z ，221212520zzz z，则12OZ Z的面积为（）A1B3C2D2 323使得sin115cos1n 成立的最小正整数n等于（）A3B4C5D6微信公众号：乐思数学研究微信公众号：乐思数学研究24已知实数x，y，z满足3232321119
37、31119311193xyyyzzzxx，则（）A, ,x y z有 1 组B, ,x y z有 4 组Cx，y，z均为有理数Dx，y，z均为无理数25设实数1221,x xx满足01 1,2,21ix ，则212111ikikxx 的最大值为（）A110B120C220D24026 （微信公众号：乐思数学研究微信公众号：乐思数学研究）在平面直角坐标系中，横坐标与纵坐标都是整数的点称为格点， 且所有顶点都是格点的多边形称为格点多边形若一个格点多边形的内部有 8 个格点，边界上有 10 个格点，则这个格点多边形的面积为（）A10B11C12D13微信公众号：乐思数学研究微信公众号：乐思数学研究2
38、7设复数z满足37i3z ，则2221izzz 的（）A最大值为83B最大值为73C最小值为43D最小值为2328设，为锐角，且sincossin，则tan的最大值为（）A24B33C1D229已知函数 e1xf xa xb在区间1,3上存在零点，则22ab的最小值为（）Ae2BeC2e2D2e30设A，B分别是x轴，y轴上的动点，若以AB为直径的圆C与直线240 xy相切，则圆C面积的最小值为（）A5B25C45D微信公众号：乐思数学研究微信公众号：乐思数学研究31 （微信公众号：乐思数学研究微信公众号：乐思数学研究）已知实数a，b满足3331abab，设ab的所有可能值构成的集合为M，则（
39、）AM为单元素集BM为有限集，但不是单元素集CM为无限集，且有下界DM为无限集，且无下界32已知数列 na的前n项和1132nnnnSan ，且实数t满足10nntata，则t的取值范围是（）A3 11,4 4B3 11,4 5C3 11,5 4D3 11,5 533 （微信公众号微信公众号：乐思数学研究乐思数学研究） 红楼梦 ， 三国演义 ， 水浒传和 西游记 四部书分列在四层架子的书柜的不同层上 小赵， 小钱，小孙，小李分别借阅了四部书中的一部现已知：小钱借阅了第一层的书籍，小赵借阅了第二层的书籍，小孙借阅的是红楼梦 ， 三国演义在第四层则（）A 水浒传一定陈列在第二层B 西游记一定陈列在
40、第一层C小孙借阅的一定是第三层的书籍 D小李借阅的一定是第四层的书籍微信公众号：乐思数学研究微信公众号：乐思数学研究34设多项式 f x的各项系数都是非负实数，且 11111ffff，则 f x的常数项的最小值为（）A12B13C14D1535已知 1051051112f zzzzz，则（）A 0f z 存在实数解B 0f z 共有 20 个不同的复数解C 0f z 复数解的模长均为 1D 0f z 存在模长大于 1 的复数解微信公众号：乐思数学研究微信公众号：乐思数学研究20202020 年复旦大学强基计划数学试题年复旦大学强基计划数学试题1设抛物线22ypx，过焦点F作直线，交抛物线于A，
41、B两点，满足3AFFB 过点A作抛物线准线的垂线，垂足记为点1A，准线交x轴于点C，若112 3CFAS，则p _2 （微信公众号：乐思数学研究微信公众号：乐思数学研究）已知实数x，y，满足221xxy，求22xy的最小值3已知 sin 2cos 2sin 4cos 4f xaxbxcxdx，若 122fxf xfx，则在a，b，c，d中能确定的参数是_4若 三 次 方 程32450 xaxx有 一 个 根 是 纯 虚 数 ， 则a _5在102311xyxy的展开式中，常数项为_6111lim1 42 53nn n_微信公众号：乐思数学研究微信公众号：乐思数学研究7点4,5绕点1,1按顺时针
42、方向旋转60度， 所得的点的坐标为_8方程5 cos43 cos20 所表示的曲线形状是_9设x， ,4 4y ， 若333cos20,24sincos0,xxayyya则cos2xy_10实数x，y满足221xy，若262xyaaxy 的值与x，y无关，则a的取值范围是_11在ABC中，1cos3BAC，若O为ABC的内心，且满足AOxAByAC ，则xy的最大值为_12已知直线m：cosyxa和n：3xyc，则有（） Am与n可能重合Bm与n不可能垂直C直线m上存在一点P，使得直线n以P为中心旋转后与m重合D以上都不对 cta32微信公众号：乐思数学研究微信公众号：乐思数学研究13. 如图
43、 15-2 所示，抛物线23yx的焦点为F，A在抛物线上，A点处的切线与AF夹角为 30 度，则A点横坐标为_14已知P为直线6014xy 上一点，且P到2,5A和4,3B的距离相同，则P点坐标为_15已知x，1,2,3,4,5,6,7,8,9y且yx， 连接原点O和,A x y，,B y x两点，则12arctan3AOB的概率为_16143 23arcsinarcsin84_17已知三棱锥PABC的体积为 10.5，且6AB ，4ACBC，10APBP，则CP的长度为_微信公众号：乐思数学研究微信公众号：乐思数学研究18 在ABC中，9AB ，6BC ，7CA， 则BC边上中线的长_19若
44、 21f xx，则 ff x的图象大致为_（微信公众号：乐思数学研究微信公众号：乐思数学研究）20定义 1,1,MxMfxxM令 1MNMNx fx fx ，已知2Ax xx，330Bx x xx，则AB_21方程34122020 xyz的非负整数解的组数为_22 已知m，nZ， 且011n ， 若满足202020212312mn， 则n_23若四边形ABCD是凸四边形，则BACBDC是DACDBC 的_条件微信公众号：乐思数学研究微信公众号：乐思数学研究24设函数 33xxf x的反函数为 1yxf，则 111g xfx在3,5上的最大值和最小值的和为_25若4k ， （微信公众号：乐思数学
45、研究微信公众号：乐思数学研究）直线2280kxyk与222440 xk yk和坐标轴围成的四边形面积的取值范围是_26已知A，B，C，D四点共圆，且1AB ，2CD ，4AD ，5BC ，P为AD，BC的交点，则PA的长度为_27给定 5 个函数，其中 3 个奇函数，2 个偶函数，在这 5 个函数中任意取 3 个，其中既有奇函数，又有偶函数的概率为_28下列不等式恒成立的是（） A2211xxxxB12xyxyC12xyxyD.xyxzyz微信公众号：乐思数学研究微信公众号：乐思数学研究29向量数列 na满足1nnaad，且满足13a，132 ad，令11nniiSaa，则当nS取最大值时，n
46、的值为_30某公司安排甲、乙、丙等 7 人完成 7 天的值班任务，每人负责天已知甲不安排在第一天，乙不安排在第二天，甲和丙在相邻两天，则不同的安排方式有_种31直线1l，2l交于O点，M为平面上任意一点， （微信公众号微信公众号：乐思乐思数学研究数学研究）若p，q分别为M点到直线1l，2l的距离，则称, p q为点M的距离坐标已知非负常数p，q，下列三个命题正确的个数是_（1）若0pq，则距离坐标为0,0的点有且仅有 1 个（2）若0pq ，且0pq，则距离坐标为0,0的点有且仅有 1 个（3）若0q ，则距离坐标为, p q的点有且仅有 4 个微信公众号：乐思数学研究微信公众号：乐思数学研究
47、32Given two sets1,2,3,4,5Aand3,4,5,6,7B , then theintersection set of A and B is （） A1,2B3,4,5C1,2,3,4,5,6,7D.6,733Which number of that number 5 is the cubic root of?（）A3B 5C25D.125微信公众号：乐思数学研究微信公众号：乐思数学研究20202020 年上海交通大学年上海交通大学强基计划强基计划数学试题数学试题1已知函数 f x的定义域为0,1，若10,2c，则函数 gf xcf xxc的定义域为_2已知方程2sin1x
48、x，则下列判断：（1）方程没有正数解；（2）方程有数多个解；（3）方程有一个正数解；（4）方程的实根小于 1其中错误的判断有_3 （微信公众号：乐思数学研究微信公众号：乐思数学研究）在小于 1000 的正整数中，既不是5 的倍数也不是 7 的倍数的整数有_个4已知边长为a的正三角形ABC，D，E分别在边AB，BC上，满足13ADBEa， 连 接AE，CD， 则AE与CD的 夹 角 为_微信公众号：乐思数学研究微信公众号：乐思数学研究5已知ABC的顶点坐标分别为3,4A，6,0B，5, 2C ，则角A的平分线所在的直线方程为_6从 2 个红球，3 个黑球，5 个白球（同色球完全相同）中任意取 6
49、个，有_种不同的取法（微信公众号：乐思数学研究微信公众号：乐思数学研究）7已知曲线2yaxbxc过点3,4A ，5,4B，则2ab_8 过抛物线220ypx p的焦点F作直线m， 交抛物线于A，B两点，若A，B横坐标之和为 5，则直线m的条数为_9用同样大小的正n边形平铺整个平面（没有重叠） ，若要将平面铺满，则n的值为_10若三条直线1l：220 xy，2l：2x ，3l：0 xky将平面划分成 6 个部分，则k可能的取值情况是（） A只有唯一值 B有两个不同的值 C 有三个不同的值 D 无数个值微信公众号：乐思数学研究微信公众号：乐思数学研究11已知非零实数a，b，c，若bca，acb，a
50、bc成等差数列，则下列不等式一定成立的是（） AbacB2bacC2bacD222abc12 （微信公众号：乐思数学研究微信公众号：乐思数学研究）函数 f x的定义域为D，若对于任意的xD， 都存在唯的yD， 使得 4f xfy， 则称 f x在D上的和为 4，给出下列函数：（1） lnf xx，51,eex； （2） 21f xx，1,6x ；（3） 1xfxx，1x ；（4） exf xx其中和为 4 的有_个13若集合M中任意两个元素的和、差、积、商（除数不为 0）的运算结果都在M中，则称M是封闭集合，下列集合： （1）R； （2）Q； （3）RQ； （4）2,x xmnm nZ其中封闭
