1、13.2函数的极值与导数学习目标1.了解函数在某点处取得极值的必要条件和充分条件(难点)2会用导数求不超过三次的多项式函数的极大值、极小值(重点)学法指导函数的极值反映的是函数在某点附近的性质，是局部性质函数极值可以在函数图象上“眼见为实”，通过研究极值初步体会函数导数的作用.1极值点与极值(1)极小值与极小值点如图，若函数yf(x)在点xa的函数值f(a)比它在点xa附近其他点的函数值都小，f(a)0；而且在点xa附近的左侧f(x)0，右侧f(x)0，则把点a叫做函数yf(x)的极小值点，f(a)叫做函数yf(x)的极小值(2)极大值与极大值点如图，函数yf(x)在点xb的函数值f(b)比它
2、在点xb附近其他点的函数值都大，f(b)0；而且在点xb附近的左侧f(x)0，右侧f(x)0，则把点b叫做函数yf(x)的极大值点，f(b)叫做函数yf(x)的极大值，极小值点、极大值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极值2求函数f(x)极值的方法解方程f(x)0，当f(x0)0时：(1)如果在x0附近的左侧f(x)0，右侧f(x)0，那么，f(x0)是极大值(2)如果在x0附近的左侧f(x)0，右侧f(x)0，那么，f(x0)是极小值1判断：(正确的打“”，错误的打“”)(1)导数值为0的点一定是函数的极值点()(2)在可导函数的极值点处，切线与x轴平行()(3)函数f(x)无极值()答案
3、：(1)(2)(3)2下列函数存在极值的是()Ayx Byx22Cyx32x3 Dyx3答案：B3函数yx2x1的极小值为_答案：学生用书P21P22求函数的极值求函数f(x)2的极值解函数的定义域为R.f(x).令f(x)0，得x1或x1.当x变化时，f(x)与f(x)的变化情况如下表：x(，1)1(1,1)1(1，)f(x)00f(x)极小值极大值由表可以看出：当x1时，函数有极小值，且f(1)23；当x1时，函数有极大值，且f(1)21.方法归纳1求极值的步骤(1)求方程f(x)0在函数定义域内的所有根；(2)用f(x)0的根将定义域分成若干小区间，列表；(3)由f(x)在各个小区间内的
4、符号，判断f(x)0的根处的极值情况2表格给出了当x变化时f(x)，f(x)的变化情况，表格直观清楚，容易看出具体的变化情况，并且能判断出是极大值还是极小值，最后得出函数的极大值、极小值1求函数f(x)x33x29x5的极值解：函数f(x)x33x29x5的定义域 为R，且f(x)3x26x9.解方程3x26x90，得x11，x23.当x变化时，f(x)与f(x)的变化情况如下表：x(，1)1(1,3)3(3，)f(x)00f(x)单调递增10单调递减22单调递增因此，x1是函数的极大值点，极大值为f(1)10；x3是函数的极小值点，极小值为f(3)22.已知极值求参数值已知f(x)ax3bx
5、2cx(a0)在x1处取得极值，且f(1)1.(1)试求常数a，b，c的值；(2)试判断x1是函数的极大值点还是极小值点，并说明理由解(1)f(x)3ax22bxc(a0)，x1是函数的极值点x1是方程3ax22bxc0的两根，由根与系数的关系，得又f(1)1，abc1.由解得a，b0，c.(2)由(1)得f(x)x3x，f(x)x2(x1)(x1)令f(x)0，得x1或x1；令f(x)0，得1x1.函数f(x)在区间(，1)和(1，)上是增函数，在区间(1,1)上是减函数因此，x1是函数的极大值点；x1是函数的极小值点方法归纳已知函数极值情况，逆向应用确定函数的解析式，进而研究函数性质时，注
6、意两点：(1)常根据极值点处导数为0和极值两个条件列方程组，利用待定系数法求解(2)因为导数值等于零不是此点为极值点的充要条件，所以利用待定系数法求解后必须验证根的合理性2已知函数f(x)x3ax2在x1时取得极值，(1)求a的值；(2)求函数yf(x)在x2处的切线方程解：(1)由已知f(x)3x2a，且f(1)0，得a3.(2)由(1)得f(2)9，f(2)4，则切点坐标为(2,4)，切线斜率为9.故yf(x)在x2处的切线方程为y9x14.函数极值的综合应用已知f(x)x3bx2cx2.(1)若f(x)在x1处有极值1，求b，c的值(2)在(1)的条件下，若函数yf(x)的图象与函数yk
7、的图象恰有三个不同的交点，求实数k的取值范围解(1)f(x)x3bx2cx2，f(x)3x22bxC由已知得f(1)0，f(1)1.解得b1，c5.经验证，b1，c5符合题意(2)由(1)知f(x)x3x25x2，f(x)3x22x5.由f(x)0，得x1，x21.当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x(，)(，1)1(1，)f(x)00f(x)增函数极大值减函数极小值增函数根据上表，当x时函数取得极大值且极大值为f()，当x1时函数取得极小值且极小值为f(1)1.根据题意结合上图可知实数k的取值范围为(1，)方法归纳极值问题的综合应用主要涉及到极值的正用与逆用，以及与单调性问题的
8、综合，题目着重考查已知与未知的转化，以及函数与方程的思想、分类讨论的思想在解题中的应用在解题过程中，熟练掌握单调区间问题以及极值问题的基本解题策略是解决综合问题的关键3若本例(2)中的条件恰有三个不同的交点改为恰有一个交点，此时实数k的取值范围是什么？解：由本例(2)知函数yf(x)的极大值为f()，极小值为f(1)1，根据函数图象，要使函数yf(x)的图象与函数yk的图象恰有一个交点，只需k或k1.学生用书P22P23易错警示不理解f(x)0的根与函数极值点的关系致误已知函数f(x)x33ax2bxa2在x1处有极值0，求a，b的值解f(x)3x26axb，且函数f(x)在x1处有极值0.即
9、解得或当a1，b3时，f(x)3x26x33(x1)20，此时函数f(x)在R上为增函数，无极值，故舍去当a2，b9时，f(x)3x212x93(x1)(x3)当x(，3)时，f(x)0，此时f(x)为增函数；当x(3，1)时，f(x)0，此时f(x)为减函数；当x(1，)时，f(x)0，此时f(x)为增函数故f(x)在x1处取得极小值a2，b9.错因与防范1.解答本题易误点为由条件求出a，b值后，不验证x1两侧导数f(x)的符号而致误2对于可导函数，极值点导数为零，但导数为0的点不一定是极值点，因此已知函数的极值点，求某些参变量的值时，应验证能否使函数取到极值，否则易出现错解4若本例中“极值
10、为0”变为“极大值为2”，求a、b的值解：f(x)3x26axb，且函数f(x)在x1处取得极大值2，即解得或当a0，b3时，f(x)3x233(x1)(x1)当x(1,1)时，f(x)0，此时f(x)单调递减；当x(，1)时，f(x)0，此时f(x)单调递增；当x(1，)时，f(x)0，此时f(x)单调递增x1时，函数f(x)取得极大值当a3，b15时，f(x)3x218x153(x1)(x5)当x(5，1)时，f(x)0，此时f(x)单调递减；当x(，5)时，f(x)0，此时f(x)单调递增；当x(1，)时，f(x)0，此时f(x)单调递增，x1时，函数f(x)取得极小值不合题意，舍去a0
11、，b3.数学思想转化与化归思想研究方程的根的个数已知函数f(x)x34x4.试分析方程af(x)的根的个数解f(x)x34x4，f(x)x24(x2)(x2)由f(x)0，得x2或x2.当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x(，2)2(2,2)2(2，)f(x)00f(x)极大值极小值当x2时，函数取得极大值f(2).当x2时，函数取得极小值f(2).且f(x)在(，2)上递增，在(2,2)上递减，在(2，)上递增根据函数单调性、极值情况，它的图象大致如图所示结合图象：当a或a时，方程af(x)有一个根当a时，方程af(x)有三个根当a或a时，方程af(x)有两个根感悟提高1.本题
12、利用了转化与化归思想，把方程af(x)的根的个数问题转化为yf(x)与ya图象交点个数问题，利用图象交点个数确定a的范围2解答此类问题基本步骤：利用导数判断函数yf(x)单调性、极值，综合各种信息，画出函数yf(x)的大致图象；研究函数yf(x)与ya的图象交点个数；根据交点情况写出方程的根的情况规范解答求函数的极值(本题满分12分)设f(x)aln xx1，其中aR，曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线垂直于y轴(1)求a的值；(2)求函数f(x)的极值解(1)因为f(x)aln xx1，所以f(x).2分因为曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线垂直于y轴，所以该切线斜率为0，即f(
13、1)0，即a0，解得a1.4分(2)由(1)知f(x)ln xx1(x0)，f(x).6分令f(x)0，解得x11，x2(因x2不在定义域内，舍去).8分当x(0,1)时，f(x)0，故f(x)在(0,1)上为减函数；当x(1，)时，f(x)0，故f(x)在(1，)上为增函数11分所以f(x)在x1处取得极小值f(1)3.12分规范与警示(1)解答本例的两个关键步骤：由切线垂直于y轴，则切线斜率为0，是本题的关键点利用导函数f(x)的正负，判断f(x)的单调性，尽而判断函数的极值，是求极值不可缺少的(2)解答本题的易错点：一是求出f(x)后，不能把f(x)表示为，二是由f(x)0得出x11，x2后未舍去x2.(3)求函数极值，不仅要求解f(x)0，还要根据函数的极值定义，函数在某点处若存在极值，则应在该点的左右邻域是单调的，并且单调性相反；若单调性相同，则不是极值点
