1、15定积分的概念15.1曲边梯形的面积15.2汽车行驶的路程学习目标1.了解定积分的实际背景2了解“以直代曲”“以不变代变”的思想方法(难点)3会求曲边梯形的面积和汽车行驶的路程(重点)学法指导1.“以直代曲”的思想：用直边图形(如矩形)代替曲边梯形的面积，再用求极限的方法求曲边梯形的面积2“以不变代变”的思想：变速直线运动的路程问题采用“以不变代变”的思想，转化为求匀速直线运动的路程问题，也可转化为求曲边梯形的面积.学生用书P301连续函数与曲边梯形(1)连续函数如果函数yf(x)在某个区间I上的图象是一条连续不断的曲线，那么就把它称为区间I上的连续函数(2)曲边梯形把由直线xa，xb(ab
2、)，y0和曲线yf(x)所围成的图形称为曲边梯形2曲边梯形的面积与变速直线运动的路程(1)求曲边梯形面积的步骤：分割：如图将a，b分割，等分成n个小区间每个小区间的长度为x近似代替：将所分的每一个小曲边梯形的面积用小矩形面积近似代替，其中ixi1，xi求和：由知SnSi，当n时，SnS.取极限：由得SSn.(2)如果物体做变速直线运动，速度函数vv(t)，那么也可以采用分割、近似代替、求和、取极限的方法，求出它在atb内的路程s.1判断：(正确的打“”，错误的打“”)(1)求汽车行驶的路程时，分割的区间表示汽车行驶的路程()(2)利用“以直代曲”思想求出的曲边梯形的面积是近似值()(3)利用求
3、和符号计算(n1)40.()答案：(1)(2)(3)2把区间1,3n等分，所得n个小区间的长度均为()A. BC D答案：B3函数f(x)x2在区间上()Af(x)的值变化很小 Bf(x)的值变化很大Cf(x)的值不变化D当n很大时，f(x)的值变化很小答案：D4已知某物体运动的速度v2t1，t0,10，若把区间10等分，取每个小区间右端点处的函数值为近似小矩形的高，则物体运动的路程近似值为_答案：100 求曲边梯形的面积求抛物线f(x)1x2与直线x0，x1，y0所围成的平面图形的面积S.(链接教材P3941)解(1)分割把区间0,1等分成n个小区间(i1,2，n)，其长度x，把曲边梯形分成
4、n个小曲边梯形，其面积分别记为Si(i1,2，n)(2)近似代替用小矩形面积近似代替小曲边梯形面积Sifx(i1,2，n)(3)求和Si .(4)取极限S 1 21 1.方法归纳(1)求曲边梯形的面积时要按照分割近似代替求和取极限这四个步骤进行(2)近似代替时，可以用每个区间的右端点的函数值代替，也可用每个区间的左端点的函数值代替(3)求和时要用到一些常见的求和公式，例如：123n，1222n2等1用曲边梯形面积的计算方法求由直线x0，x1，y0及直线y3x所围成图形的面积解：(1)分割：把区间0,1等分成n个小区间(i1,2，n)，其长度为x.把梯形分成n个小梯形，其面积记为Si(i1,2，
5、n)(2)近似代替：用小矩形面积近似代替小梯形面积Sif()x3(i1)(i1,2，n)(3)求和：Si(i1)12(n1)(1)(4)取极限：S(i1) (1).故所求面积等于.求汽车行驶的路程一辆汽车在笔直的公路上变速行驶，设汽车在时刻t的速度为v(t)t25(t的单位：h，v的单位：km/h)，试计算这辆汽车在0t2这段时间内汽车行驶的路程s(单位：km)(链接教材P4244)解(1)分割：在时间区间0,2上等间隔地插入n1个分点，将区间分成n个小区间，记第i个小区间为(i1,2，n)，t，把汽车在时间段，上行驶的路程分别记为s1，s2，sn，则有snsi(i1,2，n)(2)近似代替：
6、取i(i1,2，n)，siv()t(i1,2，n)(3)求和：snsi10(1222n2)10108(1)(1)10.(4)取极限：ssn.因此，行驶的路程为 km.方法归纳把变速直线运动的路程问题，化归为求匀速直线运动的问题，采用的方法仍然是分割、近似代替、求和、取极限，求变速直线运动的路程和曲边梯形的面积，虽然它们的意义不同，但都可以归纳为求一个特定形式和的极限，通过这样的背景问题，能更好的体会后面所要学习的定积分的概念2已知自由落体的运动速度vgt，求在时间区间0，t内物体下落的距离解：(1)分割将时间区间0，t分成n等份把时间0，t分成n个小区间(i1,2，n)，每个小区间所表示的时间
7、段tt，在各小区间物体下落的距离记作si(i1,2，n)(2)近似代替在每个小区间上以匀速运动的路程近似代替变速运动的路程在上任取一时刻i(i1,2，n)，可取i使v(i)gt近似代替第i个小区间上的速度，因此在每个小区间上自由落体t内所经过的距离可近似表示为sigt(i1,2，n)(3)求和snsit012(n1)gt2(1)(4)取极限s gt2(1)gt2.易错警示搞错区间端点致误求由抛物线y2x2与直线x0，xt(t0)，y0所围成的曲边梯形的面积时，将区间0，t等分成n个小区间，则第i1个区间为()A. BC D解析每个小区间长度为，故第i1个区间的左端点为0(i2)，右端点为.答案D错因与防范1.解决本题易错误地认为区间左端点为，从而误选C2在将区间0,1等分成n个小区间时，其第1个小区间的左端点为0，第2个小区间的左端点为，依次类推，第i个小区间的左端点为.3在求直线x0，x2，y0与曲线yx2所围成的曲边三角形的面积时，把区间0,2等分成n个小区间，则第i个小区间是()A. B.C D解析：选C将区间0,2等分为n个小区间后，每个小区间的长度为，第i个小区间为.
