1、(时间：100分钟，满分：120分)一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1函数f(x)(2x)2的导数是()Af(x)4x Bf(x)42xCf(x)82x Df(x)16x解析：选Cf(x)(2x)242x2，f(x)82x.2已知物体的运动方程是st34t212t(t表示时间，s表示位移)，则瞬时速度为0的时刻是()A0秒、2秒或6秒 B2秒或16秒C2秒、8秒或16秒 D2秒或6秒解析：选Dst28t120t2或t6.3若曲线f(x)x42x在点P处的切线垂直于直线x2y10，则点P的坐标为()A(1,1) B(1，1)C
2、(1,1) D(1，1)解析：选B.f(x)4x32，设P(x0，y0)，由题意得f(x0)4x22，x01，y01.故P点坐标为(1，1)4下列积分等于2的是()A.2xdx B.(x1)dxC1dx Ddx解析：选C1dxx|2.5设函数f(x)ln x，则()Ax为f(x)的极大值点Bx为f(x)的极小值点Cx2为f(x)的极大值点Dx2为f(x)的极小值点解析：选Df(x)ln x，f(x)，令f(x)0，即0，解得x2.当x2时，f(x)0；当x2时，f(x)0，所以x2为f(x)的极小值点6对任意的xR，函数f(x)x3ax27ax不存在极值点的充要条件是()A0a21 Ba0或a
3、7Ca0或a21 Da0或a21解析：选A.f(x)3x22ax7a，当4a284a0，即0a21时，f(x)0恒成立，函数f(x)不存在极值点7. 已知f(x)的导函数f(x)的图象如图所示，那么f(x)的图象最有可能是图中的()解析：选A.x(，2)时，f(x)0，f(x)为减函数；同理f(x)在(2,0)上为增函数，(0，)上为减函数8以长为10的线段AB为直径作半圆，则它的内接矩形面积的最大值为()A10 B15C25 D50解析：选C设内接矩形的长为x，则宽为 ，S2x2(25)y，y50xx3.令y0，得x250，x0(舍去)，S625，即Smax25.9若函数ya(x3x)的递增
4、区间是(，)，(，)，则a的取值范围是()Aa0 B1a0Ca1 D0a1解析：选A.依题意ya(3x21)0的解集为(，)，(，)，故a0.10若函数f(x)在(0，)上可导，且满足f(x)xf(x)，则一定有()A函数F(x)在(0，)上为增函数 B函数F(x)在(0，)上为减函数C函数G(x)xf(x)在(0，)上为增函数D函数G(x)xf(x)在(0，)上为减函数解析：选C设yxf(x)，则yxf(x)f(x)0，故yxf(x)在(0，)上递增，故选C二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分把答案填在题中的横线上)11设x2与x4是函数f(x)x3ax2bx的两个极值点，则常数
5、ab的值为_解析：f(x)3x22axb，ab32421.答案：2112一列车沿直线轨道前进，刹车后列车速度v(t)270.9t(v单位：m/s，t单位：s)，则列车刹车后至停车时的位移为_解析：停车时v(t)0，则270.9t0，t30 s，sv(t)dt(270.9t)dt(27t0.45t2)405(m)答案：405 m13做一个无盖的圆柱形水桶，若要使其体积是27，且用料最省，则圆柱的底面半径为_解析：设圆柱的底面半径为R，母线长为L，则VR2L27，所以L.要使用料最省，只需使圆柱表面积最小S表R22RLR22，令S表2R0，得R3，即当R3时，S表最小答案：314已知函数g(x)x
6、3x2(x0)，h(x)exx，p(x)cos 2x(0x)的导函数分别为g(x)，h(x)，p(x)，其零点依次为x1，x2，x3，则将x1，x2，x3按从小到大的顺序用“0，x；由h(x)ex10，得x0；由p(x)2sin 2x0，得2xk(kZ)，x(kZ)，0x，x.x1，x20，x3，故有x2x1x3.答案：x2x1x3三、解答题(本大题共6小题，每小题10分，共60分解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15设函数f(x)2x33(a1)x26ax8，其中aR.已知f(x)在x3处取得极值(1)求f(x)的解析式；(2)求f(x)在点A(1,16)处的切线方程解：(1)f
7、(x)6x26(a1)x6a.f(x)在x3处取得极值，f(3)696(a1)36a0，解得a3.f(x)2x312x218x8.(2)A点在f(x)上，由(1)可知f(x)6x224x18，f(1)624180，切线方程为y16.16已知实数a0，求函数f(x)ax(x2)2(xR)的单调区间解：f(x)ax(x2)2ax34ax24ax，f(x)3ax28ax4aa(3x28x4)a(3x2)(x2)令f(x)0，则x或x2，函数f(x)的增区间是(，)和(2，)；令f(x)0，则x2，函数f(x)的减区间是(，2)17若函数f(x)ax22xln x在x1处取得极值(1)求a的值；(2)
8、求函数f(x)的单调区间及极值解：(1)f(x)2ax2，由f(1)2a0，得a.(2)f(x)x22xln x(x0)f(x)x2.由f(x)0，得x1或x2.当f(x)0时1x2；当f(x)0时0x1或x2.当x变化时f(x)，f(x)的变化情况如下表：x(0,1)1(1,2)2(2，)f(x)00f(x)ln 2因此，f(x)的单调递增区间是(1,2)，单调递减区间是(0,1)，(2，)函数的极小值为f(1)，极大值为f(2)ln 2.18某集团为获得更大的收益，每年要投入一定的资金用于广告促销经调查，每年投入广告费t(百万元)，可增加销售额约为t25t(百万元)(0t3)(1)若该公司
9、将当年的广告费控制在300万元之内，则应投入多少广告费，才能使该公司获得的收益最大？(2)现该公司准备共投入300万元，分别用于广告促销和技术改造经预测，每投入技术改造费x(百万元)，可增加的销售额为x3x23x(百万元)请设计一个资金分配方案，使该公司获得的收益最大(注：收益销售额收入)解：(1)设投入t(百万元)的广告费后增加的收益为f(t)(百万元)，则有f(t)(t25t)tt24t(t2)24(0t3)，所以当t2时，f(t)取得最大值4，即投入2百万元的广告费时，该公司获得的收益最大(2)设用于技术改造的资金为x(百万元)，则用于广告促销的资金为(3x)(百万元)，由此获得收益是g
10、(x)(百万元)，则g(x)(3x)25(3x)3x34x3(0x3)，所以g(x)x24.令g(x)0，解得x2(舍去)或x2.又当0x2时，g(x)0；当2x3时，g(x)0.所以当x2时，g(x)取最大值，即将2百万元用于技术改造，1百万元用于广告促销，该公司获得的收益最大19已知函数f(x)kx33(k1)x2k21(k0)，若f(x)的单调递减区间是(0,4)(1)求k的值；(2)当xk时，求证：23.解：(1)f(x)3kx26(k1)x，由f(x)0，得0x，f(x)的单调递减区间是(0,4)，4，k1.(2)证明：设g(x)2，g(x).当x1时，1x2， ，g(x)0，g(x
11、)在x1，)上单调递增x1时，g(x)g(1)，即23，23.20给定函数f(x)ax2(a21)x和g(x)x.(1)求证：f(x)总有两个极值点；(2)若f(x)和g(x)有相同的极值点，求a的值解：(1)证明：因为f(x)x22ax(a21)x(a1)x(a1)，令f(x)0，解得x1a1，x2a1.当xa1时，f(x)0；当a1xa1时，f(x)0；当xa1时，f(x)0，所以xa1为f(x)的极大值点，xa1为f(x)的极小值点所以f(x)总有两个极值点(2)因为g(x)1.令g(x)0，得x1a，x2a.因为f(x)和g(x)有相同的极值点，且x1a和a1，a1不可能相等，所以当aa1时，a；当aa1时，a.经检验，当a和a时，x1a，x2a都是g(x)的极值点
