1、 1 /教管教学教研部第二十二章第二十二章二次函数二次函数基础知识通关基础知识通关22.122.1 二次函数的图像和性质二次函数的图像和性质1.二次函数：一般地，形如 y=ax2+bx+c（a，b，c 是常数，a0）的函数。其中，x 是自变量，a，b，c 分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项。2.二次函数的解析式三种形式一般式：(a0)顶点式：2()ya xhk或224()24bacbya xaa交点式：12()()ya xxxx3.二次函数 y=ax的图像和性质4.对称轴、顶点坐标对称轴：1 顶点坐标：1 与 y 轴交点坐标：15.增减性：当 a0 时，对称轴左边，y 随 x 增
2、大而减小；对称轴右边，y 随 x 增大而增大当 a0 时，一元二次方程有不相等的实根，二次函数图像与 x 轴有交点；24bac=0 时，一元二次方程有相等的实根，二次函数图像与 x 轴有交点；24bac0 时，一元二次方程实根，二次函数图像与 x 轴交点22.322.3 实际问题与二次函数实际问题与二次函数11.最大面积问题、利润问题、实际抛物线问题 2 /教管教学教研部单元检测单元检测一选择题（共一选择题（共 1010 小题）小题）1已知函数 y（m3）x27m是二次函数，则 m 的值为（）A3B3C3D2对于任意实数 m，下列函数一定是二次函数的是（）Ay（m1）2x2By（m+1）2x2
3、Cy（m2+1）x2Dy（m21）x23在平面直角坐标系 xOy 中，点 A，点 B 的位置如图所示，抛物线 yax22ax 经过 A，B，则下列说法不正确的是（）A抛物线的开口向上B抛物线的对称轴是 x1C点 B 在抛物线对称轴的左侧D抛物线的顶点在第四象限4二次函数 yx2的对称轴是（）A直线 y1B直线 x1Cy 轴Dx 轴5二次函数 y（x1）23 的顶点坐标是（）A（1，3）B（1，3）C（1，3）D（1，3）6抛物线 y（x+2）21 的对称轴是（）Ax1Bx1Cx2Dx27已知函数 yx2+bx+c，其中 b0，c0，此函数的图象可以是（）ABCD8将二次函数 yx26x+5 用
4、配方法化成 y（xh）2+k 的形式，下列结果中正确的是（）Ay（x6）2+5By（x3）2+5Cy（x3）24 Dy（x+3）299在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 yax2+bx+c 经过点（1，2），（5，3），则下列说法正确的是（）抛物线与 y 轴有交点若抛物线经过点（2，2），则抛物线的开口向上抛物线的对称轴不可能是 x3若抛物线的对称轴是 x4，则抛物线与 x 轴有交点ABCD10抛物线 yx22x+m 与 x 轴有两个交点，则 m 的取值范围为（）Am1Bm1Cm1Dm4二填空题（共二填空题（共 1010 小题）小题）11当 m时，y（m+2）x22m 是二次函数12抛物线
5、yx23 的顶点坐标是13二次函数 y3x2图象的开口向，顶点坐标为 3 /教管教学教研部14已知某抛物线上部分点的橫坐标 x，纵坐标 y 的对应值如下表：那么该抛物线的顶点坐标是x21012y5034315如图，抛物线 yax2+bx 与直线 ymx+n 相交于点 A（3，6），B （1，2），则关于 x的方程 ax2+bxmx+n 的解为16抛物线 ya（xh）2+k 经过（1，0）、（5，0）两点，若关于 x 的一元二次方程a（xh+m）2+k0 的一个解为 x4，则 m17某种商品每件进价为 10 元，调查表明：在某段时间内若以每件 x 元（10 x20 且 x 为整数）出售，可卖出（
6、20 x）件，若使利润最大，则每件商品的售价应为元18二次函数 y（x6）2+8 的最大值是19若二次函数 yax2+bx+c 的图象经过点（4，3），且对称轴是 x1，则关于 x 的方程 ax2+bx+c3 的解为20某产品每件成本 10 元，试销阶段每件产品的销售单价 x（元/件）与日销售量 y（件）之间的关系如下表x（元件）15182022y（件）250220200180按照这样的规律可得，日销售利润 w（元）与销售单价 x（元/件）之间的函数关系式是 4 /教管教学教研部三解答题（共三解答题（共 4 4 小题）小题）21设二次函数 ymx2+nx（mn）（m、n 是常数，m0）（1）判
7、断该二次函数图象与 x 轴交点的个数，并说明理由；（2）若该二次函数图象经过点 A（2，3），B（1，4），求该二次函数图象与 x 轴的交点坐标22已知点 A（1，1）在抛物线 yx2+（2m+1）xn1 上（1）求 m、n 的关系式；（2）若该抛物线的顶点在 x 轴上，求出它的解析式23某商品的进价为每件 30 元，现在的售价为每件 40 元，每星期可卖出 150 件市场调查反映：如果每件的售价每涨 1 元（售价每件不能高于 45 元），那么每星期少卖 10 件设每件涨价 x元（x 为非负整数），每星期的销量为 y 件（1）求 y 与 x 的函数关系式及自变量 x 的取值范围；（2）设利润为
8、 W 元，写出 W 与 x 的函数关系式 5 /教管教学教研部24如图，已知抛物线经过两点 A（3，0），B（0，3），且其对称轴为直线 x1（1）求此抛物线的解析式；（2）若点 P 是抛物线上点 A 与点 B 之间的动点（不包括点 A，点 B），求PAB 的面积的最大值，并求出此时点 P 的坐标四、附加题（共四、附加题（共 2 2 小题）小题）25已知二次函数 yax24ax+3a 的图象经过点（0，3）（1）求 a 的值；（2）将该二次函数沿 y 轴怎样平移后得到的函数图象与 x 轴只有一个公共点？（3）将该函数的图象沿 x 轴翻折，求翻折后所得图象的函数表达式 6 /教管教学教研部26某
9、厂生产某种零件，该厂为鼓励销售商订货，提供了如下信息：每个零件的成本价为 40 元；若订购量在 100 个以内，出厂价为 60 元；若订购量超过 100 个时，每多订 1 个，订购的全部零件的出厂单价就降低 0.02 元；实际出厂单价不能低于 51 元根据以上信息，解答下列问题：（1）当一次订购量为个时，零件的实际出厂单价降为 51 元（2）设一次订购量为 x 个时，零件的实际出厂单价为 P 元，写出 P 与 x 的函数表达式（3）当销售商一次订购 500 个零件时，该厂获得的利润是多少元？如果订购 1000 个，利润又是多少元？（工厂售出一个零件的利润实际出厂价成本） 7 /教管教学教研部基
10、础知识通关答案基础知识通关答案2.y=ax2+bx+c4.2bxa ，24(,)24bacbaa，（0，c）10.两个，两个，两个，一个，没有，没有单元检测答案单元检测答案1【分析】根据二次函数的定义结合二次项系数非零，即可得出关于 m 的一元二次方程及一元一次不等式，解之即可得出 m 的值【解答】解：函数 y（m3）x27m是二次函数2307 2= =mm解得：m3故选：A【知识点】12【分析】根据二次函数的定义：二次项系数不为 0，举出特例即可判断【解答】解：A、当 m1 时，不是二次函数，故错误；B、当 m1 时，二次项系数等于 0，不是二次函数，故错误；C、是二次函数，故正确；D、当
11、m1 或1 时，二次项系数等于 0，不是二次函数，故错误故选：C【知识点】13【分析】由于抛物线 yax22ax 的常数项为 0，所以图象经过原点，根据对称轴为直线 x1，可知抛物线开口向上，点 B 在对称轴的右侧，顶点在第四象限【解答】解：yax22axx0 时，y0图象经过原点又对称轴为直线 x1抛物线开口向上，点 B 在对称轴的右侧，顶点在第四象限即 A、B、D 正确，C 错误故选：C【知识点】44【分析】根据抛物线 ya（xh）2+k 的顶点坐标为（h，k），对称轴为 xh，据此解答可得【解答】解：二次函数 yx2的对称轴是直线 x0，即 y 轴，故选：C【知识点】45【分析】根据二次
12、函数的性质可的抛物线开口方向、对称轴方程和顶点坐标，从而得出答案【解答】解：二次函数 y（x1）23 的顶点坐标是（1，3），故选：A【知识点】46【分析】根据题目中抛物线的顶点式，可以直接写出它的对称轴，本题得以解决 8 /教管教学教研部【解答】解：抛物线 y（x+2）21 的对称轴是直线 x2，故选：C【知识点】47【分析】根据已知条件“a0、b0、c0”判断出该函数图象的开口方向、与 x 和 y 轴的交点、对称轴所在的位置，然后据此来判断它的图象【解答】解：a10，b0，c0该函数图象的开口向下，对称轴是 x0与 y 轴的交点在 y 轴的负半轴上故选：D【知识点】38【分析】运用配方法把
13、一般式化为顶点式即可【解答】解：yx26x+5x26x+94（x3）24，故选：C【知识点】29【分析】当 x0 时，yc，与 y 轴有交点将点（1，2），（2，2），（5，3）代入解析式，得到 a，如果抛物线的对称轴 x3，（1，2）关于对称轴对称的点为（5，2），与经过点（5，3）矛盾，对称轴是 x4，解出 a，b，c，确定；【解答】解：当 x0 时，yc，与 y 轴有交点；正确抛物线经过（1，2），（2，2），（5，3）a，抛物线开口向上；正确如果抛物线的对称轴 x3（1，2）关于对称轴对称的点为（5，2）与经过点（5，3）矛盾对称轴不能是 x3，正确对称轴是 x44，b8a将点（1，2
14、），（5，3）代入得24a+4b18a1a18，b1，c98b24ac0抛物线与 x 轴有交点，正确故选：A【知识点】1，2，8，1010【分析】由抛物线与 x 轴有两个交点可得出b24ac0， 9 /教管教学教研部进而可得出关于 m 的一元一次不等式，解之即可得出 m 的取值范围【解答】解：抛物线 yx22x+m 与 x 轴有两个交点b24ac（2）241m0，即 44m0解得：m1故选：C【知识点】10二填空题（共二填空题（共 1010 小题）小题）11【分析】根据二次函数定义可得 m222，且 m+20，再解即可【解答】解：由题意得：m222，且 m+20解得：m2故答案为：2【知识点】
15、112【分析】根据二次函数的性质，利用顶点式即可得出顶点坐标【解答】解：抛物线 yx23抛物线 yx23 的顶点坐标是：（0，3）故答案为：（0，3）【知识点】2，413【分析】根据二次项系数可以确定开口方向，根据抛物线的顶点式解析式可以确定其顶点的坐标【解答】解：二次函数 y3x2的图象开口向下，顶点坐标为（0，0），故答案为：下；（0，0）【知识点】314【分析】根据二次函数的对称性求得对称轴，进而根据表格的数据即可得到抛物线的顶点坐标【解答】解：抛物线过点（0，3）和（2，3）抛物线的对称轴方程为直线 x1当 x1 时，y4抛物线的顶点坐标为（1，4）故答案为：（1，4）【知识点】3，4
16、，615【分析】关于 x 的方程 ax2+bxmx+n 的解为抛物线 yax2+bx 与直线 ymx+n 交点的横坐标【解答】解：抛物线 yax2+bx 与直线 ymx+n 相交于点 A（3，6），B （1，2）关于 x 的方程 ax2+bxmx+n 的解为 x13，x21故答案为 x13，x21【知识点】1016【分析】根据抛物线与 x 轴的交点问题得到关于 x 的一元二次方程 a（xh）2+k0 的解为x11，x25，再把方程 a（xh+m）2+k0 可看作关于 x+m 的一元二次方程，则 x+m1或 x+m5，然后把 x4 代入可计算出 m 的值【解答】解：抛物线 ya（xh）2+k 经
17、过（1，0）、（5，0）两点关于 x 的一元二次方程 a（xh）2+k0 的解为 x11，x25 10 /教管教学教研部关于 x 的一元二次方程 a（xh+m）2+k0 可看作关于 x+m 的一元二次方程x+m1 或 x+m5而关于 x 的一元二次方程 a（xh+m）2+k0 的一个解为 x44+m1 或 4+m5m5 或 1故答案为5 或 1【知识点】1017【分析】本题是营销问题，基本等量关系：利润每件利润销售量，每件利润每件售价每件进价再根据所列二次函数求最大值【解答】解：设利润为 w 元则 w（20 x）（x10）（x15）2+2510 x20当 x15 时，二次函数有最大值 25故答
18、案是：15【知识点】1118【分析】利用二次函数的性质解决问题【解答】解：a10y 有最大值当 x6 时，y 有最大值 8故答案为 8【知识点】1119【分析】根据函数的对称轴求出点（4，3）关于对称轴对称的点为（2，3），ax2+bx+c3的解可以看作 yax2+bx+c 与直线 y3 的交点问题，即可求解【解答】解：对称轴是 x1点（4，3）关于对称轴对称的点为（2，3）ax2+bx+c3 的解可以看作 yax2+bx+c 与直线 y3 的交点问题方程 ax2+bx+c3 的解为 x2 或 x4故答案为 x2 或 x4【知识点】1020【分析】根据题意得出日销售量 y 是销售价 x 的一次
19、函数，再利用待定系数法求出即可，再根据销量每件利润总利润，即可得出所获利润 w 为二次函数【解答】解：由图表中数据得出 y 与 x 是一次函数关系，设解析式为：ykx+b则解得：y 与 x 之间的函数关系式为：y10 x+400故日销售利润 w（元）与销售单价 x（元）之间的函数关系式为：w（x10）y（x10）（10 x+400）10 x2+500 x4000故答案为：w10 x2+500 x4000【知识点】1111三解答题（共三解答题（共 6 6 小题）小题） 11 /教管教学教研部21【分析】（1）首先求出b24ac 的值，进而得出答案；（2）利用待定系数法确定二次函数解析式，然后由一
20、元二次方程与二次函数解析式的转化关系求得抛物线与 x 轴的交点坐标【解答】解：（1）该二次函数图象与 x 轴交点的个数是 1 个或 2 个，理由如下：b24acn2+4m（mn）n2+4m24mn（n2m）20该二次函数图象与 x 轴交点的个数是 1 个或 2 个（2）把点 A（2，3），B（1，4）代入，ymx2+nx（mn）中，得解得故该二次函数解析式是：yx2+2x+3当 y0 时，x2+2x+30解得 x11，x23该二次函数图象与 x 轴的交点坐标是（1，0），（3，0）【知识点】1022【分析】（1）将点 A（1，1）代入 yx2+（2m+1）xn1，即可求得 m、n 的关系式；（
21、2）根据二次函数图象上点的坐标特征得到0，把 n2m 代入整理后得到 4m2+12m+50，解得 m和，故有两种情况的解析式【解答】解：（1）将点 A（1，1）代入 yx2+（2m+1）xn1 得：112+（2m+1）1n1整理得：n2m故 m、n 的关系式为：n2m；（2）抛物线的顶点在 x 轴上0n2m代入上式化简得，4m2+12m+50解得 m或 m当 m时，n5，抛物线的解析式为：yx24x+4当 m时，n1，抛物线的解析式为：yx2抛物线的解析式为 yx2或 yx24x+4【知识点】4，523【分析】（1）涨价为 x 元，可用 x 表示出每星期的销量，并得到 x 的取值范围；（2）根
22、据总利润销量每件利润可得出利润的表达式【解答】解：（1）设每件涨价 x 元由题意得每星期的销量为 y15010 x10 x+150，（0 x5 且 x 为整数）；（2）设每星期的利润为 W 元 12 /教管教学教研部W（x+4030）（15010 x）10 x2+50 x+1500【知识点】1124【分析】（1）因为对称轴是直线 x1，所以得到点 A（3，0）的对称点是（1，0），因此利用交点式 ya（xx1）（xx2），求出解析式（2）根据面积的和差，可得二次函数，根据二次函数的性质，可得最大值，根据自变量与函数值的对应关系，可得答案【解答】解：（1）抛物线对称轴是直线 x1 且经过点 A（
23、3，0）由抛物线的对称性可知：抛物线还经过点（1，0）设抛物线的解析式为 ya（xx1）（xx2）（a0）即：ya（x1）（x+3）把 B（0，3）代入得：33aa1抛物线的解析式为：yx22x+3（2）设直线 AB 的解析式为 ykx+b，A（3，0），B（0，3）直线 AB 为 yx+3，作 PQx 轴于 Q，交直线 AB 于 M设 P（x，x22x+3），则 M（x，x+3）PMx22x+3（x+3）x23xS（x23x）3（x+）2+当 x时，S最大，y（）22（）+3PAB 的面积的最大值为，此时点 P 的坐标为（，）【知识点】10四附加题（共四附加题（共 2 2 小题）小题）25【
24、分析】（1）直接把已知点（0，3）代入进而得出答案；（2）利用配方法将原式变形进而利用二次函数平移的性质进而得出答案；（3）利用关于 x 轴对称点的性质进而得出答案【解答】解：（1）二次函数 yax24ax+3a 的图象经过点（0，3）3a3即 a1；（2）a1 yx24x+3即 y（x2）21当该抛物线沿 y 轴向上平移 1 个单位，函数图象与 x 轴只有一个公共点；（3）函数 y（x2）21 图象的顶点为（2，1），a1该函数的图象沿 x 轴翻折后得到的函数图象顶点为（2，1），a1翻折后得到的函数表达式为 y（x2）2+1【知识点】7 13 /教管教学教研部26【分析】（1）由题意设每个
25、零件的实际出厂价恰好降为 51 元时，一次订购量为 x 个，则 x100+550 进而得出答案；（2）前 100 件单价为 P，当进货件数大于等于 550 件时，P51，则当 100 x550 时，P600.02（x100）62得到 P 为分段函数，写出解析式即可；（3）设销售商的一次订购量为 x 个时，工厂获得的利润为 L 元，表示出 L 与 x 的函数关系式，然后令 x500，1000 即可得到对应的利润【解答】解：（1）设每个零件的实际出厂价恰好降为 51 元时，一次订购量为 x 个，则 x100+550因此，当一次订购量为 550 个时，每个零件的实际出厂价恰好降为 51 元故答案为：550；（2）当 0 x100 时，P60当 100 x550 时，P600.02（x100）62当 x550 时，P51所以 P（3）设销售商的一次订购量为 x 个时，工厂获得的利润为 L 元则 L（P40）x当 x500 时，L225006000（元）当 x1000 时，L（5140）100011000（元）因此，当销售商一次订购 500 个零件时，该厂获得的利润是 6000 元；如果订购 1000 个，利润是 11000 元【知识点】11
