1、 1 / 教管教学教研部 第十五章第十五章 分式分式 基础知识通关基础知识通关 15.115.1 分式分式 1.分式的概念 两个整式 A、B 相除，即AB，如果 B 中含有 ，那么AB叫做分式，A 叫分式的分子，B 叫分式的分母. 2.分式有意义(或分式存在)的条件：分母 ，即 B0. 3.分式为零的条件 ； . 4.分式的基本性质 分式的分子和分母同乘(或除以)同一个不为零的整式，分式的值不变. 5. 约分：把一个分式的分子与分母中 约去. 最简分式：一个分式的分子与分母没有相同的因式（1 除外）. 6. 通分：将几个异分母的分式分别化为与原来分式的值相等的同分母分式的过程. 最简公分母：各
2、分母 与 的积. 7. 最简分式：分子分母没有公因式（1 除外）的分式. 1515. .2 2 分式的运算分式的运算 8. 分式的乘除 (1)乘法: 两个分式相乘，把分子相乘的积作为积的分子，把分母相乘的积作为积的分母. (2)除法：两个分式相除，把除式的分子和分母 后再与被除式相乘. (3)乘方：分式的乘方是指把分式的分子、分母分别乘方. 分式的乘法a ca c=b db d；分式的除法：aca d =bdb c. 9.分式的加减 (1)同分母分式相加减：分母不变,分子相加减 (2)异分母分式相加减：先通分,化为同分母分式,按照同分母的加减法法则计算. (3)同分母分式相加减：abab =
3、ccc；异分母分式相加减：acadbc= bdbd. 10.分式的混合运算 (1)运算顺序:乘方乘除加减; (2)若有括号，先算括号内的; (3)若含有多项式并且能进行因式分解，要先分解因式，进行约分，再按照法则运算. 11.分式的化简求值 根据题目本身的特点，将已知条件或所求分式适当变形，巧妙求解. 12. 整数指数幂 规定pa (其中 a0,p 是自然数)。如：11xx. 在0a时，na中的指数 n 可以是正整数、零和负整数，这就是说，na是整数指数幂. 四个基本公式： nmmnm nmnm nmmnmmaaaaaaaaaba b； . 2 / 教管教学教研部 13.整数指数幂的应用 科学
4、记数法不仅可以表示绝对值较大的数，也可以表示绝对值较小的数. 一般形式为 a10n，其中 1|a|10，n 为由原数左边起第一个不为零的数字前面的 0 的个数所决定 1 15.35.3 分式方程分式方程 14. 分式方程的概念：分母中含有未知数的方程叫做分式方程. 15. 解分式方程的一般方法 (1)去分母：在方程的两边同时乘以 ，把原方程化为整式方程 . (2)解整式方程：移项 合并 两边同除以未知数的系数 得出方程的解 . (3)验根：把得到的方程的根代入最简公分母中，检验分母是否为 0. 【注意】增根 ：能让整式方程成立，但会使原分式方程的分母为 0. 16.分式方程的应用 列分式应用题
5、的一般步骤是：审设列解检答即 (1)审题； (2)设未知数； (3)找出相等关系，列出分式方程； (4)解分式方程； (5) ，看方程的解是否满足方程和符合题意； (6)作答. 【注意】列分式方程解应用题的检验： (1)由于列的方程是分式方程，而分式方程在解的过程中可能会产生增根，故必须验根； (2)检验是否符合题意，不符合题意的解必须舍去，这一点与解整式方程应用题一样. 本章知识结构图本章知识结构图： 3 / 教管教学教研部 单元检测单元检测 一选择题（共一选择题（共 1010 小题）小题） 1下列各式：x2，x1x+2，5+y，43xy2，1b，其中是分式的有（ ） A1 个 B2 个 C
6、3 个 D4 个 2下列各式中所有字母都不为零，这些等式不成立的是（ ） Aab=acbc Bxyx+y=yxxy Cx+yx2+xy=1x D0.3a+b0.2a+0.5b=3a+10b2a+5b 3要使分式a+2a4有意义，则 a 的取值范围是（ ） Aa4 Ba4 Ca4 Da2 4分式16x2y和12xyz最简公分母是（ ） A6x2yz B6xyz C12x2yz D12xyz 5若分式x2x+2的值为 0，则 x 的值是（ ） A2 B0 C2 D任意实数 6计算2yx2y+x2yx的结果是（ ） A1 B1 C2yx Dx2y 7在下列关于 x 的方程中分式方程的个数有（ ） 1
7、2x223x+40 xa=4 ax=5 x29x+3=1 1x+2=6 2x13=x+7 A2 个 B3 个 C4 个 D5 个 8当代数式 2（x+1）1与 3（x2）1的值相等时，x（ ） A7 B7 C8 D8 9化简2x211xa的结果是2x+1，则 a 的值是（ ） A1 B1 C2 D2 10已知 a1a= 3，则 a+1a的值是（ ） A5 B7 C5 D7 二填空题（共二填空题（共 1010 小题）小题） 11当 x 时，分式2x3的值是 1 12在分式.b8a，a+bab，xyx2y2，xyx2+2xy+y2中，最简分式有 个 13化简2xx264y21x+8y结果是 14将
8、y2x，x3y2，14xy通分后的结果分别为 15若 a+b3ab0，则1a+1b= 16已知 x24x+10，则 x2+1x2= 4 / 教管教学教研部 17如果 a2a10，那么代数式（a2a1a）a2a1的值是 18若关于 x 的方程2x+mx1=3 的解为正数，则 m 的取值范围是 19DNA 是遗传物质脱氧核糖核酸的英文简称，DNA 分子的直径只有 0.0000007cm，则 0.0000007用科学记数法表示是 20汽车以 a 千米/时的速度从甲地开往乙地，已知甲、乙两地相距 120 千米，则汽车从甲地到乙地用 小时 三解答题（共三解答题（共 6 6 小题）小题） 21计算：（a1
9、+b1）1（a2b2）1 22化简 （1）2a+4a24+1 （2）x2y2x2+2xy+y2（x2xyx+y） 23解方程： （1）1+x2x 3 =1x2 （2）2x+12x1x2=1x1 5 / 教管教学教研部 24阅读材料：运用公式法分解因式，除了常用的平方差公式和完全平方公式以外，还可以应用其他公式，如立方和与立方差公式，其公式如下： 立方和公式：x3+y3（x+y）（x2xy+y2） 立方差公式：x3y3（xy）（x2+xy+y2） 根据材料和已学知识，先化简，再求值：3xx22xx2+2x+4x38，其中 x3 25某市为促进经济发展，增强对外贸易的竞争力，把距离港口 360 千
10、米的普通公路升级成了同等长度的高速公路，结果汽车行驶的平均速度比原来提高了 50%，行驶时间缩短了 2 小时，求汽车原来的平均速度 26已知关于 x 的分式方程2x1+mx(x1)(x+2)=1x+2 （1）若方程的增根为 x1，求 m 的值 （2）若方程有增根，求 m 的值 （3）若方程无解，求 m 的值 6 / 教管教学教研部 四附加题（共四附加题（共 2 2 小题，每题小题，每题 1010 分）分） 27在一次数学兴趣小组的活动课上，有下面的一段对话，请你阅读完后再解答问题 老师：同学们，今天我们来探索如下方程的解法：(xx1)2 4(xx1) + 4 = 0 学生甲：老师，原方程可整理
11、为x2(x1)24xx1+ 4 = 0，再去分母，行得通吗？ 老师：很好，当然可以这样做 再仔细观察，看看这个方程有什么特点？还可以怎样解答？ 学生乙：老师，我发现xx1是整体出现的！ 老师：很好，我们把xx1看成一个整体，用 y 表示，即可设xx1=y，那么原方程就变为 y24y+40 全体学生：噢，等号左边是一个完全平方式？！方程可以变形成（y2）20 老师：大家真会观察和思考，太棒了！显然 y24y+40 的根是 y2，那么就有xx1=2 学生丙：对啦，再解这两个方程，可得原方程的根 x2，再验根就可以了！ 老师：同学们，通常我们把这种方法叫做换元法，这是一种重要的转化方法 全体同学：O
12、K，换元法真神奇！ 现在，请你用换元法解下列分式方程（组）： （1）(2xx1)24xx1+ 1 = 0 （2）6xy+4x+y= 39xy1x+y= 1 7 / 教管教学教研部 28定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式”如：x+1x1=x1+2x1=x1x1+2x1=1+2x1， 2x3x+1=2x+25x+1=2x+2x+1+5x+1=2+5x+1，则x+1x1和2x3x+1都是“和谐分式” （1）下列分式中，属于“和谐分式”的是 （填序号）； x+1x；2+x2；x+2x+1；y2+1y2 （2）将“和谐分式”a22a+3a1化成一个
13、整式与一个分子为常数的分式的和的形式为： a22a+3a1= + ； （3）应用：先化简3x+6x+1x1xx21x2+2x，并求 x 取什么整数时，该式的值为整数 8 / 教管教学教研部 基础基础知识通关答案知识通关答案 1.1. 字母 2. 不等于零 3. 分母不为零，分子为零 5. 相同的因式 6. 系数的最小公倍数，字母因式的最高次幂 8. 颠倒位置 12.1pa 15. 最简公分母，同类项 16. 检验 单元单元检测答案检测答案 一选择题（共一选择题（共 1010 小题）小题） 1【分析】根据分式的定义进行解答即可，即分母中含有未知数的式子叫分式 【解答】解：x2，5+y，43xy2
14、的分母中不含有字母，因此它们是整式，而不是分式 x1x+2，1b的分母中含有字母，因此它是分式 故选：B 【知识点】1 2【分析】根据分式的基本性质即可求出答案 【解答】解：B. xyx+y= yxx+y，故 B 不成立 故选：B 【知识点】4 3【分析】根据分式有意义的条件可得 a40，再解即可 【解答】解：由题意得：a40，解得：a4 故选：C 【知识点】2 4【分析】确定最简公分母的方法是： （1）取各分母系数的最小公倍数； （2）凡单独出现的字母连同它的指数作为最简公分母的一个因式； （3）同底数幂取次数最高的，得到的因式的积就是最简公分母 【解答】解：分式16x2y和12xyz最简公
15、分母是 6x2yz 故选：A 【知识点】6 5【分析】直接利用分式的值为零则分子为零进而得出答案 【解答】解：分式x2x+2的值为 0 x20，x+20 解得：x2 故选：A 【知识点】3 9 / 教管教学教研部 6【分析】根据分式的运算法则即可求出答案 【解答】解：原式=2yxx2y1 故选：B 【知识点】9 7【分析】根据分式方程的定义：分母中含有未知数的方程叫做分式方程进行分析 【解答】解：ax=5 x29x+3=1 1x+2=6 是分式方程，共 3 个 故选：B 【知识点】14 8【分析】直接利用负指数幂的性质以及分式方程的解法计算得出答案 【解答】解：代数式 2（x+1）1与 3（x
16、2）1的值相等 2x+1=3x2 则 3（x+1）2（x2） 故 3x+32x4 解得：x7 检验：当 x7 时，（x+1）（x2）0，故 x7 是方程的解 故选：B 【知识点】12，15 9【分析】根据分式的运算法则即可求出答案 【解答】解：1xa=2x212x+1=x+1x21 =1x1 a1 故选：A 【知识点】8 10【分析】根据 a1a= 3，通过变形可以求得所求式子的值 【解答】解：a1a= 3 （a1a）23 a2 2 +1a2=3 a2+ 2 +1a2=7 (a +1a)2=7 a +1a= 7 故选：D 【知识点】11 二填空题（共二填空题（共 1010 小题）小题） 11【
17、分析】根据题意列式计算即可 【解答】解：由题意得，x32 解得，x5 故答案为：5 【知识点】15 10 / 教管教学教研部 12【分析】根据最简分式的定义分别对每一个式子进行判断，即可得出答案 【解答】解：b8a，a+bab，xyx2+2xy+y2是最简分式 xyx2y2的分子分母中含有公因式（xy），不是最简分式 故答案是：3 【知识点】7 13【分析】根据分式的运算法则即可求出答案 【解答】解：原式=2xx264y2x8yx264y2=x+8yx264y2 =1x8y 故答案为：1x8y 【知识点】9 14【分析】解答此题的关键是求出最简公分母，然后再进行通分 【解答】解：y2x，x3y
18、2，14xy的最简公分母为 12xy2 故y2x=6y312xy2；x3y2=4x212xy2；14xy=3y12xy2 故答案为：6y312xy2，4x212xy2，3y12xy2 【知识点】6 15【分析】根据 a+b3ab0，通过变形可以求得所求式子的值 【解答】解：由 a+b3ab0 得 a+b3ab 1a+1b=a+bab=3abab3 故答案为 3 【知识点】11 16【分析】根据 x24x+10，可以求得 x+1x的值，从而可以求得所求式子的值 【解答】解：x24x+10 x4+1x=0 x+1x=4 x2+1x2（x+1x）2242216214 故答案为：14 【知识点】11
19、17【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，约分得到最简结果，把已知等式变形后代入计算即可求出值 【解答】解：a2a10，即 a2a1 原式=a22a+1aa2a1=(a1)2aa2a1=a（a1）a2a1 故答案为：1 【知识点】11 11 / 教管教学教研部 18【分析】先将原方程去分母，化为整式方程，用含 m 的式子表示出 x，再考虑方程的解为正数及出现增根的情况即可解 【解答】解：由2x+mx1=3 得 2x+m3x3 xm+3 解为正数 m+30 m3 当 m2 时，x1 检验：当 x1 时，（x1）0 x1 为原方程的增根 故答案为 m3 且 m2 【知识点】15
20、 19【分析】绝对值小于 1 的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为 a10n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0 的个数所决定 【解答】解：0.00000077107 故答案为：7107 【知识点】13 20【分析】根据汽车以 a 千米/时的速度从甲地开往乙地，甲、乙两地相距 120 千米 再根据时间=路程速度，列出代数式即可 【解答】解：甲、乙两地相距 120 千米，汽车以 a 千米/时的速度 汽车从甲地到乙地用120a小时 故答案为：120a 【知识点】16 三解答题（共三解答题（共 6 6 小题）小题） 21【分析】先利用负
21、整数指数幂的意义将原式变形为11a+1b11a21b2 再根据分式的基本性质分别化简被除式与除式 然后利用分式除法法则计算即可 【解答】解：（a1+b1）1（a2b2）1 =11a+1b11a21b2 =abb+aa2b2b2a2 =abb+a(b+a)(ba)a2b2 = 【知识点】10，12 12 / 教管教学教研部 22【分析】（1）先化简，再根据分式的加法法则求出即可； （2）先化简以及计算括号内的减法，把除法变成乘法，再根据分式的乘法法则求出即可 【解答】解：（1）原式=2(a+2)(a+2)(a2)+1 =2a2+1 =2+a2a2 =aa2 （2）原式=(x+y)(xy)(x+y
22、)2x2xy2(x+y) =xyx+y2(x+y)x(xy) =2x 【知识点】10 23【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到 x 的值，经检验即可得到分式方程的解 【解答】 （1）解：去分母得：1x3x+61 解得：x1 经检验 x1 是分式方程的解 （2）解：去分母得：2x2+2xx+1 解得：x1 经检验 x1 是增根，分式方程无解 【知识点】15 24【分析】根据题目中的公式可以化简题目中的式子，然后将 x 的值代入化简后的式子即可解答本题 【解答】解：3xx22xx2+2x+4x38 =3xx(x2)x2+2x+4(x2)(x2+2x+4) =3x21x2 =2
23、x2 当 x3 时，原式=232=2 【知识点】11 25【分析】设汽车原来的平均速度为 x 千米/小时，根据题意列出分式方程，解分式方程即可 【解答】解：设汽车原来的平均速度为 x 千米/小时， 根据题意得：360 x360(1+50%)x=2 解得：x60 经检验，x60 是原方程的解，且符合题意 答：汽车原来的平均速度为 60 千米/小时 【知识点】16 13 / 教管教学教研部 26【分析】方程去分母转化为整式方程， （1）根据分式方程的增根为 x1，代入求出 m 的值即可； （2）根据分式方程有增根，确定出 x 的值，进而求出 m 的值； （3）分 m+10 与 m+10 两种情况，
24、根据分式方程无解，求出 m 的值即可 【解答】解：方程两边同时乘以（x+2）（x1），去分母并整理得（m+1）x5 （1）x1 是分式方程的增根 1+m5 解得：m6 （2）原分式方程有增根 （x+2）（x1）0 解得：x2 或 x1 当 x2 时，m1.5；当 x1 时，m6 （3）当 m+10 时，该方程无解，此时 m1 当 m+10 时，要使原方程无解，由（2）得：m6 或 m=1.5 综上，m 的值为1 或6 或 1.5 【知识点】15 四四、附加题附加题（共（共 2 2 小题）小题） 27【分析】（1）设2xx1=y，方程化为关于 y 的方程，求出方程的解得到 y 的值，即为2xx1
25、的值，求出 x 的值，检验即可； （2）设1xy=u，1x+y=v，方程组化为关于 u 与 v 的方程组，求出方程组的解得到 u 与 v 的值，即为1xy与1x+y的值，进而求出 x 与 y 的值，检验即可 【解答】（1）解：设2xx1=y，则原方程变形为：y22y+10，即（y1）20 解得：y1，即2xx1=1，即 2xx1 解得：x1 经检验：x1 是原方程的解 （2）解：设1xy=u，1x+y=v 则原方程组化为：6u + 4v = 39u v = 1 解得：u =16v =12，即1xy=161x+y=12 整理得：x + y = 2x y = 6 解得：x = 4y = 2 经检验
26、，x = 4y = 2是原方程组的解 【知识点】15 14 / 教管教学教研部 28【分析】（1）由“和谐分式”的定义对变形即可得； （2）由“和谐分式”的定义对原式变形可得； （3）将原式变形为2x+4x+1=2+2x+1 据此得出 x+11 或 x+12，即 x0 或2 或 1 或3 又 x0、1、1、2，据此可得答案 【解答】解：（1）x+1x=1+1x，是和谐分式 分母中不含有字母，不是和谐分式 x+2x+1=x+1+1x+1=1+1x+1，是和谐分式 y2+1y2=1+1y2，是和谐分式 故答案为： （2）a22a+3a1=a22a+1+2a1=(a1)2+2a1=a1+2a1 故答案为：a1 2a1； （3）原式=3x+6x+1x1xx(x+2)(x+1)(x1) =3x+6x+1x+2x+1 =2x+4x+1 =2(x+1)+2x+1 2+2x+1 当 x+11 或 x+12 时，分式的值为整数 此时 x0 或2 或 1 或3 又分式有意义时 x0、1、1、2 x3 【知识点】10，11
