1、石景山区 2017 年高三统一练习数学（理）试卷 1本试卷共 6 页，共三道大题，20 道小题，满分 150 分，考试时间 120 分钟2在答题卡上准确填写学校名称、姓名和准考证号3试题答案一律填涂或书写在答题卡上，选择题、作图题请用 2B 铅笔作答，其他试题请用 黑色字迹签字笔作答，在试卷上作答无效第一部分（选择题 共 40 分）一、选择题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项1A B已知集合 A =x2 x -1 0 ， B=x0x1，那么等于（ ）Axx0Bxx1Cx0 x 1 Dx0x 1 x + y6,2 2 已知实数 x ， y
2、满足x - y2,则 z = 2 x + y 的最大值是（）2x0, y0,A 4B 6C10D123cosq =1 被圆r = 1 所截得的弦长为（）直线 r2A1BC 2D 434设 q R ，“ sinq = cosq ”是“ cos 2q = 0 ”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件招聘电话：010-82539895招聘邮箱：zkzhaopinPage 1 of 145我国南宋数学家秦九韶（约公元1202 1261 年）给出了求 n（ n N* ）次多项式an xn + an-1 xn-1 + a1 x + a0 当 x = x0 时的值的一种简捷算
3、法，该算法被后人命名为“秦九韶算法”例如，可将 3 次多项式改写为： a3 x3 + a2 x2 + a1 x + a0 = (a3 x + a2 ) x + a1 )x + a0 之后进行求值运行如图所示的程序框图，能求得多项式（）的值A x4 + x3 + 2x2 + 3x + 4 B x4 + 2x3 + 3x2 + 4x + 5 C x3 + x2 + 2x + 3D x3 + 2x2 + 3x + 46某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是（）A 2 + 5B 2 + 25C 4 + 5D 57如图，在矩形 ABCD 中， AB = 2 ， BC = 2 ，点 E 为 BC
4、的中点，点 F 在边 CD 上，若 AB AF =2，则 AE BF 的值是（ ）A 2 -B12CD 22招聘电话：010-82539895招聘邮箱：zkzhaopinPage 2 of 148如图，将三角形 ABC 分割成 m 个边长为1 的小正三角形 和一个灰色菱形，这个灰色菱形可以分割成 n 个边长为1 的 小正三角形若 m : n = 47 : 25 ，则三角形 ABC 的边长是（ ）A10B11C12D13第二部分（非选择题 共 110 分）二、填空题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分a + i9若复数 1 - i 是纯虚数，则实数 a = _10在数列an 中， a1 =
5、 1 ， an an+1 = -2 （ n = 1, 2,3,），那么 a8 等于_11若抛物线 y2 = 2 px 的焦点与双曲线 x2 - y2 =1的右顶点重合，则 p = _412如果将函数 f ( x) = sin(3x + j)(- j 0) 的图像向左平移 12 个单位所得到的图像关于原点对称，那么 j = _ 13将甲、乙、丙、丁四名学生分到三个不同的班，每个班至少分到一名学生，则不同的分 法的总数是_（用数字作答）2a - ( x +4), x 0 时， f ( x)1 - 1x （ 3 ）若 x -1 a ln x 对任意 x 1 恒成立，求实数 a 的最大值招聘电话：01
6、0-82539895招聘邮箱：zkzhaopinPage 7 of 1419（本小题共 14 分）x2y2已知椭圆 E ：+=1 (a b 0)过点 (0,1)，且离心率为3a2b22（ 1）求椭圆 E 的方程（ 2 ）设直线 l ： y = 12 x + m 与椭圆 E 交于 A 、 C 两点，以 AC 为对角线作正方形 ABCD ，记直线 l 与 x 轴的交点为 N ，问 B 、 N 两点间距离是否为定值？如果是，求出定值：如果不是，请说明理由招聘电话：010-82539895招聘邮箱：zkzhaopinPage 8 of 1420（本小题共 13 分）已知集合 Rn = X X = (
7、x1 , x2 , xn ), xi 0,1,i = 1,2, n (n2) 对于 A = (a1,a2 ,an ) Rn ，B = (b1,b2 ,bn ) Rn，定义A与B之间的距离为nd ( A, B) =a1 - b1+a2 - b2+ +an - bn= ai - bii =1（ 1）写出 R2 中的所有元素，并求两元素间的距离的最大值（ 2 ）若集合 M 满足： M R3 ，且任意两元素间的距离均为 2 ，求集合 M 中元素个数的最 大值并写出此时的集合 M （ 3 ）设集合 P Rn ，P 中有 m (m2) 个元素，记 P 中所有两元素间的距离的平均值为 d (P) ，mn证明
8、 d (P)2(m -1)招聘电话：010-82539895招聘邮箱：zkzhaopinPage 9 of 14石景山区 2017 年高三统一练习数学（理）试卷答案及评分参考 一、选择题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分题号12345678答案DCBAABCC二、填空题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分题号91011121314答案1-24-364, -1146三、解答题共 6 小题，共 80 分15（本小题共 13 分）解：（1）因为 c2 = a2 + b2 - ab ，所以 cosC=a2+ b2 - ab=12ab2又因为 C (0, ) ，所以 C = 3 （ 2 ）
9、由（1）知 C = 3 ，又 A + B + C = 所以 B =2 - A 且 A(0, 2 ) 33故22213cos A + cos B = cos A + cos(3 - A) = cos A + cos3cos A + sin3 sin A =2cos A +sin A = sin(6 + A)2又 A(0,2 ) ， + A( , 5 ) 3666所以当 + A = 即 A = 时， cos A + cos B 的最大值为162316（本小题共 13 分）解：（ 1）由图（乙）知，10(a + 0.02 + 0.03 + 0.025 + 0.015) = 1 ，解得 a = 0.0
10、1 s12 s22 （ 2 ） X 的所有可能取值1， 2 ， 3 则 P( X = 1) =C41C22=1， P( X = 2) =C41C21=3， P( X = 3) =C43C20=1，C635C635C635招聘电话：010-82539895招聘邮箱：zkzhaopinPage 10 of 14其分布列如下：X123P131555（ 3 ）由图（甲）知，甲种酸奶的数据共抽取 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 20 个其中有 4 个数据在区间 (0,10内又因为分层抽样共抽取了1200 5% = 60 个数据， 乙种酸奶的数据共抽取 60 - 20 = 40 个，由（1）知，乙
11、种酸奶的日销售量数据在区间 (0,10内所以，在1200 个数据中，在区间 (0,10内的数据有160 个17（本小题共 14 分）（1）因为 PD 面 ABCD ， BC 面 ABCD ， 所以 BC PD 因为四边形 ABCD 为矩形，所以 BC DC PDDC = D ，所以 BC 面 PDCDE 面 PDC ， DE BC ，在 rPDC 中， PD = DC ， E 为 PC 中点，所以 DE PC PCBC = C ,所以 DE 面 PBC （ 2 ）四面体 DBEF 是鳖臑，其中 BED = FED = 2 BFE = BFD = 2 （ 3 ）以 DA ， DC ， DP 所在
12、直线为 x 轴， y 轴， z 轴，建立空间直角坐标系，D(0,0,0) ， A(2,0,0) ， C(0, 2,0) ， P(0,0, 2) ， B(2, 2,0) 设 PF = l PB ，则 F (2l,2l,2-2l) l = 1 ，所以 F (13) DF PB 得 DF PB = 0 解得,2,22444设平面 FDA 的法向量 n = ( x, y, z) ，1322n DFx +y +z = 0244， n DA02 x =令 z = 1 得 x = 0 ， y = -3 招聘电话：010-82539895招聘邮箱：zkzhaopinPage 11 of 14平面 FDA 的法
13、向量 n = (0, -3,1) ，平面 BDA 的法向量 DP = (0,0, 2) ，n DP-210cos = -10nDP102二面角 F - AD - B 的余弦值为 1010 18（本小题共 13 分）解：（ 1） f ( x) = 1x ， f (1) = 1 ，又 f (1) = 0 ，所以切线方程为 y = x -1 （ 2 ）由题意知 x 0 ，令 g( x) = f ( x) - (1 - 1x ) = ln x -1 + 1x g( x) = 1-1=x -1，x2xx2令 g( x) =x -1= 0 ，解得 x = 1 x2易知当 x 1 时， g( x) 0 ，易
14、知当 0 x 1 时， g( x) 1 ， h( x) 0 恒成立h( x) = 1 - a=x - a，xxa1 时， h( x) 0 ， h( x) 在 1, +) 上单调增，当 x 1 时， h( x) h(1) = 0 ，满足题意a 1 时，随 x 变化， h( x) ， h( x) 的变化情况如下表：x(1, a)a(a, +)h( x)-0+h( x)极小值h( x) 在 (1, a) 上单调递减，所以 g(a) 1 时，总存在 g(a) 1 时，总存在 g(a) 0 ，可得 - m 22所以 x1 + x2= -2m ， x x = 2m2- 212所以 AC 中点为 M (-m
15、,1 m) 25弦长AC=22=2=10- 5m2，(x1 - x2 )+ ( y1 - y2 )4 (x1 + x2 )- 4x1x2又直线 l 与 x 轴的交点 N (-2m,0) ，所以MN=212=52(-m + 2m)+ ( 2 m)4 m所以BN2 =BM2 +MN2 = 1AC2+MN2 =5 42所以 B 、 N 两点间距离为定值 210 20（本小题共 13 分）解：（1） R2 = (0,0),(0,1),(1,0),(1,1)A, B R2 ， d ( A, B)max = 2 （ 2 ） R3 中含有 8 个元素，可将其看成正方体的 8 个顶点， 已知集合 M 中的元素
16、所对应的点，应该两辆位于该正方体面对角线的两个端点，所以 M = (0,0,0),(1,1,0),(1,0,1),(0,1,1)或 M = (0,0,1),(0,1,0),(1,0,0),(1,1,1)，集合 M 中元素个数最大值为 4 招聘电话：010-82539895招聘邮箱：zkzhaopinPage 13 of 14（ 3 ） d (P) = 12 d ( A, B) ，CmA,BP其中 d ( A, B) 表示 P 中所有两个元素间距离的总和A,BP设 P 中所有元素的第 i 个位置的数字中共有 ti 个1， m - ti 个 0 ，n则 d ( A, B) = ti (m - ti )A,BPi=1由于 t (m - t )m2 (i = 1,2, , n)，ii4n2所以 d ( A, B) = ti (m - ti ) nm，A,BPi=14(P) =1 d ( A, B) nm2=nm从而d222(m -1)Cm A,BP4Cm招聘电话：010-82539895招聘邮箱：zkzhaopinPage 14 of 14
