1、童梦无忧网 试管婴儿论坛 本文由考研生101贡献 pdf文档可能在WAP端浏览体验不佳。建议您优先选择TXT，或下载源文件到本机查看。 高等数学复习公式 高等数学公式篇 平方关系： sin2()+cos2()=1 tan2()+1=sec2() cot2()+1=csc2() 积的关系： sin=tan*cos cos=cot*sin tan=sin*sec cot=cos*csc sec=tan*csc csc=sec*cot 倒数关系： tancot=1 sincsc=1 cossec=1 直角三角形 ABC 中, 角 A 的正弦值就等于角 A 的对边比斜边, 余弦等于角 A 的邻边比斜边
2、 正切等于对边比邻边, 三角函数恒等变形公式 两角和与差的三角函数： cos(+)=coscos-sinsin cos(-)=coscos+sinsin sin()=sincoscossin tan(+)=(tan+tan)/(1-tantan) tan(-)=(tan-tan)/(1+tantan) 三角和的三角函数： sin(+)=sincoscos+cossincos+coscossin-sinsinsin cos(+)=coscoscos-cossinsin-sincossin-sinsincos tan(+)=(tan+tan+tan-tantantan)/(1-tantan-tan
3、tan-tantan) 辅助角公式： Asin+Bcos=(A2+B2)(1/2)sin(+t)，其中 sint=B/(A2+B2)(1/2) cost=A/(A2+B2)(1/2) 第 1 页 共 19 页 高等数学复习公式 tant=B/A Asin+Bcos=(A2+B2)(1/2)cos(-t)，tant=A/B 倍角公式： sin(2)=2sincos=2/(tan+cot) cos(2)=cos2()-sin2()=2cos2()-1=1-2sin2() tan(2)=2tan/1-tan2() 三倍角公式： sin(3)=3sin-4sin3() cos(3)=4cos3()-3
4、cos 半角公式： sin(/2)=(1-cos)/2) cos(/2)=(1+cos)/2) tan(/2)=(1-cos)/(1+cos)=sin/(1+cos)=(1-cos)/sin 降幂公式 sin2()=(1-cos(2)/2=versin(2)/2 cos2()=(1+cos(2)/2=covers(2)/2 tan2()=(1-cos(2)/(1+cos(2) 万能公式： sin=2tan(/2)/1+tan2(/2) cos=1-tan2(/2)/1+tan2(/2) tan=2tan(/2)/1-tan2(/2) 积化和差公式： sincos=(1/2)sin(+)+sin
5、(-) cossin=(1/2)sin(+)-sin(-) coscos=(1/2)cos(+)+cos(-) sinsin=-(1/2)cos(+)-cos(-) 和差化积公式： sin+sin=2sin(+)/2cos(-)/2 sin-sin=2cos(+)/2sin(-)/2 cos+cos=2cos(+)/2cos(-)/2 cos-cos=-2sin(+)/2sin(-)/2 推导公式 tan+cot=2/sin2 tan-cot=-2cot2 1+cos2=2cos2 1-cos2=2sin2 1+sin=(sin/2+cos/2)2 第 2 页 共 19 页 高等数学复习公式
6、其他： sin+sin(+2/n)+sin(+2*2/n)+sin(+2*3/n)+sin+2*(n-1)/n=0 cos+cos(+2/n)+cos(+2*2/n)+cos(+2*3/n)+cos+2*(n-1)/n=0 以及 sin2()+sin2(-2/3)+sin2(+2/3)=3/2 tanAtanBtan(A+B)+tanA+tanB-tan(A+B)=0 三角函数的角度换算 编辑本段 公式一： 设为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： sin（2k）sin cos（2k）cos tan（2k）tan cot（2k）cot 公式二： 设为任意角，+的三角函数值与的三角函数值
7、之间的关系： sin（）sin cos（）cos tan（）tan cot（）cot 公式三： 任意角与 -的三角函数值之间的关系： sin（）sin cos（）cos tan（）tan cot（）cot 公式四： 利用公式二和公式三可以得到-与的三角函数值之间的关系： sin（）sin cos（）cos tan（）tan cot（）cot 公式五： 利用公式一和公式三可以得到 2-与的三角函数值之间的关系： sin（2）sin cos（2）cos tan（2）tan cot（2）cot 公式六： 第 3 页 共 19 页 高等数学复习公式 /2及 3/2与的三角函数值之间的关系： sin（/
8、2）cos cos（/2）sin tan（/2）cot cot（/2）tan sin（/2）cos cos（/2）sin tan（/2）cot cot（/2）tan sin（3/2）cos cos（3/2）sin tan（3/2）cot cot（3/2）tan sin（3/2）cos cos（3/2）sin tan（3/2）cot cot（3/2）tan (以上 kZ) 部分高等内容 编辑本段 高等代数中三角函数的指数表示(由泰勒级数易得)： sinx=e(ix)-e(-ix)/(2i) cosx=e(ix)+e(-ix)/2 tanx=e(ix)-e(-ix)/ie(ix)+ie(-ix)
9、泰勒展开有无穷级数，ez=exp(z)1z/1！z2/2！z3/3！z4/4！zn/n！ 此时三角函数定义域已推广至整个复数集。 三角函数作为微分方程的解： 对于微分方程组 y=-y;y=y，有通解 Q,可证明 Q=Asinx+Bcosx，因此也可以从此出发定义三角函数。 补充：由相应的指数表示我们可以定义一种类似的函数双曲函数，其拥有很多与三角函数的类似的性质，二者相映成趣。 特殊三角函数值 a 0 30 45 60 90 sina 0 1/2 2/2 3/2 1 cosa 1 3/2 2/2 1/2 0 tana 0 3/3 1 3 None cota None 3 1 3/3 0 第 4
10、 页 共 19 页 高等数学复习公式 导数公式： (tgx) = sec 2 x (ctgx) = ? csc x (sec x) = sec x ? tgx (csc x) = ? csc x ? ctgx (a x ) = a x ln a (log a x) = 基本积分表： 2 (arcsin x) = 1 1 x ln a 1? x2 1 (arccos x) = ? 1? x2 1 (arctgx) = 1+ x2 1 (arcctgx) = ? 1+ x2 tgxdx = ? ln cos x + C ctgxdx = ln sin x + C sec xdx = ln sec
11、x + tgx + C csc xdx = ln csc x ? ctgx + C dx 1 x a 2 + x 2 = a arctg a +C dx 1 x?a x 2 ? a 2 = 2a ln x + a + C dx 1 a+x a 2 ? x 2 = 2a ln a ? x + C dx x a 2 ? x 2 = arcsin a + C 2 2 cos dx 2 x dx 2 sin 2 x = csc xdx = ?ctgx + C sec x ? tgxdx = sec x + C = sec 2 xdx = tgx + C csc x ? ctgxdx = ? csc x
12、 + C ax +C ln a shxdx = chx + C x a dx = chxdx = shx + C dx x a 2 2 = ln( x + x 2 a 2 ) + C I n = sin n xdx = cos n xdx = 0 0 n ?1 I n?2 n sin x = x 2 a2 x + a 2 + ln( x + x 2 + a 2 ) + C 2 2 x 2 a2 x 2 ? a 2 dx = x ? a 2 ? ln x + x 2 ? a 2 + C 2 2 x 2 a2 x a 2 ? x 2 dx = a ? x 2 + arcsin + C 2 2 a
13、x 2 + a 2 dx = 三角函数的有理式积分： 2u 1? u2 x 2du ， x = cos ，u = tg ，dx = 2 2 1+ u 1+ u 2 1+ u 2 第 5 页 共 19 页 高等数学复习公式 一些初等函数： 两个重要极限： e x ? e?x 双曲正弦 : shx = 2 x e + e?x 双曲余弦 : chx = 2 shx e x ? e ? x 双曲正切 : thx = = chx e x + e ? x arshx = ln( x + x 2 + 1） archx = ln( x + x 2 ? 1) 1 1+ x arthx = ln 2 1? x 三
14、角函数公式： 诱导公式： 函数 角A - 90- 90+ 180- 180+ 270- 270+ 360- 360+ 和差角公式： lim sin x =1 x 0 x 1 lim(1 + ) x = e = 2.718281828459045 x x sin -sin cos cos sin -sin -cos -cos -sin sin cos cos sin -sin -cos -cos -sin sin cos cos tg -tg ctg -ctg -tg tg ctg -ctg -tg tg ctg -ctg tg -tg -ctg ctg tg -tg -ctg ctg 和差化积
15、公式： sin( ) = sin cos cos sin cos( ) = cos cos ? sin sin tg tg tg ( ) = 1 ? tg ? tg ctg ? ctg ? 1 ctg ( ) = ctg ctg + ? cos 2 2 + ? sin ? sin = 2 cos sin 2 2 + ? cos + cos = 2 cos cos 2 2 + ? cos ? cos = 2 sin sin 2 2 sin + sin = 2 sin 第 6 页 共 19 页 高等数学复习公式 倍角公式： sin 2 = 2 sin cos cos 2 = 2 cos 2 ? 1
16、 = 1 ? 2 sin 2 = cos 2 ? sin 2 sin 3 = 3 sin ? 4 sin 3 cos 3 = 4 cos3 ? 3 cos 3tg ? tg 3 1 ? 3tg 2 ctg 2 ? 1 ctg 2 = 2ctg 2tg tg 2 = 1 ? tg 2 半角公式： tg 3 = sin 1 ? cos 1 + cos = cos = 2 2 2 2 tg 1 ? cos 1 ? cos sin 1 + cos 1 + cos sin = = = ctg = = = 2 1 + cos sin 1 + cos 2 1 ? cos sin 1 ? cos a b c
17、= = = 2R sin A sin B sin C 2 2 2 余弦定理： c = a + b ? 2ab cos C 正弦定理： 反三角函数性质： arcsin x = ? arccos xarctgx = ? arcctgx 2 2 高阶导数公式莱布尼兹（Leibniz）公式： 高阶导数公式 莱布尼兹（Leibniz 莱布尼兹（ Leibniz）公式： n k (uv) ( n ) = C n u ( n ? k ) v ( k ) k =0 = u ( n ) v + nu ( n ?1) v + n(n ? 1) ( n? 2) n(n ? 1)?(n ? k + 1) ( n? k
18、 ) ( k ) u v + ? + u v + ? + uv ( n ) 2! k! 中值定理与导数应用： 拉格朗日中值定理：f (b) ? f (a ) = f ( )(b ? a ) f (b) ? f (a) f ( ) 柯西中值定理： = F (b) ? F (a) F ( ) 当F( x) = x时，柯西中值定理就是拉格朗日中值定理。 曲率： 弧微分公式：ds = 1 + y 2 dx, 其中y = tg 平均曲率： = K ? .? : 从M点到M 点，切线斜率的倾角变化量；?s：MM 弧长。 ?s y ? d M点的曲率：K = lim = = . ?s 0 ?s ds (1
19、+ y 2 ) 3 直线：K = 0; 1 半径为a的圆：K = . a 第 7 页 共 19 页 高等数学复习公式 定积分的近似计算： b 矩形法： f ( x) a b b?a ( y0 + y1 + ? + y n?1 ) n b?a 1 ( y0 + y n ) + y1 + ? + y n?1 n 2 b?a ( y0 + y n ) + 2( y 2 + y 4 + ? + y n? 2 ) + 4( y1 + y3 + ? + y n ?1 ) 3n 梯形法： f ( x) a b 抛物线法： f ( x) a 定积分应用相关公式： 功：W = F ? s 水压力：F = p ?
20、 A mm 引力：F = k 1 2 2 , k为引力系数 r b 1 函数的平均值： = y f ( x)dx b?a a 1 2 均方根： f (t )dt b?a a 空间解析几何和向量代数： b 空间2点的距离：d = M 1 M 2 = ( x2 ? x1 ) 2 + ( y 2 ? y1 ) 2 + ( z 2 ? z1 ) 2 向量在轴上的投影： ju AB = AB ? cos ? ,?是 AB与u轴的夹角。 Pr ? ? ? ? Pr ju (a1 + a 2 ) = Pr ja1 + Pr ja 2 ? ? ? ? a ? b = a ? b cos = a x bx +
21、a y b y + a z bz , 是一个数量, 两向量之间的夹角： = cos a x bx + a y b y + a z bz a x + a y + a z ? bx + b y + bz 2 2 2 2 2 2 i ? ? ? c = a b = ax bx j ay by k ? ? ? ? ? ? a z , c = a ? b sin .例：线速度：v = w r . bz ay by cy az ? ? ? bz = a b ? c cos ,为锐角时， cz ax ? ? ? ? ? 向量的混合积： b c = (a b ) ? c = bx a cx 代表平行六面体的体
22、积。 第 8 页 共 19 页 高等数学复习公式 1、点法式：A( x ? x0 ) + B ( y ? y 0 ) + C ( z ? z 0 ) = 0，其中n = A, B, C, M 0 ( x0 , y0 , z 0 ) 2、一般方程： Ax + By + Cz + D = 0 x y z 3、截距世方程： + + = 1 a b c 平面外任意一点到该平 面的距离：d = 平面的方程： Ax0 + By0 + Cz 0 + D A2 + B 2 + C 2 x = x0 + mt x ? x0 y ? y 0 z ? z 0 ? ? 空间直线的方程： = = = t , 其中s =
23、 m, n, p; 参数方程：y = y0 + nt ? m n p ? z = z + pt 0 ? 二次曲面： x2 y2 z 2 1、椭球面： 2 + 2 + 2 = 1 a b c 2 2 x y 2、抛物面： + = z（p, q同号） , 2 p 2q 3、双曲面： x2 y2 z2 单叶双曲面： 2 + 2 ? 2 = 1 a b c 2 2 x y z2 双叶双曲面： 2 ? 2 + 2 =（马鞍面） 1 a b c 多元函数微分法及应用 全微分：dz = z ?z ?u ?u ?u dx + dydu = dx + dy + dz ?x ?y ?x ?y ?z 全微分的近似计
24、算：?z dz = f x ( x, y )?x + f y ( x, y )?y 多元复合函数的求导法： dz ?z ?u ?z ?v z = f u (t ), v(t ) = ? + ? dt ?u ?t ?v ?t ?z ?z ?u ?z ?v z = f u ( x, y ), v( x, y ) = ? + ? ?x ?u ?x ?v ?x 当u = u ( x, y )，v = v( x, y )时， ?u ?u ?v ?v du = dx + dydv = dx + dy ?x ?y ?x ?y 隐函数的求导公式： F F F dy dy d2y ? ? 隐函数F ( x, y
25、 ) = 0， = ? x ， 2 = (? x ) (? x ) ? dx Fy ?x Fy ?y Fy dx dx Fy F ?z ?z 隐函数F ( x, y, z ) = 0， = ? x ， = ? ?x Fz ?y Fz 第 9 页 共 19 页 高等数学复习公式 F ? F ( x, y , u , v ) = 0 ? ( F , G ) ?u 隐函数方程组： J = = ? ?G ? (u , v) ?G ( x, y, u, v) = 0 ?u ?u 1 ?( F , G) ?v 1 ?( F , G) =? ? = ? ? ?x J ? ( x, v ) ?x J ? (u
26、, x) ?u 1 ?( F , G) ?v 1 ?( F , G ) =? ? = ? ? ?y J ? ( y , v) ?y J ? (u, y ) 微分法在几何上的应用： F ?v = Fu ?G Gu ?v Fv Gv x = ? (t ) x?x y ? y0 z ? z 0 ? 空间曲线? y = (t )在点M ( x0 , y0 , z 0 )处的切线方程： 0 = = ? (t 0 ) (t 0 ) (t 0 ) ? z = (t ) ? 在点M处的法平面方程：? (t 0 )( x ? x0 ) + (t 0 )( y ? y0 ) + (t 0 )( z ? z 0 )
27、 = 0 ? ? Fy Fz Fz Fx Fx ? F ( x, y , z ) = 0 若空间曲线方程为： , 则切向量T = , , ? G y G z Gz G x Gx ?G ( x, y, z ) = 0 ? 曲面F ( x, y, z ) = 0上一点M ( x0 , y0 , z 0 )，则： ? 1、过此点的法向量：n = Fx ( x0 , y0 , z 0 ), Fy ( x0 , y 0 , z 0 ), Fz ( x0 , y0 , z 0 ) Fy Gy 2、过此点的切平面方程：Fx ( x0 , y0 , z 0 )( x ? x0 ) + Fy (x0 , y0
28、, z 0 )( y ? y0 ) + Fz ( x0 , y0 , z 0 )( z ? z 0 ) = 0 x ? x0 y ? y0 z ? z0 3、过此点的法线方程： = = Fx ( x0 , y0 , z 0 ) Fy ( x0 , y0 , z 0 ) Fz ( x0 , y0 , z 0 ) 方向导数与梯度： f ?f ?f 函数z = f ( x, y )在一点p ( x, y )沿任一方向l的方向导数为： = cos ? + sin ? ?l ?x ?y 其中?为x轴到方向l的转角。 ?f ? ?f ? i+ j ?x ?y ? ? ?f ? ? 它与方向导数的关系是：
29、= grad f ( x, y ) ? e ，其中e = cos ? ? i + sin ? ? j ，为l方向上的 ?l 单位向量。 ?f 是gradf ( x, y )在l上的投影。 ?l 函数z = f ( x, y )在一点p ( x, y )的梯度：gradf ( x, y ) = 多元函数的极值及其求法： 第 10 页 共 19 页 高等数学复习公式 设f x ( x0 , y0 ) = f y ( x0 , y 0 ) = 0，令：f xx ( x0 , y0 ) = A, f xy ( x0 , y0 ) = B, f yy ( x0 , y 0 ) = C ? ? A 0时，
30、 ? A 0, ( x0 , y0 )为极小值 ? ? 2 则： AC ? B 0)的引力：F = Fx , Fy , Fz ，其中： Fx = f D ( x, y ) xd (x2 + y 2 + a2 ) 3 2 ，Fy = f D ( x, y ) yd (x2 + y 2 + a2 ) 3 2 ，Fz = ? fa D ( x, y ) xd 3 (x2 + y2 + a2 ) 2 柱面坐标和球面坐标： x = r cos ? 柱面坐标：y = r sin , f ( x, y, z )dxdydz = F (r , , z )rdrddz , ? ? ? ? z=z ? 其中：F
31、(r , , z ) = f (r cos , r sin , z ) ? x = r sin ? cos ? 球面坐标：y = r sin ? sin ，dv = rd? ? r sin ? ? d ? dr = r 2 sin ?drd?d ? ? z = r cos ? ? 2 r (? , ) 2 f ( x, y, z )dxdydz = F (r ,? , )r sin ?drd?d = d d? ? ? 0 0 F (r ,? , )r 0 2 sin ?dr 重心：x = 1 M xdv, y = M ydv, z = M zdv，其中M = x = dv ? ? ? ? ?
32、? 1 1 转动惯量：I x = ( y 2 + z 2 ) dv，I y = ( x 2 + z 2 ) dv，I z = ( x 2 + y 2 ) dv 曲线积分： 第 11 页 共 19 页 高等数学复习公式 第一类曲线积分（对弧长的曲线积分）： ? x = ? (t ) 设f ( x, y )在L上连续，L的参数方程为： , t ), 则： ( ? ? y = (t ) L x=t f ( x, y )ds = f ? (t ), (t ) ? 2 (t ) + 2 (t ) dt ) 特殊情况： ( ? ? y = ? (t ) 第二类曲线积分（对坐标的曲线积分）： ? x = ?
33、 (t ) 设L的参数方程为? ，则： ? y = (t ) P( x, y)dx + Q( x, y )dy = P? (t ), (t )? (t ) + Q? (t ), (t ) (t )dt L 两类曲线积分之间的关系：Pdx + Qdy = ( P cos + Q cos )ds，其中和分别为 L L L上积分起止点处切向量的方向角。 ?Q ?P ?Q ?P 格林公式： ( ?x ? ?y )dxdy = Pdx + Qdy格林公式： ( ?x ? ?y )dxdy = Pdx + Qdy D L D L Q ?P 1 当P = ? y, Q = x，即： ? = 2时，得到D的面
34、积：A = dxdy = xdy ? ydx ?x ?y 2L D 平面上曲线积分与路径无关的条件： 1、G是一个单连通区域； 2、P( x, y )，Q( x, y )在G内具有一阶连续偏导数，且 减去对此奇点的积分，注意方向相反！ 二元函数的全微分求积： ?Q ?P 在 时，Pdx + Qdy才是二元函数u ( x, y )的全微分，其中： ?x ?y ( x, y ) Q ?P 。注意奇点，如(0,0)，应 ?x ?y u ( x, y ) = 曲面积分： ( x0 , y 0 ) P( x, y )dx + Q( x, y)dy，通常设x 0 = y0 = 0。 第 12 页 共 19
35、 页 高等数学复习公式 2 对面积的曲面积分： f ( x, y, z )ds = f x, y, z ( x, y ) 1 + z x ( x, y ) + z 2 ( x, y )dxdy y Dxy 对坐标的曲面积分： P( x, y, z )dydz + Q( x, y, z )dzdx + R( x, y, z )dxdy，其中： R( x, y, z)dxdy = R x, y, z( x, y )dxdy，取曲面的上侧时取正号； Dxy P( x, y, z)dydz = P x( y, z ), y, z dydz，取曲面的前侧时取正号； D yz Q( x, y, z )dz
36、dx = Q x, y( z, x), zdzdx，取曲面的右侧时取正号。 Dzx 两类曲面积分之间的关系： Pdydz + Qdzdx + Rdxdy = ( P cos + Q cos + R cos )ds 高斯公式： 第 13 页 共 19 页 高等数学复习公式 P ?Q ?R ) dv = Pdydz + Qdzdx + Rdxdy = ( P cos + Q cos + R cos ) ds ?z ( ?x + ?y + 高斯公式的物理意义 通量与散度： ? ?P ?Q ?R ? 散度： div = + + ,即：单位体积内所产生 的流体质量，若 div 0, 则为消失 ?x ?
37、y ?z ? ? 通量： A ? n ds = An ds = (P cos + Q cos + R cos ) ds ， ? 因此，高斯公式又可写 成： div Adv = An ds 斯托克斯公式曲线积分与曲面积分的关系： 斯托克斯公式 曲线积分与曲面积分的关系： ( ?y ? ?z )dydz + ( ?z ? ?x )dzdx + ( ?x ? ?y )dxdy = Pdx + Qdy + Rdz R Q P R Q P dydz dzdx dxdy cos ? ? ? ? 上式左端又可写成： ?x ?y ?z = ?x P Q R P cos ? ?y Q cos ? ?z R R
38、?Q ?P ?R ?Q ?P 空间曲线积分与路径无关的条件： = ， = ， = ?y ?z ?z ?x ?x ?y i j k ? ? ? ? 旋度：rotA = ?x ?y ?z P Q R ? ? ? 向量场A沿有向闭曲线的环流量：Pdx + Qdy + Rdz = A ? t ds 常数项级数： 1? qn 1? q (n + 1)n 等差数列：+ 2 + 3 + ? + n = 1 2 1 1 1 调和级数：+ + + ? + 是发散的 1 2 3 n 等比数列：+ q + q 2 + ? + q n ?1 = 1 级数审敛法： 第 14 页 共 19 页 高等数学复习公式 1、正项级数的审敛法 根植审敛法（柯西判别法）： ? 1时，级数发散 n ? = 1时，不确定 ? 2、比值审敛法： ? 1时，级数发散 n U n ? = 1时，不确定 ? 3、定义法： s n = u1 + u 2 + ? + u n ; l
