1、2016届黑龙江省牡丹江市一中高三上学期期中考试数学（理）试题及解析一、选择题1设集合，则（ ）A B C D【答案】C【解析】试题分析：根据不等式的解法，可以求得，所以有，故选C【考点】集合的运算2下列四个函数中，在区间上是增函数的是（ ）A B C D【答案】A【解析】试题分析：在上是减函数，在上没有意义，在上和上都是减函数，值有函数在上是增函数，故选A【考点】函数的单调性3已知点、三点共线，则实数的值是（ ）A B C D【答案】C【解析】试题分析：根据三点共线，可以确定，即，解得，故选C【考点】三点共线的条件【一题多解】该题所考查的是有关多点共线问题，属于较易的题目，在解题的过程中，可
2、以应用有公共点的直线对应的斜率相等从而得到结果，应用两点斜率坐标公式找出等量关系式，从而求得结果，该题还可以通过向量共线，比如应用与共线，利用向量共线坐标所满足的条件，得出等量关系式，从而求得结果4下列命题是假命题的是 （ ）A B C D【答案】B【解析】试题分析：根据指数函数的值域为，可以确定A为真命题，当时，故B是假命题，当时，所以C为真命题，函数的值域为，可以确定D为真命题，故选B【考点】函数的值域，判断命题的真假5设是两条不同的直线，是两个不同的平面，下列命题中正确的是（ ）A若，则 B若，则C若，则 D若，则【答案】D【解析】试题分析：对于相互垂直的两个平面内的任意直线可以成任意角
3、，故A项不正确，对于相互平行的两个平面内的任意直线可以平行，可以异面，故B项不正确，两个平面内有一条直线相互垂直，不能确定两个平面垂直，故C错，根据两条相互平行的直线有一条垂直于一个平面，另一条也垂直于这个平面，一个平面和一条直线垂直，另一个平面和这条直线平行，则这两个平面垂直，故选D【考点】有关空间垂直平行关系的判定和性质6已知，则（ ）A B C D【答案】D【解析】试题分析：根据可得，从而，故选D【考点】诱导公式，三角式子化简求值7各项均为正数的等差数列中，则前项和的最小值为（ ）A B C D【答案】D【解析】试题分析：根据，当且仅当时取等号，故选D【考点】等差数列的性质，基本不等式8
4、分别是的中线，若，且与的夹角为，则（ ）A B C D【答案】B【解析】试题分析：，且与的夹角为， ，得，故选B【考点】向量的加减运算，向量的数量积9已知上的可导函数的图象如图所示，则不等式的解集为（ ）A B C D 【答案】D【解析】试题分析：由图象可得：当时，函数是增函数，所以的解集为，当时，函数是减函数，所以的解集为，所以不等式即与不等式的解集相等由题意可得：不等式等价于不等式，所以原不等式的解集为，故选D【考点】不等式的解集，导数的应用10已知都是定义在上的函数，且（且），若数列的前项和大于，则的最小值为（ ）A B C D【答案】A【解析】试题分析：，即，所以数列为等比数列，所以有
5、，即，所以的最小值为，故选A 【考点】构造函数，数列求和11已知函数的导函数，且，数列是以为公差的等差数列，若，则（ ）A B C D【答案】D【解析】试题分析：根据题意可知，根据可知，从而有，结合题意可知，即，所以有，即，得，所以，所以有，故选D【考点】等差数列，观察能力【思路点睛】该题考查的是有关函数的求导公式，等差数列的性质，属于较难题目，综合性很强，突出考查了等差数列和三角函数性质的综合应用，需考生加强知识系统，另外关于，隐蔽性较强，需要考生具备一定的观察能力，其余应用等差数列的有关性质解决问题，注意函数解析式的求解方法12已知函数，若关于的方程 有个不同的实数根，则由点确定的平面区域
6、的面积为（ ）A B C D【答案】A【解析】试题分析：结合函数的图像，可知方程有8个不同的实数根，等价于二次方程在区间上有两个不同的实根，根据一元二次方程根的分布，可知，根据约束条件画出相应的可行域，可知其确定的平面区域的面积为，故选A【考点】一元二次方程根的分布，线性约束条件对应的可行域，定积分求面积【方法点睛】该题考查的是有关函数的综合问题，属于较难题目，方程有个根，等价于对应的一元二次方程在区间上有两个不同的实根，下一步将问题转化为一元二次方程根的分布，找出等价的不等式组，找出其对应的可行域，确定出图形之后，利用定积分求得对应的图形的面积，注意积分公式的应用13已知函数是定义在上的偶函
7、数，对于任意都有成立，当，且时，都有，给出下列四个命题：；直线是函数的一条对称轴；函数在区间上为增函数；函数在区间上有个零点其中正确命题的序号为 【答案】【解析】试题分析：根据题意，取，有，所以有，从而有，所以函数是以为周期的周期函数，因为轴是函数的对称轴，故直线是函数图像的一条对称轴，故是正确的，又当，且时，都有，可知函数在区间上是增函数，所以函数在上是减函数，故函数在上是减函数，故是错误的，因为，并且还有，所以函数在区间上有个零点，故是不正确的，故答案为【考点】函数的综合性质的应用【易错点睛】该题考查了函数的性质的综合应用，属于较难题目，在解题的过程中对于的推导比较关键，只要得出这个条件，
8、就能得出函数是周期函数，且周期为，从而得出函数图像的对称轴的位置和对称轴的方程，再结合着当，且时，都有的条件，可知函数在区间上是增函数，根据偶函数的性质，可以得出函数在区间上是减函数，从而确定出函数在相应区间上的单调性，最后得出正确结果二、填空题14一个几何体的三视图如图，该几何体的各个顶点都在球的球面上，球的体积为 【答案】【解析】试题分析：根据题中所给的三视图，可以确定该几何体为底面是等腰直角三角形，且顶点在底面上的摄影是底面等腰直角三角形的底脚顶点，即侧棱和底面垂直的三棱锥，观察该几何体，可知其外接球的球心在最长的棱的中点处，即球的半径为，所以所求的球的体积为【考点】根据三视图还原几何体
9、，三棱锥的外接球问题，球的体积15如图，是圆的直径，是圆上的点，则的值为 ；【答案】【解析】试题分析：根据题意，以线段所在直线为轴，以为原点建立平面直角坐标系，设圆的半径为，则有，所以，即，解得，所以有【考点】利用坐标解决向量问题16数列满足，其前项积为，则 【答案】【解析】试题分析：由可得，因为，所以，所以数列是周期为的周期数列，且，又因为，所以【考点】数列的递推公式，周期数列【方法点睛】该题考查的是有关数列的递推公式的问题，属于中等题目，在解题的过程中，将转化为，结合题中所给的首项，根据式子，写出数列的前几项，在写的过程中，可以发现规律，数列为周期数列，最后将转化为，很简单就能求得结果，再
10、者需要注意数列的周期性的推导过程三、解答题17（本小题满分12分）已知函数（1）若，求函数的最大值和最小值，并写出相应的的值；（2）设的内角、的对边分别为，满足，且，求的值【答案】（1）的最小值是，最大值是，对应的的值是；（2）【解析】试题分析：第一问根据三角函数的倍角公式和辅助角公式化简函数解析式，求得，之后根据题中所给的自变量的取值范围，确定出整体角的取值范围，最后确定出函数在哪个点处取得相应的最值，第二问根据求得，结合三角形内角的取值范围，确定出的大小，根据正弦定理，结合余弦定理，求得边的值试题解析：（1），则的最小值是，最大值是，对应的的值是（2），则，因为，由正弦定理得， （1）由余
11、弦定理得，即 （2)由（1）（2）解得【考点】三角函数倍角公式，辅助角公式，三角函数的性质，正余弦定理【思路点睛】该题属于三角问题的综合题，属于中等题目，在解决该类问题时，关键是利用倍角公式和辅助角公式化简函数解析式，之后利用整体角的思维，结合三角函数的性质，来解决某个区间上的函数的最值问题，根据某个自变量对应的函数值，结合三角形内角的取值范围，求得角的大小，之后根据正弦定理以及题中所给的三角形两个内角的正弦值的比值求得边的比值，借助于余弦定理得到边之间的关系，从而求得结果18（本小题满分12分）已知函数在处取得极值。（1）求的值；（2）求证：对任意，都有【答案】（1）；（2）证明见解析【解析
12、】 试题分析：第一问利用导数的应用，结合极值的意义，根据函数在极值点处的导数等于零，建立关于的等量关系式，注意需要对所求的值进行验证，看看是否满足为极值点，第二问将不等式恒成立转化为的最大值满足条件，所以求得函数在相应的区间上的最值，即可得证试题解析：（1）因为，所以，又在处取得极值，所以，解得，经检验符合题意。（2）由（1）可知，所以在上单调递减，在上单调递增，所以的最小值为，又，所以的最大值为，所以【考点】极值的意义，导数的应用，恒成立问题19（本小题满分12分）如图，在多面体中，底面是边长为的的菱形，四边形是矩形，平面平面，和分别是和的中点（）求证：平面平面；（）求二面角的大小【答案】（
13、）证明见解析；（）【解析】试题分析：第一问根据三角形的中位线找到平行线，利用面面平行的判定定理，在其中一个平面内找到和另一个平面平行的两条相交直线，证得结果，第二问先在几何体中找到共点的相互垂直的三条直线，建立相应的空间直角坐标系，求得面的法向量，利用面的法向量所成的角的余弦值判断求得二面角的余弦值，结合二面角的取值范围，求得二面角的大小试题解析：（）证明：在中，因为分别是的中点，所以， 又因为平面，平面，所以平面 设，连接，因为为菱形，所以为中点在中，因为，所以，又因为平面，平面，所以平面 又因为，平面，所以平面平面（）解：取的中点，连接，因为四边形是矩形，分别为的中点，所以，因为平面平面，
14、所以平面， 所以平面，因为为菱形，所以，得两两垂直所以以为原点，所在直线分别为轴，轴，轴，如图建立空间直角坐标系因为底面是边长为的菱形，所以，所以，设平面的法向量为，则 令，得由平面，得平面的法向量为，则所以二面角的大小为【考点】面面平行的判定定理，求二面角的大小20（本小题满分12分）已知数列的前项和为，（) 求证:数列是等比数列；（) 设数列的前项和为，点在直线上，若不等式对于恒成立，求实数的最大值。【答案】（)证明见解析；（) 【解析】试题分析：第一问根据题中所给的条件，类比着写出另一个式子，两式相减得，从而得出，注意这里的条件，所以还需要对时进行验证，即需要确定，从而命题得证，第二问根
15、据题意可以确定出，从而得出数列是以为首项，为公差的等差数列，从而求得，根据数列的项与和的关系，求得，将不等式转化为，变形转化可得恒成立，应用式子的单调性，确定出当时满足条件，从而求得结果试题解析：（)由，得 ，两式相减得，所以 （)，因为，所以，所以是以为首项，公比为的等比数列 （)由（)得，因为点在直线上，所以，故是以为首项，为公差的等差数列，则，所以，当时，因为满足该式，所以所以不等式，即为，令，则，两式相减得，所以，由恒成立，即恒成立，又，故当时，单调递减；当时，；当时，单调递增；当时，；则的最小值为，所以实数的最大值是【考点】等比数列的证明，项与和的关系，恒成立问题【易错点睛】该题考查
16、的是数列的有关问题，属于较难题目，在做题的过程中，利用题中所给的和式，类比着写出另一个式子，必须加上的条件，这是平时容易忽略的地方，还有两式相减得到，从而得出，还要注意这里的条件，所以还需要对时进行验证，即需要确定，在做第二问的过程中，注意结合数列的单调性确定好相应式子的最值，即可求得结果21设，（1)若，求的单调区间；（2)讨论在区间上的极值点个数；（3)是否存在，使得在区间上与轴相切?若存在，求出所有的值；若不存在，说明理由。【答案】（1）的减区间为：，增区间为；（2）当或时：在上无极值点，当时：在上有唯一极值点；（3）存在唯一的使得在区间上与轴相切【解析】试题分析：第一问将代入函数解析式
17、，对函数求导，判断导数在相应区间上的符号从而确定好函数的单调区间，第二问对函数求导，因为恒成立所以讨论的符号，对其再求导，再求导，确定好函数的最小值，结合其符号，判断好函数图像的走向，从而确定好函数的零点的个数，需要分情况讨论，第三问假设存在，求得结果即可试题解析：（1）当时：，（）故2分当时：，当时：，当时：故的减区间为：，增区间为3分（2）令，故,6分显然，又当时：当时：故，故在区间上单调递增注意到：当时，故在上的零点个数由的符号决定当，即：或时：在区间上无零点，即无极值点当，即：时：在区间上有唯一零点，即有唯一极值点综上：当或时：在上无极值点当时：在上有唯一极值点5分（3）假设存在，使得
18、在区间上与轴相切，则必与轴相切于极值点处，由（2）可知：不妨设极值点为，则有：（)同时成立联立得：，即代入（）可得令，则，当 时（2）故在上单调递减又，故在上存在唯一零点故在上存在唯一零点即当时，单调递增当时，单调递减因为，故在上无零点，在上有唯一零点由观察易得，故，即：综上可得：存在唯一的使得在区间上与轴相切 【考点】导数的综合应用22（本小题满分10分）（）证明柯西不等式： ； （)若且，求的最小值。【答案】（）答案见解析，（）【解析】试题分析：第一问利用做差比较法，两边做差，化成一个完全平方式，利用实数的平方都是非负的，从而证得结果，第二问利用换元的思想，结合柯西不等式求得式子的最小值，注意等号成立的条件试题解析：（）证明：左边, 右边,左边右边 ,左边右边, 命题得证 （）令，则,，由柯西不等式得：，当且仅当，即，或时 ， 的最小值是 ，所以 的最小值是【考点】柯西不等式的证明和应用
