1、流体动力学仿真电子科技大学机械电子工程学院第四讲 流体动力学基本方程Lecture 4 Lecture 4 Basic Equations in Fluid DynamicsBasic Equations in Fluid Dynamics流体动力学基本方程(1)4-1 雷诺输运方程4-2 连续性方程4-3 理想流体的运动微分方程4-5 理想流体的伯努力方程4-1 雷诺输运方程控制体 (Control Volume): n由一个固定空间构成的体积n在不同时刻由不同的流体质点占据控制面 (Control Surface): n控制体的封闭表面n流体质点可自由通过一、控制体与物质体4-1 雷诺输运
2、方程物质体(Material Volume):n由系统的流体团构成的体积n随流体运动而运动或变形物质表面(Material Surface):n物质体积的封闭表面n流体质点不能通过一、控制体与物质体4-1 雷诺输运方程二、雷诺输运方程nG：物理量的集度nMV： Material Volume，即物质体nCV： Control Volume，即控制体nCS： Control Surface，即控制面4-1 雷诺输运方程二、雷诺输运方程(1)：物质体中某物理量的随体导数(2)：控制体中该物理量的变化率（增加率）(3)：物理量通过控制表面的净通量（流出率）(1)(2)(3)4-1 雷诺输运方程二、雷
3、诺输运方程雷诺输运方程的物理意义：某瞬间控制体对应的物质体，它所具有的物理量的变化率，等于控制体中所含有同一物理量的变化率与该物理量通过控制面的净流出率之和(1)(2)(3)4-1 雷诺输运方程二、雷诺输运方程物理量的输运(Transport)或传递(Transfer)是流体动力学的主题，流体动力学基本方程讨论的都是运动流体各物理量的输运与守恒n质量输运连续性方程n动量输运欧拉方程、N-S方程n能量输运伯努力方程、传热方程n组分输运传质方程在雷诺输运方程中，如果物理量为质量，即G = ，则雷诺输运方程则表现为流体的连续性方程：4-2 连续性方程(1)：物质体中质量的随体导数(2)：控制体中质量
4、的增加率(3)：通过控制表面的净质量通量(1)(2)(3)一、一元流动的连续性方程4-2 连续性方程(1)：物质体中质量的随体导数由物质体的的定义，它总是包含相同质量的流体，因此(2)：控制体中质量的增加率(3)：通过控制表面的净质量通量一、一元流动的连续性方程4-2 连续性方程代入得一元流体的连续性方程式：即：单位时间内流入、流出控制体的流体质量之差等于该控制体内流体质量（密度）的变化率。或：一、一元流动的连续性方程4-2 连续性方程1、定常流动 2、对于不可压缩流体流动 = Const 则： 即：流过流束各断面的流量都相等，但流速与过流断面/有效截面面积成反比，有效截面面积大的地方平均流速
5、小，有效截面面积小的地方平均流速大。则：4-2 连续性方程 【例3-1】 有一输水管道，如图所示。水自截面1-1流向截面2-2。测得截面1-1的水流平均流速 m/s，已知d1=0.5m， d2=1m，试求截面2-2处的平均流速 为多少？ 【解】 由公式 得 在流场中选取任意形状的控制体，其体积为V，表面积为A，则：V二、连续性方程的一般形式通过dA的单位时间的质量流出率为：通过A的单位时间的净质量流量为：控制体单位时间的质量变化率为：4-2 连续性方程由质量守恒原理，物质体中的流体质点总质量始终保持不变，则代入雷诺输运方程，得4-2 连续性方程二、连续性方程的一般形式高斯定理V为空间固定范围分
6、形式 方程 式是流体的 方程式，是量守恒定律在流体运中的体，是一切流体运必遵循的普遍原。直角坐系下， 方程式可写：4-2 连续性方程由于V是任意取的，可以去掉分符号：二、连续性方程的一般形式4-2 连续性方程也可以从量守恒的角度来得到 方程。如所示任意取的空域，量守恒定律的描述：VV内流体质量增加(减少) = 单位时间内流进(流出)A的质量流量分形式 方程二、连续性方程的一般形式微分形式 方程特例1：定常流动定常流动中，流体任何空间点处的密度不随时间变化，定常流动的连续方程式为：直角坐标系下：4-2 连续性方程二、连续性方程的一般形式特例2：不可压缩流体流动不可压缩流体的密度既不随时间变化，也
7、不随空间变化不可压缩流动的连续方程式为：直角坐标系下：方程式适用于不可压缩的定常流动和非定常流动。4-2 连续性方程二、连续性方程的一般形式4-2 连续性方程例3-2 假设已知平面流动的速度分布为4-3 理想流体的运动微分方程在流场中取出一个正平行六面体 流体微团。dV = dxdydz. 在某瞬时 t： 形心A( x, y, z ) 处的压强为 pA( x, y, z, t )， 形心A( x, y, z ) 处的速度为 vx, vy, vz 4-3 理想流体的运动微分方程作用在微元平行六面体上的力有质量力和表面力。 以 y 方向为例分析受力。一、y 方向的质量力 dFmy = dx dy
8、dz fy二、y方向的表面力左表面：右表面： 压强沿 y 方向的变化率4-3 理想流体的运动微分方程 三、y方向的运方程（力平衡关系式）由牛顿第二定律： Fy = may即：得： 单位质量流体在 y方向上运动规律的数学表达式4-3 理想流体的运动微分方程同理，可推得在 x、z 方向有：理想流体的运动微分方程（欧拉运动微分方程）4-3 理想流体的运动微分方程也可以从雷诺输运方程角度来得到欧拉方程：在雷诺输运方程中，如果物理量为动量mv，则G = v，则雷诺输运方程则可写为：(1)：物质体中动量的随体导数(2)：控制体中动量的增加率(3)：通过控制表面的净动量通量(1)(2)(3)由动量守恒原理，
9、物质体中的流体质点总动量变化率等于合外力，则代入雷诺输运方程，得4-3 理想流体的运动微分方程高斯定理CV为空间固定范围4-3 理想流体的运动微分方程选取控制体为如图所示流体微团，则：4-3 理想流体的运动微分方程选取控制体为如图所示流体微团，则：由dV=dxdydz4-3 理想流体的运动微分方程 式是欧拉运微分方程，是量守恒定律在理想流体运中的表：外力的冲量=量的改量。欧拉平衡微分方程欧拉运微分方程 由于研究的象是理想流体，流体微所受的表面力只有正力而无内摩擦力（切力），外力的表形式与平衡流体具有同形式。4-3 理想流体的运动微分方程在一般情况下，作用在流体上的质量力fx、 fy 和 fz
10、是已知的，对理想不可压缩流体其密度为一常数在这种情况下，方程组中有四个未知数u、v、w和p，而方程仅有三个为此需加上不可压缩流体的连续性方程，这样方程组封闭，从理论上提供了求解的可能性。 方程组的封闭性问题4-4 理想流体的伯努利方程一、理想流体沿流线的伯努利方程 单位质量的流体质点经 dt 时间沿流线产生微小位移 。dx = vxdtdy = vydtdz = vzdt 在三个坐标方向上的分量。 将上述三式分与欧拉运微分方程三个表达式的两相乘，然后分相加可得：一、理想流体沿流线的伯努利方程4-4 理想流体的伯努利方程引入以下条件，对上式中的三类项分别进行化简。 流体为不可压缩的； 流体作定常
11、流动； 流体所受的质量力仅为重力。 1、质量力（由条件3）： fxdx + fydy + fzdz = gdz2、表面力（由条件2） 4-4 理想流体的伯努利方程一、理想流体沿流线的伯努利方程3、惯性力于是化简后可得：积分上式，并考虑条件 1 ， = 常数，得： 4-4 理想流体的伯努利方程一、理想流体沿流线的伯努利方程对于同一流线上的任意两点 1、2 ，上式可写成： 在重力作用下，理想不可压缩流体作定常流动时，沿流线的伯努利方程。单位重力流体的动能（速度水头）除以 g, 则：4-4 理想流体的伯努利方程一、理想流体沿流线的伯努利方程1、几何意义 z ，p/g ，V2/2g量纲都是长度，表示一
12、定的高 度。z：表示流体质点相对基准面的几何高度， 称为位置水头。p/g：表示质点压力大小的液柱高度， 称为压力水头。V2/2g：表示质点速度大小的高度， 称为速度水头。4-4 理想流体的伯努利方程一、理想流体沿流线的伯努利方程伯努利方程式表明：在重力作用下不可压缩的理想流体作定常流动，任一质点的位置水头，压力水头，速度水头之和即总水头为一常数。4-4 理想流体的伯努利方程一、理想流体沿流线的伯努利方程伯努利方程式表示：单位重力流体所具有的位能、压力能动能之和即总机械能为一常数。同一条流线上各点的单位重力流体的总机械能相同，因此伯努利方程式是能量守衡定律在流体动力学中的应用，又称为能量方程。2
13、、物理意义z：表示单位重力流体的位能。p/g：表示单位重力流体的压力能。V2/2g：表示单位重力流体的动能。4-4 理想流体的伯努利方程一、理想流体沿流线的伯努利方程二、总流的伯努利方程式4-4 理想流体的伯努利方程总流 流体通过有限过流断面的流动。式中： 动能修正系数。1、动能项 以断面平均流速将动能表示为：过流断面上速度分布越均匀， 1。二、总流的伯努利方程式4-4 理想流体的伯努利方程2、势能项若将 yoz 坐标平面取在缓变过流断面上，则有： vx = v ， vy = vz = 0于是欧拉运动微分方程可写成： 与平衡微分方程相同二、总流的伯努利方程式4-4 理想流体的伯努利方程2、势能
14、项因此对于同一过流断面上有：则：对于沿总流的任意两个过流断面上的单位重力流体有： 沿总流的伯努利方程 (重力、理想、不可压、定常) 总流伯努利方程式的应用条件n不可压缩流体的定常流动；n质量力只有重力；n所取断面应是缓变流断面，但在其间可不必要求；n没有其它形式的能量的输入输出；上、下游两过水断面属于同一个总流，无总流的分出、汇入。4-4 理想流体的伯努利方程二、总流的伯努利方程式1 1、皮托管、皮托管 应用伯努利方程式，利用皮托管可以测定运动流体的速度。1 2vhH如图所示：1点的压力为2点的压力为在1，2两点之间列伯努利方程式所以实际测量时Cv 称为流速系数，一般 Cv=0.97-0.99
15、。四、伯努利方程式的应用4-4 理想流体的伯努利方程如图所示，对1-1，2-2断面列伯努利方程式：由连续方程：2 2、文丘里流量计文丘里流量计应用伯努利方程式，采用文丘里管可以测量流体的流量四、伯努利方程式的应用4-4 理想流体的伯努利方程代入得所以实际流量为Cq；流量系数2 2、文丘里流量计文丘里流量计四、伯努利方程式的应用4-4 理想流体的伯努利方程4-4 理想流体的伯努利方程 【例3-3】 有一贮水装置如图所示，贮水池足够大，当阀门关闭时，压强计读数为2.8个大气压强。而当将阀门全开，水从管中流出时，压强计读数是0.6个大气压强，试求当水管直径d=12cm时，通过出口的体积流量(不计流动损失)。 4-4 理想流体的伯努利方程【解】 当阀门全开时列1-l、2-2截面的伯努利方程 当阀门关闭时，根据压强计的读数，应用流体静力学基本方程求出值所以管内流量4-4 理想流体的伯努利方程思考题两艘平行行的船只不能靠得太近，否会相互吸引生碰撞。是什么？
