1、方程与不等式知识点归纳及考点例析 苍溪县石马中学 高级教师 侯国兴 方 程 与 不 等 式 是 代 数 学 的 核 心 内 容 ， 是 刻 画 现 实 世 界 的 一 个 有 效 的 数 学 模 型 . 这 是 因 为 方 程 与 不 等 式 都 和 实 际 生 活 紧 密 联 系 ， 更 能 充 分 体 现 数 学 的 科 学 性 、 体 现 数 学 的 应 用 价 值 ， 能 帮 助 我 们 从 数 量 关 系 的 角 度 更 准 确 清 晰 地 认 识 、 描 述 和 把 握 世 界 . 在 中 考 中 ， 方 程 与 不 等 式 知 识 属 于 重 点 考 查 范 畴 ， 基 础 知
2、识 的 考 查 多 以 选 择 、 填 空 题 形 式 出 现 ， 而 作 为 能 力 考 查 的 题 则 多 是 以 解 答 题 的 形 式 出 现 ， 下 面 拟 从 四 个 专 题 对 该 部 分 内 容 予 以诠释， 以飨读者. 一次方程 （ 组 ） 一、 知识回放 1 . 方程 （ 1 ） 定义： 含有未知数的等式叫方程. （ 2 ） 方 程 的 解 ： 能 使 方 程 左 、 右 两 边 的值相等的未知数的值叫方程的解. （ 3 ） 方 程 的 变 形 规 则 ： 方 程 的 两 边 都 加 上 （ 或 都 减 去 ） 同 一 个 数 或 同 一 个 整 式 ， 方 程 的 解 不
3、 变 ； 方 程 的 两 边 都 乘 以 （ 或 都 除 以 ） 同 一 个 不 为 零 的 数 ， 方 程 的 解 不 变 . 2 . 一元一次方程 （ 1 ） 定 义 ： 方 程 中 只 含 有 一 个 未 知 数 ， 未 知 数 的 次 数 是 1 的 整 式 方 程 叫 一 元 一次方程. 其一般形式为： ax +b =0(a 0) . （ 2 ） 解 一 元 一 次 方 程 的 一 般 步 骤 ： 去 分 母 、 去 括 号 、 移 项 、 合 并 同 类 项 、 系 数 化 为 1 . 3 . 二元一次方程和二元一次方程组 （ 1 ） 二 元 一 次 方 程 和 它 的 解 ： 含
4、 有 两 个 未 知 数 ， 并 且 未 知 数 项 的 次 数 是 1 的 整 式 方 程 叫 二 元 一 次 方 程 . 一 般 地 ， 一 个 二 元一次方程有无数组解. （ 2 ） 二 元 一 次 方 程 组 和 它 的 解 ： 把 两 个 含 有 相 同 未 知 数 的 二 元 一 次 方 程 合 在 一 起 就 组 成 一 个 二 元 一 次 方 程 组 . 使 二 程组 x -2y =1 x +3y =6 思 路 点 拨 ： 观 察 方 程 组 两 个 方 程 中 未 知 数x 的 系 数 相 同 ， 利 用 加 减 消 元 法 解 之较简捷. 解： ， 5y =5 ， y =1
5、 ， 把y =1 代入， 得x -2 1 =1 ， 解得x =3 . 原方程组的解是： x =3 y =1. 考点 3 ： 一次方程 （ 组 ） 的应用 例 3 . （ 2015 曲 靖 ） 某 商 场 投 入 13800 元 资 金 购 进 甲 、 乙 两 种 矿 泉 水 共 500 箱 ， 矿泉水的成本价和销售价如表所示： 类别/ 单价 甲 乙 成本价 24 33 销售价 （ 元/ 箱 ） 36 48 （ 1 ） 该 商 场 购 进 甲 、 乙 两 种 矿 泉 水 各 多少箱 ？ （ 2 ） 全 部 售 完 500 箱 矿 泉 水 ， 该 商 场 共获得利润多少元 ？ 思 路 点 拨 ：
6、（ 1 ） 设 商 场 购 进 甲 种 矿 泉 水x 箱 ， 购 进 乙 种 矿 泉 水 y 箱 ， 根 据 投 入 13800 元 资 金 购 进 甲 、 乙 两 种 矿 泉 水 共 500 箱 ， 列 出 方 程 组 解 答 ； （ 2 ） 总 利 润 = 甲 的利润+ 乙的利润 解 ： （ 1 ） 设 商 场 购 进 甲 种 矿 泉 水x 箱 ， 购进乙种矿泉水y 箱， 由题意得 x +y =500 24x +33y =13800 ， 解得： x =300 y =200 答 ： 商 场 购 进 甲 种 矿 泉 水 300 箱 ， 购 进乙种矿泉水 200 箱 （ 2 ） 300 （ 36
7、 - 24 ） + 200 （ 48 - 33 ） = 3600 + 3000 = 6600 （ 元 ） 答： 该商场共获得利润 6600 元. 一元一次不等式 （ 组 ） 同一个负数， 不等号的方向改变. 3 . 方法 （ 1 ） 解 一 元 一 次 不 等 式 的 方 法 ： 去 分 母 ； _ ； _ ； _ ； 系 数 化 为 1 . （ 与 解 一 元 一 次 方 程 方 法 类 似 ） . （ 2 ） 解一元一次不等式组的方法： 方 法 一 . 数 形 结 合 法 ： 先 求 不 等 式 组 中 各 个 不 等 式 的 解 集 ， 再 在 数 轴 上 分 别 表 示 各 个 不 等
8、 式 的 解 集 ， 最 后 找 出 各 解 集的公共部分. 即是不等式组的解集 . 方 法 二 . 歌 诀 法 ： 同 大 取 大 ， 同 小 取 小， 大小小大中间找， 大大小小无解了. 二、 考点例析 考点 1 ： 不等式的基本性质 例 1 . （ 2015 南 充 ） 若 m n ， 下 列 不 等式不一定成立的是 （ ） A. m +2 n +2 B. 2m 2n C. m 2 n 2 D. m 2 n 2 . 思 路 点 拨 ： 在 不 等 式 的 两 边 同 加 上 一 个 数 2 ， 则 不 等 式 方 向 不 变 ， 在 不 等 式 的 两 边 同 乘 以 或 除 以 上 一
9、 个 正 数 2 ， 不 等 式 方 向 仍 然 不 变 ， 所 以 A 、 B 、 C 一 定 成 立 ； 对 于 D 选 项 ， 可 举 反 例 ， 如m =1 ， n = -2 ， m n ， 但m 2 1 ， 并 把 解 集 表 示 在 数 轴 上 . 思 路 点 拨 ： 先 依 照 解 一 元 一 次 不 等 式 的 步 骤 求 出 该 不 等 式 的 解 集 ， 再 把 解 集 表 示 在 数 轴 上 . 应 注 意 标 记 解 集 的 方 向 和 起 始 位 置 应 是 空 心 圆 圈 还 是 实 心 点 . 解： 去分母， 得4x -1 -3x 3 ， 移项 、 合并， 得x
10、4 . 不等式的解集在数轴上表示为： 解得： -1 m 0 故选 A 考点 4 ： 一元一次不等式的应用 例 4 . ( 2015 株 洲 ) 为 了 举 行 班 级 晚 会 ， 孔 明 准 备 去 商 店 购 买 20 个 乒 乓 球 做 道 具 ， 并 买 一 些 乒 乓 球 拍 做 奖 品 ， 已 知 乒 乓 球 每 个 1 . 5 元 ， 球 拍 每 个 22 元 ， 如 果 购 买 金 额 不 超 过 200 元 ， 且 买 的 球 拍 尽 可 能 多， 那么孔明应该买多少个球拍？ 思 路 点 拨 ： 根 据 “ 买 乒 乓 球 的 金 额 买 球 拍 的 金 额 200 ” 列 一
11、 元 一 次 不 等 式 解答. 解： 设购买球拍x 个 ， 依题意得 ： 1.5 20 +22x 200 解得： x 7 8 11 由于x 取整数， 故x 的最大值为 7 . 答： 孔明应该买 7 个球拍. 分式方程 一、 知识回放 1 . 定 义 ： 分 母 含 有 未 知 数 的 方 程 叫 分 式方程. 2 . 增 根 ： 如 果 解 分 式 方 程 求 得 的 结 果 ， 使 分 式 的 分 母 为 0 ， 那 么 它 称 为 该 分 式方程的增根. 3 . 解 法 ： （ 1 ） 去 分 母 （ 化 为 整 式 方 程 ） ； （ 2 ） 解整式方程； （ 3 ） 检验. 二、 考
12、点例析 考点 1 ： 解分式方程 例 1 . （ 2015 广 安 ） 解 方 程 ： 1 -x x -2 = x 2x -4 -1 思 路 点 拨 ： 观 察 可 得 方 程 最 简 公 分 母 为 ： 2x -4 ， 将 方 程 去 分 母 转 化 为 整 式 方程即可求解. 解： 化为整式方程得 ： 2 -2x =x -2x +4 ， 解得 ：x = -2 ， 经检验 x = -2 是分式方程的解 考点 2 分式方程的增根 2015 年 10 月 31 日 投稿邮箱： sczsksbsxbj 163 .com 中考数学 3 版 编辑 志 达苏州市区居民生活用自来水阶梯价格改革听证方案为了
13、建立有利于促进节约用水、合理配置水资源和提高用水效率为核心的水价形成机制，更好地运用经济手段，发挥价格杠杆作用，努力构建资源节约型和环境友好型城市，根据国家发改委、住建部关于加快建立完善城镇居民用水阶梯价格制度的指导意见、省政府关于江苏省“十二五” 水价改革意见、省物价局、住建厅关于建立和完善居民用水阶梯价格制度有关事项的通知和苏州市委苏州市深化经济体制改革三年行动计划（20142016 年）要求，我们在深入调研、广泛征求意见、开展供水成本监审的基础上，结合实际，拟制了苏州市区居民生活用自来水阶梯价格改革听证方案。一、市区供水情况与管理现状供水格局及价格管理权限。市区有 4 个独立的供水企业，
14、分别是：苏州市自来水有限公司，承担姑苏区和相城区供水任务；苏州工业园区清源华衍水务有限公司，承担苏州工业园区供水任务；苏州高新区自来水有限公司，承担高新区供水任务；苏州吴中供水有限公司，承担吴中区供水任务。按照价格管理权限，市本级定价范围为苏州市自来水有限公司供水价格，吴中区，工业园区、高新区的供水价格由区级政府价格主管部门制定。现行居民生活用自来水价格政策。现行市区居民生活用水价格为每立方米 3.2 元，其中：基本水价 1.61 元、水资源费 0.2 元、污水处理费 1.35 元、城市附加费 0.04 元。现行居民生活用水阶梯式价格制度计量水价标准为：户籍人口 4 人（含 4 人）以下的居民
15、用户，以户为计价单位，对户籍人口 5 人（含 5 人）以上的居民用户，第一阶梯每人每月增加5 立方米水量，并相应增加二、三级水量。一、二、三级阶梯水价按终端水价设置为 1：1.5：2，以年度水量为计量周期。具体居民生活用水阶梯价格见表一。表一： 现行市区居民生活用水阶梯价格构成表计价单位：立方米、元/立方米户均年用水量（户籍人口 4 人以下） 基本水价 城市附加费 水资源费 污水处理费 总水价第一阶梯 0-240（含） 1.61 0.04 0.20 1.35 3.20第二阶梯 240-420（含） 3.21 0.04 0.20 1.35 4.80第三阶梯 420 以上 4.81 0.04 0.
16、20 1.35 6.40按照市区四家供水企业提供的相关数据进行测算，目前我市市区居民生活用水量、用户数、每户每年（每月）平均用水量、居民生活用水阶梯用量覆盖面等相关数据和情况见表二和表三。表二： 市区居民生活用水（一户一表）情况调查表年份 总户数（户） 年总用水量 （m 3） 每户每年平均用水 量（m 3） 每户每月平均用水 量（m 3）2012 年 770987 85352824 110.71 9.232013 年 823921 94508702 114.71 9.56表三： 2014 年市区居民生活用水阶梯用量覆盖面测算表户年用水量用户数量和比例户年用水量216m3 及以下（每月 18m3及以下）户年用水量216-240m3（每月18-20m3）户年用水量240-300m3（每月20-25m3）户年用水量300-420m3（每月25-35 m3）户年用水量420m3 以上（每月 35 m3以上）用户数量（户） 781109 27189 35705 24351 1200
