【易错题集】-数学思辨数学.pdf

1、高中数学易错点汇总 文博数学文博数学 思辨数学思辨数学 第 1 页，共 102 页 写在前面的话 易错点汇总是博哥教学 8 年多来的一个全面沉淀，涵盖了高中数学所有章节的所有易错点，为了更好的理解记忆，每道易错点都有至少一道题目。 易错点特征之一是自己做完一对答案就能立即反应过来，哎呦喂，自己怎么忽略了空集，忘记了斜率不存在等，如果花时间你提前把博哥整理的易错点记住了，那做题的时候大概率就能想到，能有效避免事后诸葛亮，要是关键考试就收益更大了。 对于艺术生或者数学学习吃力的同学，先记忆，很多时候学起来吃力，跟不上就是脑袋里数学知识储备不够，博哥把自己 8年多教学经验沉淀下来，你记住了，就有了博

2、哥在易错点方面一半的功力，非常划算的投入呢，试试哈！ 对于擅长数学，学习起来相对轻松的同学，把易错点作为大纲，然后刷题，完善易错点下的题目，最终形成属于自己的易错题集，每个月拿出来瞅瞅，曾经的坑是否夷为平地，到了考试前复习，看到自己整理的易错题，博哥都能想象，你会开心的睡不着觉的，嘴里不自主的说“太好用了吧！” 第 2 页，共 102 页 集合易错点 易错点：对空集概念的理解错误 1.下列关于集合与空集之间的关系中，说法正确的是( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】是任何非空集合的真子集 2. 记，则下列四个命题中正确的个数为( ) A. B. C. D. 【答案】D 易错点：对

3、描述法的理解错误 3.已知集合，集合，则( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】集合，集合， 则，故选：C 4.下列各组集合中，表示同一集合的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 第 3 页，共 102 页 【答案】D 【解析】D 选项中 5.若用列举法表示集合，则下列表示正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】由，解得，所以故选 6.已知集合，则 _ 【答案】 【解析】解得， 又因为， 7.设，则、两个集合的关系是( ) A. B. C. D. 以上都不对 【答案】D 【解析】由于，则集合为数对组成的集合， 而集合的元素为实数，故、两个集合无任何关

4、系 故答案为：D 易错点：混淆了元素与集合、集合与集合间的关系 8. 下列四个关系中错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AB 第 4 页，共 102 页 【解析】选项、选项：表示集合与集合的关系，表示元素与集合的关系，故错误；选项：任意一个集合是它本身的子集，故正确；选项：空集是任何集合的子集，故正确故选 易错点：忘记考虑二次项系数为 0 的情景 9.已知集合至多有一个元素，则的取值范围是 _ 【答案】或 【解析】时，即，符合要求； 时，至多有一个解， 综上，的取值范围为或， 故答案为：或 易错点：忘记考虑空集是任何集合的子集 10.若集合，且，则的值为( ) A. B. C. 或

5、 D. 或或 【答案】D 【解析】集合，且， ， 当时，成立； 当时， 由，得或， 解得或 的值为或或 故选：D 第 5 页，共 102 页 11.设集合，若，则实数的取值范围是 _ 【答案】 【解析】当时，解得； 当时，如图所示，得， 解得 综上所述，实数的取值范围是 12.已知集合，若，求实数的取值范围 【解析】， 因为，所以或 当时， 即，是方程的两根，代入得，此时满足条件，即符合题意 当时，分两种情况： 若，则，解得 若，则方程有两个相等的实数根，所以，解得 此时，符合题意 综上所述，所求实数的取值范围是 第 6 页，共 102 页 易错点：忘记验证集合的互异性 13.已知，则实数的值

6、为( ) A. B. C. 或 D. 无解 【答案】B 【解析】因为，所以或当，即时，满足题意；当时，不满足集合元素的互异性，故舍去综上可得实数的值为，故选 B 14.设集合， ，若，则实数的值为( ) A. B. 或 C. D. 【答案】C 【解析】依题意得：， 解得(舍去)或 故选：C. 第 7 页，共 102 页 常用逻辑用语易错点 易错点：命题的否定时否定了条件 1.命题“对任意的，”的否定是（ ） A. 不存在， B. 存在， C. 存在， D. 对任意的， 【答案】C 【解析】由全称命题的否定可知，任意变存在，结论否定，易知 C 正确 2.命题：“，”的否定为（ ） A. ， B.

7、 ， C. ， D. ， 【答案】B 【解析】命题：“，”为特称命题，其否定为全称命题， 为，. 故选 B. 易错点：充分必要条件的顺序弄反 3.设集合，集合，那么“”是“”的 _ 条件(用“充分不必要，必要不充分，充要”填空) 【答案】必要不充分 【解析】解：由不能推出，如时，故充分性不成立根据可得，由成立一定能推出，故必要性成立 故“”是“”的必要不充分条件， 故答案为必要不充分 第 8 页，共 102 页 4.设，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】因为或，所以“”是“”的充分不必要条件，故选

8、A 5.的一个必要不充分条件是( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】解：的充要条件为 对于 A，是的充要条件； 对于 B，是的充分不必要条件； 对于 C，是的既不充分也不必要条件； 对于 D，是的一个必要不充分条件 故选：D 易错点：充分必要条件求参时漏了临界值 6.若“”是“”的充分不必要条件，则实数的取值范围是( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】解：“”是“”的充分不必要条件， 当“”成立时，必有“”成立； 反之，当“”成立时，“”不一定成立 由此可得故选：C 第 9 页，共 102 页 7.设命题：，命题：；若是的充分条件，则实数的取值范围是（ ） A. B

9、. C. D. 【答案】D 【解析】命题“”是命题“”的充分不必要条件， ，命题：，命题：； 若是的充分条件，则，即故选 第 10 页，共 102 页 不等式易错点 易错点：不等式的性质应用不当 1.若，则一定有( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】， 2.若，为实数，下列结论正确的是( ) A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】D 【解析】对于 A：若，均小于，则不正确， 对于 B：若，则，则，即，故 B 不正确， 对于 C：若，则，即，故 C 不正确， 对于 D：若，则，正确， 故选：D 3.若实数，满足，则的取值范围是 _ 【答案】 【解析】由题意

10、得，所以 第 11 页，共 102 页 易错点：忽视基本不等式的应用条件 4.下列等式恒成立的是( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】A显然当，时，不等式不成立，故 A 错误； B，故 B 正确； C显然当，时，不等式不成立，故 C 错误； D显然当，时，不等式不成立，故 D 错误 故选：B 5.若、，且，则下列不等式中能恒成立的是( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】A、错误，令， B、错误，时，不成立，C、错误，时，不成立， D、正确 6.下列函数中，最小值为的是( ) A. B. C. D. 【答案】C 第 12 页，共 102 页 【解析】，当且仅当，即时，

11、等号成立， 函数的最小值为A、D 选项，“一正”不满足；B 选项，“三相等不满足” 7.已知，则的最大值是 _ 【答案】-3 【解析】， , 当且仅当，即时取等号，的最大值为 故答案为： 易错点：分式型不等式直接左右同乘分母 8.不等式的解集是 _ 【答案】 【解析】不等式，移项得：， 即，可化为, 解得：， 则原不等式的解集是 故答案为： 第 13 页，共 102 页 易错点：分式型不等式未考虑分母不能为 0 9.不等式的解集是 _ 【答案】 【解析】等价于且， 不等式的解集是：故答案为： 10.不等式的解集为 _ 【答案】 【解析】由可得， 用穿根法求得它的解集为，故答案为： 易错点：一元

12、二次不等式未考虑二次项系数的正负 11.已知不等式的解集为，则不等式的解集为 _ 【答案】 【解析】由于不等式的解集为：，可知， 且，是方程的两根， ， 不等式可化为：， 第 14 页，共 102 页 由于，故，即， 解得所以所求不等式的解集为： 易错点：一元二次不等式未考虑二次项系数为 0 的情况 12.对任意的实数，不等式恒成立，则实数的取值范围是( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】当时，不等式成立； 设，当时函数为二次函数，要恒小于，抛物线开口向下且与轴没有交点，即且， 得到：，解得综上得到 故选：B 13.已知的解集是，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D.

13、【答案】D 【解析】设函数， 由题设条件关于的不等式的解集为， 可得对任意的，都有， 又当时，函数是关于的抛物线，故抛物线必开口向下，且与轴无交点， 第 15 页，共 102 页 故满足，解得 当时，满足题意； 当时，不等式为，解得，不满足题意 综上，实数的取值范围为故选： 第 16 页，共 102 页 函数易错点 易错点：对同一函数的概念理解有误 1.下列各组函数中表示同一函数的是（ ） A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 【答案】D 【解析】A 选项：定义域为，定义域为，故错误B 选项：定义域为，而定义域为，故错误C 选项：定义域为，定义域为，故错误D 选项：和定义域相同，化简后为同一

14、函数，故正确故选 D. 2.下列各组函数中是同一函数的是( ) A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 【答案】A 【解析】对于 A，函数与的定义域相同，对应关系也相同，是同一函数；对于 B，函数与 第 17 页，共 102 页 的定义域不同，不是同一函数；对于 C，函数与的对应关系不同，不是同一函数；对于 D，函数与的定义域不同，对应关系也不同，不是同一函数故选：A 易错点：求函数的定义域时条件考虑不充分 3.函数 的定义域为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】依题意得： ，故选 4. 函数的定义域是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】依题意得，解得， 所以函

15、数的定义域为，故选 第 18 页，共 102 页 易错点：定义域为 R 与值域为 R 理解错位 5.函数的定义域为，则实数的取值范围是 _ 【答案】 【解析】函数的定义域为，恒成立 若，则不等式等价为，即，不满足条件； 若，要使不等式恒成立，则，即，解得 综上，故答案为： 6.若函数的定义域为，求实数的取值范围； 【解析】由对恒成立，得且故的取值范围为 7.函数的值域为.则实数的取值范围是( ) . 【答案】 【解析】令,则的值域包含 若,则,满足题意 若,则存在最大值,其值域不可能包含 若,则只需使与轴有交点,即, 综上所述, 第 19 页，共 102 页 易错点：换元法求函数解析式时未考虑

16、定义域 8.已知函数，则函数的解析式为( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】令，则， ， 故选：C 9.已知，则函数 _ 【答案】， 【解析】， ，又， ， 易错点：对单调区间的概念理解不到位 10.判断函数的单调性 【解析】令，由简单函数的单调性可知 在上单调递增，在上单调递减， 由单调性的四则运算可知在上单调递增 所以在上单调递增 又在上单调递增，在上单调递减， 第 20 页，共 102 页 由单调性的四则运算可知在上单调递增 所以在上单调递增 综上，在和上单调递增 11.函数 的单调递增区间是 _ 【答案】， 【解析】，画出图象 易知单调递减区间为，易知单调递增区间为， 易

17、错点：判断函数的奇偶性时未考虑定义域 12.判断下列函数的奇偶性(1) 【答案】非奇非偶函数 (2) 【答案】非奇非偶函数 【解析】由定义域不关于原点对称，可知为非奇非偶函数 第 21 页，共 102 页 13.判断函数的奇偶性 【解析】由题意知，所以函数的定义域为，关于原点对称，当时，所以函数既是奇函数又是偶函数 易错点：求奇函数的解析式时未考虑 x=0 的情况 14.已知定义在上的函数是奇函数，当时，求的解析式 【答案】 【解析】，注意如果奇函数在处有定义，一定有 易错点：分段函数未考虑间断点处的单调性 15.已知函数是上的增函数，则的取值范围是 _ 【答案】 【解析】要使函数在上为增函数

18、，需有在上递增，在上递增， 且， 第 22 页，共 102 页 所以有，解得， 故的取值范围为故答案为 易错点：根式型函数未考虑定义域 16.函数的单调增区间是( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】由，得 设，它的单调增区间是， 函数的单调增区间是故选：C 易错点：抽象函数未考虑定义域 17.已知函数是定义在上的减函数，且，则实数的取值范围是( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】是定义在上的减函数，且， ，即，即， 即实数的取值范围是，故选：B 第 23 页，共 102 页 易错点：二次函数未考虑二次项系数为 0 的情况 18.若函数在区间上是单调递增的，则实数的取

19、值范围是( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】当时，满足题意 当时，函数在上是单调递增的， ，解得综上，实数的取值范围是 易错点：混淆 1 个函数图象自对称和 2 个函数图象互对称 19.下列函数中，其图象与函数的图象关于直线对称的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】方法一：过点，关于直线的对称点还是经验证，点在函数的图象上，故选 方法二：设所求图象上一点的坐标为， 则点关于直线的对称点在函数的图象上， 则，故所求的函数为故选 20.已知函数，则（ ） A. 在上单调递增 B. 在上单调递减 C. 的图象关于直线对称 D. 的图象关于点对称 【答案】C 第 24

20、 页，共 102 页 【解析】方法一：由题易知，的定义域为， ， 由复合函数的单调性知，函数在上单调递增，在上单调递减，故错误；又 ，故错误 故选 方法二：由题易知，的定义域为， ， 由，得；由，得， 所以函数在上单调递增，在上单调递减，故错误； 又， ， 所以，故错误 故选 方法三：函数，其中，则函数是由，复合而成的，由复合函数的单调性可知，时，单调递增，时，单调递减，故错误； 第 25 页，共 102 页 的图象关于直线对称，即，则，即的图象关于直线对称，故正确，错误故选 易错点：未理解零点存在定理的应用条件 21.若函数在区间上的图象是一条连续不断的曲线，且函数在内仅有一个零点，则的符号

21、是 _ (填“大于”“小于”“等于”或“不确定”) 【答案】不确定 【解析】根据题目条件知，当时，函数在区间内至少有一个零点 而当函数在区间内有一个不变号零点(如函数对应的一元二次方程有二重根)时， 因此的符号可能大于，也可能小于故填不确定 易错点：指对幂函数的概念掌握不清 22. 下列各函数中,是指数函数的是( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】根据指数函数的定义：形如且的函数叫做指数函数， 结合选项从而可判断选项 D 正确 故选：D 23.若函数是指数函数，则 _ 【答案】1 【解析】因为且，故 第 26 页，共 102 页 24.下列函数是对数函数的是( ) A. B. 且

22、 C. D. 且 【答案】C 【解析】根据对数函数的定义可得：只有为对数函数 故选：C 25.函数是幂函数，则 _ 【答案】或 【解析】函数为幂函数， ，则， 即，解得或 当时， 当时，的值为或 26.已知幂函数的图象关于轴对称，且在上是减函数，则的值为( ) A. B. C. D. 或 【答案】B 【解析】幂函数的图象关于轴对称， 且在上是减函数， (是偶数)，解得，故选 B 第 27 页，共 102 页 易错点：指对函数对参数的范围考虑不全 27.若函数是指数函数，则的取值范围是 _ 【答案】 【解析】且，即 28.对数式7log13aa中实数的取值范围是( ) A. B. C. D. 【

23、答案】C 【解析】要使对数式7log13aa有意义， 则，解得，故选：C 易错点：对数型函数未考虑定义域 29.求函数的单调区间 【解析】由知或 令，则 因为是关于的单调增函数，且当时，是关于的单调增函数， 所以是的单调增区间 同理可得是的单调减区间 30.已知函数在上为增函数，则的取值范围是( ) A. B. C. D. 【答案】D 第 28 页，共 102 页 【解析】设，由题意可得的对称轴为直线 当时，由复合函数的单调性可知，在上单调递增，且在上恒成立， 则， 当时，由复合函数的单调性可知，在上单调递减，且在上恒成立， 则，此时不存在综上可得，故选：D 31.已知函数(为常数)在区间上是

24、减函数，则实数的取值范围是 _ 【答案】 【解析】设，则函数在定义域上单调递减，要使在区间上是减函数，则在区间上为增函数因为，所以要使函数在区间上为增函数，则，即要使函数有意义，则在区间上成立，所以只需当时，即可，解得综上，实数的取值范围是 第 29 页，共 102 页 32.若，求的值 【解析】， ， ，解得或， ， 三角函数易错点 易错点：求最值问题忽略正、余弦函数值域 1.对于函数，下列结论中正确的是( ) A. 有最大值无最小值 B. 有最小值无最大值 C. 有最大值且有最小值 D. 既无最大值也无最小值 【答案】B 【解析】函数，令在区间上单调递减， 即只有最小值而无最大值 2.若，

25、则函数的 ( ) A. 最小值为，无最大值 B. 最小值为，最大值为 C. 最小值为，无最大值 D. 最小值为，最大值为 【答案】B 第 30 页，共 102 页 【解析】函数， 又，当时，函数取得最大值为， 当时，函数取得最小值为 3.求函数的最大值及此时的值 【解析】令， 则， 而函数在上是增函数，时，取最大值 即， 4.已知，则的最大值为 _ 【答案】 【解析】， ， ， 时，的最大值为， 故答案为 第 31 页，共 102 页 易错点：三角函数单调性判断错误 5.函数，则它的单调递增区间是 _ 【答案】 【解析】， 单调递增区间， ，又， 6.函数的单调递减区间是 _ 【答案】， 【解

26、析】函数， 令， 解得， 的单调递减区间为， 故答案为：， 7.函数的单调递减区间是 _ 【答案】， 第 32 页，共 102 页 【解析】函数 令， 解得 ， 即函数的单调递减区间是， 易错点：求三角函数解析式带值时应该带极值点，带零点易出错 8.若函数的局部图象如图所示，则函数的解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】， ，又由图象可得， ， ， 第 33 页，共 102 页 又，当时，可得 故选 9.已知函数，且此函数的图象如图所示，则点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】由图象可得函数的周期， ，得，将代入可得，（注意此点位于函数减区间上）

27、，由可得， 点的坐标是故选 第 34 页，共 102 页 易错点：三角函数图象变换的方向把握不准 10.为得到函数的图像，只需将函数的图像（ ） A. 向左平移个单位长度 B. 向右平移个单位长度 C. 向左平移个单位长度 D. 向右平移个单位长度 【答案】C 【解析】，要得到， 只需将向左平移个单位长度故选 11.为得到函数的图象，只需将函数的图象（ ） A. 向左平移个长度单位 B. 向右平移个长度单位 C. 向左平移个长度单位 D. 向右平移个长度单位 【答案】A 【解析】方法一：将函数的图象向左平移个单位长度，可得的图象， 故选方法二：由得到， 只需原函数的，所以只需将图象向左平移个单

28、位长度 故选 第 35 页，共 102 页 12.已知函数，要得到的图象，只需将函数的图象( ) A. 向右平移个单位 B. 向右平移个单位 C. 向左平移个单位 D. 向左平移个单位 【答案】D 【解析】将函数的图象向左平移个单位， 可得的图象，故选：D 13.曲线，则下面结论正确的是（ ） A. 把上各点的横坐标伸长到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线 B. 把上各点的横坐标伸长到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线 C. 把上各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线 D. 把上各点的横坐标缩

29、短到原来的，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线 【答案】D 第 36 页，共 102 页 【解析】，将各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，变为 ，再向左平移个单位长度，变为故选 易错点：不会利用所得条件缩角 14.若与是锐角，则 _ 【答案】 【解析】为锐角， ， 当时，不符合题意，所以舍去 当时， 15.已知，且，则( ) A. B. 、 C. D. 、 【答案】C 【解析】， ， 第 37 页，共 102 页 根据，可得， 可得，可得，故选 C 16.已知，均为锐角，且，则 _ 【答案】 【解析】， ， ， 又， ， ， 第 38 页，共 102 页 平面向量易错点

30、易错点：向量的相关概念（共线向量、相反向量、单位向量、零向量）模糊 1.有关向量概念，下列命题中正确的是（ ） A. 若两个向量相等，则它们的起点和终点分别重合 B. 模相等的两个平行向量是相等向量 C. 若和都是单位向量，则 D. 两个相等向量的模相等 【答案】D 【解析】只要两个向量的方向相同，模长相等，这两个向量就是相等向量，故不正确； 模长相等的两个平行向量是相等向量或相反向量，故不正确； 两个单位向量模长相等，但不是相等向量，故不正确； 向量相等则模长相等，故正确 故选 2.下列命题： 平行向量一定相等； 不相等的向量一定不平行； 平行于同一个向量的两个向量是共线向量；相等向量一定共

31、线 其中不正确命题的序号是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】对于，平行向量不一定相等，错误；对于，不相等的向量也可能平行， 如非零向量与不相等，但平行，错误； 对于，平行于同一个向量的两个向量不一定是共线向量， 如零向量与任何向量平行，但任何两个向量不一定是共线向量，错误； 第 39 页，共 102 页 对于，相等向量一定是共线向量，正确 综上，其中不正确的命题是故选： 3.下列说法正确的是( ) A. 共线向量一定在同一条直线上 B. 向量与不共线，则与都不是零向量 C. 向量，则 D. 两个共线的单位向量相等 【答案】B 【解析】A共线向量的基线平行或重合，不一定在同一条

32、直线上，故此项错误； B若与至少有一个是零向量，则与共线，故此项正确； C向量平行，基线可能重合，故此项错误； D共线的单位向量可能相等，也可能相反，故此项错误故选 B 4.下列说法正确的是( ) A. 如果两个向量的长度相等，那么这两个向量一定相等 B. 如果，那么 C. 相等向量一定是平行向量，平行向量不一定是相等向量 D. 在平行四边形中， 【答案】C 【解析】两个向量相等，不但长度相等，方向还要相同，故 A 错误；向量无法比较大小，只有向量的模可以比较大小，故 B 错误；在平行四边形中，故 D 错误，故选 C 第 40 页，共 102 页 易错点：向量的运算法则与实数的运算法则混淆 5

33、.关于向量，下列结论错误的是( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】A，故 A 错误，B，故 B 正确， C，故 C 正确，D，故 D正确，故选：A 6.对于向量、和实数，下列命题中真命题是( ) A. 若，则或 B. 若，则或 C. 若，则或 D. 若，则 【答案】B 【解析】对于 A，当时，显然、中不存在亦可，故 A 错误； 对于 C，“”是“或”的必要不充分条件，故 C 错误； 对于 D，当且时，满足， 但不一定成立，故 D 错误B 正确 第 41 页，共 102 页 7.已知向量 、，若且与不平行，则以下结论不正确的是( ) A. B. C. D. 【答案】B 易错点：向量

34、共线的坐标运算未严格按公式计算 8.已知向量，则“”是“”成立的( ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】由，可得：，解得， “”是“”成立的充分不必要条件故选：A 易错点：根据夹角求参数时忽略了向量共线的情形 9.已知向量，若向量，之间的夹角为钝角，则实数的取值范围是 _ 【答案】 【解析】， 由，之间的夹角为钝角，得，且，不共线 即有，解得：且 实数的取值范围是 故答案为： 第 42 页，共 102 页 10.已知向量，且与的夹角为锐角，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】若，则，解

35、得， 与的夹角为锐角， 由，则，解得， 又，实数的取值范围为，故选： 解三角形易错点 易错点：不能准确判断三角形解的个数 1.已知中，角、的对边分别是、，根据下列条件解三角形： ， ，；，； ，；， 其中有唯一解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 ，又 有唯一解； ，有唯一解； 第 43 页，共 102 页 ，有两解； ，有唯一解 故选 2.在中，内角，所对的边分别为，则的值为( ) A. B. C. 或 D. 或 【答案】B 【解析】根据题意，在中，则有， 又由，则，则， 则有，又由余弦定理可得：， 解得或；， 时，舍去； 时，满足题意，故选：B 3.的内角，的对边

36、分别为，已知，则等于( ) A. B. C. 或 D. 或 【答案】A 第 44 页，共 102 页 【解析】因为， 所以， 又，所以， 因为， 所以， 解得， 因为，所以， 所以故选： 4.在中，根据下列条件解三角形，其中有两个解的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【解析】由三角形全等的相关知识易知、中三角形是唯一的； 中，因为，所以由正弦定理，又，所以，所以角只有一解，不合题意； 中，因为，所以由正弦定理，因为，所以，所以有两解，符合题意故选 5.在中，角，所对的边为，若，且边，则边( ) A. 或 B. C. 或 D. 第 45 页，共 102 页 【答案】A

37、 【解析】因为，边， 所以由余弦定理得，即， 解得边或故选：A 易错点：没有深刻理解三角公式，出现漏解情况 6.在中，“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】在中，由知或， 即或，则推不出， 因此充分性不成立由知，因此必要性成立故选 7.对于，下列说法中正确的是（ ） A. 若，则为等腰三角形 B. 若，则为直角三角形 C. 若，则为钝角三角形 D. 若，则的面积为或 【答案】CD 【解析】A 选项：若，则或，即或，为等腰三角形或直角三角形， 第 46 页，共 102 页 故项错误；B 选项：若， 又，或，

38、 解得或，为钝角三角形或直角三角形， 故项错误；C 选项：在中，由正弦定理及得，由余弦定理可得， ，为钝角三角形，故项正确；D 选项：令，由正弦定理得， ，或，或， 当时， 当时， 的面积为或，故项正确故选 CD. 8.在中，内角、的对边分别为、，已知，则的形状是（ ） A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等腰三角形或直角三角形 D. 等腰直角三角形 【答案】C 【解析】由，可得， 由正弦定理，可得， 即，或， 第 47 页，共 102 页 当时，的形状是等腰三角形， 当，即时，的形状是直角三角形故选： 9.在中，内角、的对边分别为、，若，则为( ) A. 等腰三角形 B. 直角三角形

39、C. 正三角形 D. 等腰三角形或直角三角形 【答案】D 【解析】方法一：， ， 由正弦定理得：， ， ， ，或， 即或，或， 为等腰三角形或直角三角形 方法二：， ， 由正弦定理及余弦定理得：， ， ， 或， 第 48 页，共 102 页 为等腰三角形或直角三角形方法三：找等腰三角形、直角三角形特殊三角形代入验证 易错点：求取值范围类问题不能挖掘题干中的隐藏条件，从而缩小范围 10.已知的三条边的边长分别为米、米、米，将三边都截掉米后，剩余的部分组成一个钝角三角形，则的取值范围是( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】根据题意得：截取后三角形的三边长为米，米，米，且长为米所对的角

40、为，为钝角， 整理得：，解得：， ，且， ，则的取值范围为故选：C 11.若是钝角三角形的三边,则实数的取值范围是( ) A. B. C. 或 D. 【答案】B 【解析】 是钝角三角形的三边, , 且此时, , 是最长的边,设其对应的角为, 要使三角形为钝角三角形, 则, 即, , 即, 当时,不等式恒成立. 即三角形恒为钝角三角形, 此时只需满足两边之和大于第三边即可, 即成立, 解得. 故选:B. 第 49 页，共 102 页 12.在锐角中，、分别为、所对的边，且 (1)确定的大小 【答案】 【解析】由，由正弦定理，得， 又，则， 或，为锐角三角形， 舍去 （2）若，求周长的取值范围 【

41、答案】 【解析】， 由正弦定理得：， 即， 又，即， 第 50 页，共 102 页 ， 是锐角三角形， ， ， 则周长的取值范围是 立体几何易错点 易错点：对空间几何体概念理解不透 1.下列各组几何体中全是多面体的一组是( ) A. 三棱柱 四棱台 球 圆锥 B. 三棱柱 四棱台 正方体 圆台 C. 三棱柱 四棱台 正方体 六棱锥 D. 圆锥 圆台 球 半球 【答案】C 【解析】选项 A 中的球和圆锥是旋转体，所以 A 不符合题意； B 中的圆台是旋转体，所以 B 不符合题意； D 中的四个几何体全是旋转体，所以 D 不符合题意； 只有 C 中的四个几何体全符合多面体概念故选：C 2.一个正棱

42、锥的侧棱长与底面边长相等，则该棱锥不可能是( ) A. 三棱锥 B. 四棱锥 C. 五棱锥 D. 六棱锥 【答案】D 【解析】D若该棱锥为正六棱锥，则与直角三角形中斜边大于直角边矛盾，故该棱锥不可能是正六棱锥 第 51 页，共 102 页 3. 下列命题中正确的是( ) A. 用一个平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分是棱台 B. 两个底面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台 C. 侧面都是等腰三角形的棱锥是正棱锥 D. 棱台的侧棱延长后必交于一点 【答案】D 【解析】A 中，要用“平行于底面”的平面去截棱锥，棱锥底面与截面之间的部分才叫棱台，如果截棱锥的平面不与底面平行，棱锥底面与截

43、面之间的部分只能叫多面体，故 A 错误； B 中，棱台还要求侧棱的延长线交于一点，故 B 错误； C 中，正棱锥还要求底面是正多边形，故 C 错误； D 中，由棱台的定义知，棱台的侧棱延长后必交于一点，故 D 正确 4.下列命题中正确的是（ ） A. 棱柱的侧棱一定相等，侧面是平行四边形 B. 有两个面互相平行，其余各面都是平面四边形的多面体是棱柱 C. 有两个侧面是矩形的棱柱是直棱柱 D. 各条棱长均相等的直平行六面体是正方体 【答案】A 【解析】由题意，对于，根据棱柱的定义，可知棱柱的侧棱一定相等，侧面是平行四边形，从而正确； 对于，若多面体是棱台，满足有两个面互相平行，其余各面都是平面四

44、边形，故不正确； 对于，将直四棱柱，平行的面向某一方向倾斜下，则有两个侧面是矩形，其他两个侧面是平行四边形，故不正确； 对于，各条棱长均相等的直平行六面体，底面可能是菱形，故不正确 第 52 页，共 102 页 易错点：对空间点、线、面关系理解不清 5.在空间中，给出下列命题： 若一条直线与两条直线都相交，那么这三条直线共面； 若三条直线两两平行，那么这三条直线共面； 若直线与直线异面，直线与直线异面，那么直线与直线异面； 若直线与直线垂直，直线与直线垂直，那么直线与直线平行 其中正确的命题个数为( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】若三条直线交于一点，则可以异面，错误 ，或，错

45、误 若直线与直线异面，直线与直线异面，则，平行、相交、异面均可能，错误 空间中垂直于同一直线的两条直线平行或异面，错误 6.正方体上点、是其所在棱的中点，则直线与异面的图形是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 第 53 页，共 102 页 【解析】本题主要考查空间两条直线的位置关系 ，故错误； 与异面，故正确； 与相交，故错误； 与相交于正方体中心点，故错误 故选 易错点：平行垂直位置关系辨析 7.若，是异面直线，直线，则与的位置关系是( ) A. 相交 B. 异面 C. 平行 D. 异面或相交 【答案】D 【解析】若，则由和，故，与，为异面直线矛盾， 故直线和不平行若直线和相交，则和

46、确定平面 当时，必满足，异面且，故直线，可能相交 由，则过直线存在平面，使 当直线与平面相交但不与直线相交时，异面， 此时必满足，异面和，故和可能异面故选 8. 已知空间三条直线、，若与异面，且与异面，则( ) A. 与异面 B. 与相交 C. 与平行 D. 与异面、相交、平行均有可能 【答案】D 【解析】如图，以正方体为例， 与异面，且与异面，而； 与异面，且与异面，而与相交； 与异面，且与异面，而与异面； 第 54 页，共 102 页 与异面、相交、平行均有可能故选 D 9.已知平面与平面相交，直线，则( ) A. 内必存在直线与平行，且存在直线与垂直 B. 内不一定存在直线与平行，也不一

47、定存在直线与垂直 C. 内不一定存在直线与平行，但必存在直线与垂直 D. 内必存在直线与平行，但不一定存在直线与垂直 【答案】C 【解析】若内存在直线与平行，由知，从而，但与相交却不一定垂直，矛盾又设，由知，从而内必有直线与垂直 10.对于两条不同的直线，和两个不同的平面，以下结论正确的是（ ） A. 若，是异面直线，则，相交 B. 若，则 C. 若，共面于，则 D. 若，不平行，则，为异面直线 【答案】C 【解析】A 选项：若，是异面直线，则，相交或平行，故错误；B 选项：若，则，由，则或，故错 第 55 页，共 102 页 误；C 选项：若，共面于，则，故正确；D 选项：若，不平行，则，为

48、异面直线或相交，故错误故选 C. 11.在空间中，给出下列四个命题： 平行于同一个平面的两条直线互相平行；垂直于同一个平面的两个平面互相平行； 平行于同一条直线的两条直线互相平行；垂直于同一个平面的两条直线互相平行 其中正确命题的序号是( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】平行于同一个平面的两条直线，可以平行也可以相交也可以异面；所以不正确； 垂直于同一个平面的两个平面，可能平行也可能相交；所以不正确； 平行于同一条直线的两条直线互相平行；正确； 垂直于同一个平面的两条直线互相平行满足直线与平面垂直的性质定理，正确 故选：D 12. 已知两个平面垂直，下列命题： 一个平面内的已知

49、直线必垂直于另一个平面的任意一条直线； 一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面的无数条直线； 一个平面内的任一条直线必垂直于另一个平面； 过一个平面内任意一点作交线的垂线，则垂线必垂直于另一个平面 其中正确的个数是( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】考查正方体中互相垂直的两个平面：， 对于：一个平面内的已知直线不一定垂直于另一个平面的任意一条直线，如图中与不垂直； 对于：一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面的无数条直线，这一定是正确的，如图中， 第 56 页，共 102 页 已知直线，在平面中，所有与平行的直线都与它垂直； 对于：一个平面内的任一条直线不一定垂直于另一个平面，

50、如图中不垂直于平面； 对于：过一个平面内任意一点作交线的垂线，则垂线不一定垂直于另一个平面，如图中，它垂直于，但不垂直于平面 故选：C 易错点：对内切球、外接球题目理解不透彻 13.在半径为的球内有一个底面边长为的内接正三棱锥，求此正三棱锥的体积 【答案】正三棱锥的体积为或 【解析】如图甲所示的情形，显然 第 57 页，共 102 页 设为的中心，则，三点在同一条直线上 ， ， 正三棱锥的高 又， 对于如图乙所示的情形， 同理，可得正三棱锥的高， 综上，可知正三棱锥的体积为或 第 58 页，共 102 页 空间向量易错点 易错点：坐标运算夹角问题，无法判断是一解还是两解 1.若向量，且与的夹角