1、 一元二次方程的根的判别式一元二次方程的根的判别式 第 1 页 一元二次方程的根的判别式一元二次方程的根的判别式 一、知识要点一、知识要点 1一元二次方程根的判别式一元二次方程根的判别式 一元二次方程)0(02=+acbxax中，=acb42称为此方程根的判别式. 0 方程有两个不相等的实数根. = 0 方程有两个相等的实数根. 0 方程没有实数根. 0 方程有两个实数根. 判别一元二次方程的根的情况的步骤： （1）将方程化为一般形式)0(02=+acbxax，找出 a、b、c 的值； （2）求根的判别式=acb42的值，并判定其是正数、负数还是零. （3）由，判别方程的根的情况，即： 0，方
2、程有两个不相等的实数根； = 0，方程有两个相等的实数根； 0，方程没有实数根； 0，方程有两个实数根. 一元二次方程的根的判别式反映了其系数与实数解之间的关系. 2一元二次方程根的判别式在解题中的应用一元二次方程根的判别式在解题中的应用 一般地，根的判别式常见的应用有以下三种： （1）不解方程，判别一元二次方程根的情况）不解方程，判别一元二次方程根的情况. 只需把方程化为一般形式，由 a、b、c 的值计算出=acb42的值（其实只需明确的正、负还是零） ，就可确定方程根的情况，这是根的判别式最简单和直接的应用. （2）已知方程根的情况，求方程中待定系数的取值或取值范围）已知方程根的情况，求方
3、程中待定系数的取值或取值范围. 首先求出的表达式，再根据题目的条件，令 0（或= 0、 0、 0） ，解所得的方程或不等式，求出结果.如果方程的二次项系数中含有待定系数，则应注意二次项系数不等于 0（a 0）这一隐含条件，求未知数的取值或取值范围时，一定不要忽略这一点. （3）证明含有字母系数的一元二次方程的根的情况）证明含有字母系数的一元二次方程的根的情况（即方程有实数根，无实数根，有相等或不等两个实数根）. 首先确定方程中的 a、b、c，求出的表达式，然后对这个表达式进行恒等变形，明确其是正数、负数、零还是非负数，从而证得方程对应的根的情况. 在恒等变形时经常要用到配方和因式分解. 二、典
4、型例题二、典型例题 第 2 页 例例 1：不解方程，判定下列方程的根的情况： （1）xx21122=+ （2）0422=+mmxx（m 是常数） 例例 2：已知关于 x 的方程0542=+kkxkx 有两个相等的实数根，求 k 的值并求此方程的解. 例例3 ：求证：对于任意实数 k，关于 x 的方程1)2(22+=+xkkx都有两个不相等的实数根. 例例4 ：已知方程122=+axx没有实数根，求证方程aaxx212=+一定有两个不相等的实数根. 例例 5：已知 a、b、c 是ABC 的三边，且方程0) 1(2) 1(22=+xcbxxa有两个相等的实数根，试判断ABC 的形状. 三、强化训练
5、三、强化训练 （一）填空题（一）填空题 1方程 4x2x=0 的根的判别式=_，其根的情况是_. 2若方程0322=+mxx有两个相等的实数根，则 k 的值是_. 3若关于 x 的二次方程0)2()52()2(2=+mxmxm有两个实数根，则 m 的取值范围是_. 第 3 页 4 若方程01432=+kxx无实根， 则 k_， 化简代数式=+|231|91322kkk_. 5若221mn ，关于 x 的方程0222=+mxnx的根的情况是_. （二）选择题（二）选择题 6一元二次方程01) 12() 1(22=+xkxk有实数根，则 k 值为（ ） A45k B45k且 k 1 C45k D4
6、5k且 k 1 7设 m 是实数，则方程01)3(2=+mxmx的根的情况是（ ） A必有两不等实根 B必有两相等实根 C必有两实根 D一定没有实数根 8已知 a、b、c 是ABC 的三边长，那么方程0)(222222=+cxacbxb的根的情况是（ ） A有实数根 B没有实数根 C有两个相等的实数根 D有两个不相等的实数根 9在一元二次方程)0(02=+acbxax中 a 与 c 异号，则方程（ ） A有两个不等实根 B有两个等实根 C无实根 D无法确定 10若分式mxx+ 212不论 x 取何实数总有意义，则 m 的取值范围是（ ） Am 1 Bm 1 Cm 1 Dm 1 （三）解答题（三
7、）解答题 11当 m 为何值时，关于 x 的一元二次方程12) 1(2=+mxmxm. （1）有两个不等实根 （2）有两个相等实根 （3）无实根？ 12已知关于 x 的方程 x24xm4=0 没有实根，求证 x 的方程1122=+mmxx一定有两个不相等的实数根. 第 4 页 13当 m 是什么实数时，关于 x 的二次方程0442=+ xmx与0544422=+mmmxx都有实数根？ 14已知 a、b、c 是三角形的三边，若方程0)()(2)(2=+baxabxbc有两个相等的实数根，试判定三角形的形状，并说明理由. 15已知关于 x 的方程01) 1(2=+mxxn有两个相等的实数根.求证：关于 y 的方程03222222=+nmmyym必有两个不相等的实数根.
