1、Ao X U EW EN C U I 5 3 一、 丑 粥瞎 隹 内接于睐问题 正棱锥的性质为底面是正多边形， 顶点在底面 的投 影是此多边形 的中心。 解此类题先将正棱锥的顶点 “ 挂 ” 在球的 北极点， 锥体自然下落， 则锥体的高一定 在连接球南北极点 的轴线上 ，底面在某 一纬线所在的圆面上 ，底面正多边形内 接于此圆。 1hR 例 1正四棱锥 P ， 4 C D的五个顶 点 在 同一球面上 ，若正四棱锥的底面边长 为 4 ， 侧棱 长为 2 X - ( ， 则此球表面积为 一。 解析： 如图 1 ， 底面边长 为 4， 1 贝 麦长 为 2 - C， 在 R t A P E C中，朋
2、 = 4 ， 在 R t A O E C 中， E C 2 + (R E O P Y = O C 2 , O C = R ， 因此 R = 3 ， 故 S = 3 6 。 图 1 图2 2 例 2 ( 0 7全 国 I文 ， 1 5 )正 四棱 锥 S - A B C D 的底 面边 长和 各 侧棱 长 都 为 、 ，点 s 、 A B C D都在同一个球面 上 ， 则该球的体积为 。 解 析 ：如 图 2 ，过 S作 S O上面 AB C D， 由已知 O C = A C = 1 ， 在 R t AS O C 中， = 5 0 = 、 LS c 2 0 =1 0 5 = O A O B =
3、O C = O D， 故 O是过 s 、 4、 B 、 C 、 D的球 的球心， 即面 A B C D与赤道大圆面重合， 所以球半径为 R= I ， 球体积为 订 R 争 竹 。 3h R ( 底面在南半球某一纬线所在 的圆面上) 由h =V 算出 ， 再由R 2 = ( h- R + r 算出 。2 = R( 底面在赤道大 圆面上 )直接 由 R 一 c Lr 2 算出 R，判断 h = R = t o 3 矗 ( 底面在北半球某一纬线所 在的圆面上 )由h =、 c 2 = 算 出h ，再由 R = ( 一 + r 2 算出R 。 二、 正棱柱内接于球问题 与正棱锥内接于球不同 ， 正棱柱
4、内接 于球， 依对称性得， 正棱柱的上下底面以 赤道面为对称面 ， 对称地位于北半球与南 半球的同纬度圆面内，可以说正棱柱的球 心位于正棱柱的高的中截面与上下底面中 ， 的交点处。 例 3棱长为 3的正三棱柱内接于球 O中， 则球 O的表面积为 。 分析 ： 由对称性 确定球心在上 、 下底 面中心连线的中点， 易得半径， 从而得表 面积为 2 1 1 T 。 三、 球面距离问题 例 4 ( 0 7四J I l ， 6 ) 如 图 3 ， 设球 0的半 径是 1 ， A、 B 、 C是球面 上 的三点 ，已知 A 到 B 、 C两 点的 球面距 离 都是詈 ，且一I 面 B O A C 的 大
5、 小 为 图 3 ，则从 A点沿球面经 、 C两点再回到 A点的最短距离是( ) 。 A 手c 孚n 等 分析 ： 依球 面距离的定义知 A 0上平 面 B O C ， 且 _B O C = 一 I T，于是所行路线 的最短 长度为三 点 间球面距离之和 臻 鬻 _ + + 一 。云 故选 C 。 四、 切接综合问 题 附 例 5设有棱长 属 等于 a的正四面体 外 A ，作 它的 内切 球 国 R ，再作尺 的内接 语 正四面体 A ，接着 学 再作 A z 的内切 球 校 R 和 R 的 内接 正 四面体 A 3 ，如此继 龚 续下去， 得到无限多 树 个正四面体， 他们的 武 体 积 之
6、 和 等 于 一( ) 分析 ： 先求得棱 长 为 n的正 四面体 的 内 切 球 半 径 r = 一。 ， 外接球半径 = 。 ， 所以 。 = L + ： 。此内切球的内接正四面体的棱 V 6 长 6 = r = a ， 故题 中的正四面体序 V 6 0 列的棱长构成公比为 的等比数列。从 J 而它们的体积构成公比为( ) 。 的等比数 列。因为边长为 a的正 四面体体积 = 。 = n 。由无穷递缩等比数列( I q I 1 ) 的求和公式 ， 得 = a 3 。 思考 ： 借助地球仪 ， 便有了依托物 ， 有 利于定球心位置( 定位 ) ； 确定半径的 值( 定量) ； 计算所求( 求值 ) ， 降低了难 度。高考多考正多面体， 若是一般的多面 体 ， 请 同学们引 申思考“ 补 出一个球的价 值” 是否还在? 高考球的接切闻题
