1、钥匙中的2 把正确钥匙， 若2 把正确钥匙全部找 出， 则试验结束， 求他3 次内结束试验的概率? 解析： 题 目 要求“ 2把正确钥匙全部找出” ， 那么“ 3次内结束试验”的情况有“ 前 2 把都是 正确钥匙”和“ 前 2把中有 1 把不是正确钥匙 ， 第3 把是正确钥匙” 共2 种 其概率值分别音 = A5 而 1、 = ，则所求概率值为 + 1=而3 孙汉中 张 敏 小结： 由上述命题及系列变式的解答可 以 看出， 有时一个字眼的变动 ， 便会导致结论和解 答过程的变化 ， 因此我们在审题时， 必须慎之又 慎 ， “ 三思而后行” ， 万不可操之过急 球与两种基本多面 体的 接、 切及
2、应用例谈 多面体接、 切问题是立体几何中的难点和 重要的考点， 解答此类 问题 ， 一要善于想象， 正 确作出过球心的截面图； 二要把握住球与两种 基本几何体 正四面体和正方体的接、 切关 系， 做到举一而反三， 提高分析解决问题能力 一、两种基本组合体 1 。 分别求棱长为 口的正方体的内切球、 棱 切球 、 外接球的半径 r 、 r 2 、 r 3 略解 ： 过三个球的球心 O作截面分别如图 1 、 2 、 3所示 囫 “ 图1 图2 图3 叵 则r 。 =詈， r 2 =等D ， r 3 = n ， 厶 评析： 此题难在棱切球的想象与画法 ， 与正 方体六条棱都相切的球为其棱切球， 求棱
3、切球 半径时 ， 设想在一个仅有六条骨架( 棱 )围成的 空心正方体内有一气球 ， 给气球不断充气 ， 充到 一定程度时， 球面被正方体的六条棱箍紧( 仍 保持球 的形状 ) ， 此 时正方体各棱与球面都相 切， 由此便可得正方体棱切球过球心的截面图 2 分别求棱长为 。的正四面体的内切球、 2 0 棱切球 、 外接球 的半径 J R 、 R 、 R ， 略解： 如图4， 以正四面体六条棱为正方体 六个面对角线， 将正四面体 曰一A c D补成一 个正方体 A B C D 一A BC D， 则正方体棱长为 ，正四面体的棱切球即是正方体 的内切球 ， 正四面体外接球也即为正方体的外接球 ， 故
4、：=丢 = R = T 口= 口 D 图4 C Cl c 圈5 再求正四面体内切球半径 R； 如图5 ， 在正四面体 B A C D中， 易求高 肋 ，： = 3 ，由 c l D = 4V O-AI CI D可求得 o D ，= 肋= D = ， 故 R = = = Ta 评析 ： ( 1 )将正四面体补成正方体这一“ 补 形”思想在解空间图形 问题时经常使用 ， 如在 求“ 三条侧棱两两垂直的三棱锥的外接球半 径” 时， 可将三棱锥补成长方体 ( 2 ) 此题结论 告诉我们， 正四面体的高 B O 等于外接球半径 O B与内切半径 O 0 之和， 正四面体 的高、 外接 球半径 、 内切球
5、半径之比为 4： 3： 1 二、 应用例谈 例 l 四个半径为1 的球 两两相切 ， 都在一 个大球里面， 且与大球 内切 ， 在四个球 围成的空 隙内有一个小球与此四球都外切， 分别求出小 球半径 r 与大球半径 R 略解 ： 如图6， 半径为 1的四个小球 的球心 0 0 ： 、 0 ， 、 0 组成一个棱长为 2的正四面体， 此 四面体外接球球心与大球球心、 小球球心均 为同一点 ， 设为 0， 则正 四面体外接球半径为 2： ， 故大 球半径R： + l ， 设AO 0 ： 0 中心为 日， tJ O H = 2= ， Y R t AO l 伽 中， 0 0 ：0 1 +D 得( ，
6、+1 ) ：( ) + ( ) 解得： r= 一 1 ， 故所求小球半径， 与大 球半径 R分别为 一1 林明成 陶 盾 孵“ 例2 如图7 ， 在棱长为 1 的正方体 A B C D B C 。 D 内容纳 9个等球 ， 8个角各放 1个， 中间放 1个， 求这些等球 的最大半径 图6 略 解 ： 依 题 意 ： 中间一球位 于 正方体 中心 ， 其余 8个球分别与此球 相切 且 与 立 方 体 三个面相切 ， 作截 面D D 1 B l B ( 如图8 ) ， 则 D D 1=1 ， 1 D 1=, 2， D B 1= ， 由 0 1 E B 1 AD Dl B可得 0 1 B 1= 3
7、r ， 又因为D B l =D O 4 + 0 4 0 l +0 1 B l ， 故 3= 2 西 + 4 r ， 即r= 二 评析 ： 选准最佳角度作 出截面图是解决此 题的关键 ， 作截面时要尽可能多的包含球 、 几何 体的各种元素， 以及体现这些元素间的关系 ， 达 到空间问题平面化的 目的 ， 转 化 一 一数 学 解 题 的 有 力 杠 杆 转化， 数学解题的有力杠杆， 数学解题常 备的重要策略， 甚至可以这样说， 任何一个数学 问题都是通过数或形的逐步转化来揭示出未知 与已知的联系而获得解决的本文旨在从几个 不同的侧面， 说明转化策略在解题中的应用 一、常量 向变量转化 用抽象的字母代替常数， 就容易突显各种 联系， 便于整体把握， 是避繁就简之道 2l
