1、 该PDF为非完整版，完整版（含有相应的答案）无水印在百度网盘群文件中，群资源是每周六进行更新，PDF和word均有，PDF便于学生打印，word便于老师编辑用于自己的教案群资料8 1 2 号群资料8 1 2 号群资料8 1 2 号群资料8 1 2 号! ! !第!节!集合! ! 了解集合的含义! 理解元素与集合的从属关系 针对具体问题! 能在自然语言和图形语言的基础上! 用符号语言刻画集合在具体情境中! 了解全集与空集的含义! ! 理解集合之间包含与相等的含义! 能识别给定集合的子集! # ! 理解两个集合的并集与交集的含义! 能求两个集合的并集与交集 理解在给定集合中一个子集的补集的含义!
2、 能求给定子集的补集 能使用 $ % & &图表达集合的基本关系与基本运算! 体会图形对理解抽象概念的作用! ! 元素与集合! 集合中元素的三个特性# 确定性$互异性!$无序性! ! 元素与集合的关系是 属于!和 不属于!% 表示符号分别为和#!# 集合的三种表示方法#列举法!$描述法!$ 图示法! ! 集合间的基本关系! 子集# 若对任意#% 都有$!% 则#$或$%#! 真子集# 若#$% 且集合$中至少有一个元素不属于集合#% 则#&$!或$#!# 相等# 若#$% 且$#!% 则#$!( 空集的性质#(是 任何!集合的子集% 是任何 非空!集合的真子集!# ! 集合的基本运算集合的并集
3、集合的交集集合的补集符号表示#)$#*$若全集为% 则集合#的补集为+%#图形表示集合表示&,#或$#,#!且$!&,%且#$ ! 集合的运算性质!#*#%#*(%#*$*#!#)#%#)(#%#)$)#!#*!+%#(%#)!+%#%+%!+%#! ! 若有限集#中有&个元素% 则#的子集有&个% 真子集有&)!个! ! 子集的传递性#$%$-#$!# !#$.#*$#.#)$.+%#%+%$!( ! +%!#*$!+%#)!+%$ %+%!#)$!+%#*!+%$!疑误辨析! ! 判断下列结论的正误! 在括号内打(/) 或(*) ! &,(+ !&(,(+ !& !%(,(+ !*! 若&
4、%!&,%! % 则 ,%! !*!# 对于任意两个集合#%$% !#*$!#)$ 恒成立!/!( 含有&个元素的集合有&个真子集!*!教材衍化 ! 必修! - ! . /改编 若集合)&! ,0 槡 , ! %* 槡 %则!0! ! ! !.1*)2 1&*)31&*$)01*#)# ! 必修! - ! 2 !改编 已知集合+&,%!%#%( %,&!%#%/ %则集合+),的子集个数为 4 ( ! !考题体验( ! , ! 5*全国卷! 已知集合#&,) 1, % 则+#!2 !.1&, ) ! 22 2 1&, ) ! 00 31&,2) !)&,1 01&,0) !)&,3 / ! ,
5、 ! 6*江西南昌模拟 已知集合)&,0! %+&*! 若)+)% 则实数*的取值范围为!.!.1+) !%!,2 1+!%+731!)7%) !,01!)7%) !,)+!%+74 ! , ! 8*全国卷改编 已知集合#& !%(,+(! %$& !%(,%(% 且( % 则#*$中元素的个数为 ! !群资料8 1 2 号! ! !考点一 集合的基本概念! 例# ! ! , ! 6*湖北四地七校联考 若集合+&, ,0! %,&(,(%, 0 ! % 则!.! ! ! !.1+,2 1+$,31+*,(01,$+! 若#% 则!#% 就称#是伙伴关系集合% 则集合+) !%,%!%&#的所有
6、非空子集中% 为伙伴关系集合的个数是!2 !.1 !2 1 #31 801 # !解析# %!& 数集+,) !( ! 选.!%& #) !$ !&!) !&! 共 #个! 选2 !规律方法! ! 研究集合问题时% 首先要明确构成集合的元素是什么% 即弄清该集合是数集$ 点集% 还是其他集合- 然后再看集合的构成元素满足的限制条件是什么% 从而准确把握集合的含义! ! 利用集合元素的限制条件求参数的值或确定集合中元素的个数时% 要注意检验集合中的元素是否满足互异性! 训练# ! ! , ! 5*全国卷# 已知集合#& !%(,+(0 #%$%($ % 则#中的元素个数为!.!.1 62 1 5
7、31 /01 (! 设集合#&,!)*2! % 且#%#% 则实数*的取值范围是 %!(! !解析# %!& 因为+(0#! 所以0 #! 因为$! 所以) !,! ! 当) !时!() !,! 当,时!()!,!当 !时!() !,! ! 所以共6个! 选.!%& 若 #! 则% )*&2 ! 解得! 2*2 # 若# #! 则%# )*&3 ! 解得*0 或*3 ( !综上! 实数*的取值范围是%!(!考点二 集合间的基本关系! 例% ! 已知集合#&,(! )槡% %$&,-%-# % 则!2 !.1#&$2 1$ #$01$#! ! , ! 6*河南郑州调研 已知集合#&,) /
8、) ! ( 0 , %集合$&,-+ ! 22 -) ! % 若$#% 则实数-的取值范围是 %)7!(! !解析# %!& 由!)3,! 得)!00! 所以#,)!00!$ ! 又$#, , 00 !$ ! 所以$&#!%&#,) /) ! ( 0 ,$#, ) 00 8$ ! 若$(! 则-+ ! 3 -) ! 解得-0 若$4(! 由$#! 可得-+ ! 2 -) !-+ ! 3) !-) ! 0 8567!解得 2-0 ( !综上! 实数-的取值范围是%)7!(!规律方法! ! 若$#% 应分$(和$4(两种情况讨论! ! 已知两个集合间的关系求参数时% 关键是将两个集合间的关系转化为
9、元素或区间端点间的关系% 进而转化为参数满足的关系! 解决这类问题常常要合理利用数轴$ % & &图% 化抽象为直观进行求解! 训练% ! ! , ! 5*河北唐山模拟 设集合+&,)1, %,!2&!% 则!3!.1+&,2 1,&+31+,01+),! 若将本例! 中的集合#改为#&,) /) ! ( 1 , % 其它条件不变% 则-的取值范围是 %)7!()4!+7&! !解析# %!&+#,)1,$#,2 ,! 或1!$ !,!2&! #,2 ,! 或1 !$ ! 所以+,!%&#,) /) ! ( 1 ,$#,2) ! 或1 8$ !若$(! 则-+ ! 3 -) ! 解得-0 若$
10、4(! 由$#! 可得-1 !-) ! 0) 或-+ ! 3 8&!解得-3 4 !综上! 实数-的取值范围是%)7!()4!+7&!考点三 集合的运算8多维探究角度! !集合的基本运算! 例& # ! ! , ! 6*天津卷 设集合#&) !%!%#%/ %$&%#%( %& , ! 02 # % 则!#*)$!0!.1&2 1&%#31&) !%#01&!%#%(! ! 多选题 ! , ! 8*全国卷!改编 已知集合#&,2! %$&, #2 ! % 则!. 0!.1#*$&,2 ,2 1!+#)$31#)$&,1 !01#*!+$&, , 02 !解析# %!& 因为#*#!$ ! 所以
11、%#*&)$#!#!($!选0!%&$#, #2!$#,2,$ !#*$#,2 ,$ !+#,3 !$ !#)$#,2 !$ !+$#,3 ,$ !所以%+#&)$#,2 ,! 或3 !$ !#*%+$&#, , 02!$!角度 !抽象集合的运算! 例& % 设%为全集%#%$是其两个子集% 则( 存在集合% 使得#$%$+%) 是(#*$() 的!3!.1 充分不必要条件2 1 必要不充分条件31 充要条件01 既不充分又不必要条件解析# 若#$! 则+%$+%#! 若$+%! 可得#*$( 若#*$(! 不妨设#! 显然满足#$!$+%! 故满足条件的集合是存在的! 选3!规律方法! !
12、进行集合运算时% 首先看集合能否化简% 能化简的先化简% 再研究其关系并进行运算! ! 注意数形结合思想的应用! 离散型数集或抽象集合间的运算% 常借助$ % & &图求解-! 连续型数集的运算% 常借助数轴求解% 利用数轴时要特别注意端点是实心还是空心! 训练& ! ! , ! 6*陕西延安模拟 若全集%&) %) !%,%!%群资料8 1 2 号第一章!集合与常用逻辑用语! ! #! %#&) % %$&,)!, % 则图中阴影部分所表示的集合为!0 !.1&) !%,%!2 1&) !%,31&) !%!01&,! ! , ! 6*河南新乡模拟 已知集合#&,)0, %$&,*) ! 0
13、2* % 若#*$只有一个元素% 则*!3!.1 ,2 1 !31 01 !或解析# %!&$#,)!,$#)!$ ! 所以#)$#)!) !$ ! 所以阴影部分表示的集合为+%#)$&#,$!%&#,)0 ,$#, ,00!$ ! 因为#*$只有一个元素! 所以*) ! ! 解得* !反思与感悟思维升华! ! 在解题时经常用到集合元素的互异性% 一方面% 利用集合元素的互异性能顺利找到解题的切入点- 另一方面% 在解答完毕之时% 注意检验集合的元素是否满足互异性以确保答案正确! ! 对连续数集间的运算% 可借助数轴的直观性% 进行合理转化- 对已知连续数集间的关系% 求其中参数的取值范围时%
14、 也要注意单独考察等号能否取到!# ! 对离散的数集间的运算% 或抽象集合间的运算% 可借助 $ % & &图% 这是数形结合思想的又一体现!易错防范! ! 对于集合问题% 解题时要认清集合中元素的属性! 是数集$ 点集还是其他类型集合 % 还要对集合进行化简! ! 空集是任何集合的子集% 是任何非空集合的真子集% 特别关注对空集的讨论% 防止漏解!# ! 解题时注意区分两大关系# 一是元素与集合的从属关系- 二是集合与集合的包含关系!( ! $ % & &图法和数轴法是进行集合交$ 并$ 补运算的常用方法% 其中运用数轴法时要特别注意端点是实心还是空心!第节!命题$ 充分条件与必要条件! !
15、 通过对典型数学命题的梳理! 理解必要条件) 充分条件) 充要条件的意义! ! 理解性质定理与必要条件的关系 理解判定定理与充分条件的关系 理解数学定义与充要条件的关系! ! 命题! 用语言$ 符号或式子表达的% 可以 判断真假!的陈述句叫做命题% 其中 判断为真!的语句称为真命题%判断为假!的语句称为假命题! 命题的一般形式为( 若.% 则/)! 其中.叫做命题的 条件!%/叫做命题的结论! ! ! 充分条件与必要条件命题真假( 若.% 则/) 是真命题( 若.% 则/) 是假命题推出关系.-!/.-./条件关系.是/的 充分!条件/是.的 必要!条件.不是/的 充分!条件/不是.的 必要!
16、条件# ! 条件与结论之间的关系.-/且/-.是/的 充分必要!条件% 简称.是/的 充要!条件% 记作./!.-/且/-.是/的 充分不必要!条件.-./且/-.是/的 必要不充分!条件.-./且/-.是/的 既不充分又不必要!条件! ! 不能将( 若.% 则/) 与(.-/) 混为一谈% 只有( 若.% 则/) 为真命题时% 才有(.-/) % 即(.-/).( 若.% 则/) 为真命题! ! 区别#是$的充分不必要条件!#-$且$-.# 与#的充分不必要条件是$!$-#且#-.$ 两者的不同!疑误辨析! ! 判断下列结论的正误! 在括号内打(/) 或(*) ! 若.是/的充分条件% 则.
17、是唯一的!*! ( 若.% 则/) 是真命题% 而( 若/% 则.) 是假命题% 则.是/的充分不必要条件!/!#/不是.的必要条件时% (.-./) 成立!/!( 若.是/的充要条件% 则命题.和/是两个互相等价的命题!/!教材衍化 ! 选修/! - #第6题改编 (1) 是(1 !) 的!2 ! ! ! !.1 充分不必要条件2 1 必要不充分条件31 充要条件01 既不充分又不必要条件# ! 选修/! - #第(题改编 直线(0!+1和直线(0+平行的充要条件是0!0!14 ! !考题体验( ! , ! 5*天津卷 设% 则()!2!) 是(#2!) 的!.!.1 充分不必要条件2 1
18、必要不充分条件31 充要条件01 既不充分又不必要条件/ ! , ! 6*全国卷# 设!%为两个平面% 则!9的充要条件是群资料8 1 2 号! ! $!2 !.1!内有无数条直线与平行2 1!内有两条相交直线与平行31!%平行于同一条直线01!%垂直于同一平面4 ! , ! 6*安徽江南十校联考 (*,) 是( 函数2!9 : &)!+*为奇函数) 的 充分必要!条件!考点一 充分条件$ 必要条件的判定! 例# ! ! , ! 6*北京卷 设点#%$%不共线% 则(:; ;# $与:; ;# 的夹角为锐角) 是(,:; ;# $+:; ;# , 1 ,:; ;$ ,) 的!3! ! ! !.
19、1 充分不必要条件2 1 必要不充分条件31 充分必要条件01 既不充分也不必要条件! 设函数2!- ) !%3 ,%)!%2 ,567%则(-1 !) 是(2+2!) ! ,1() 的!2 !.1 充分不必要条件2 1 必要不充分条件31 充分必要条件01 既不充分也不必要条件解 析#%!&:; ;# $+:; ;# 1:; ;$ :; ;# ):; ;# $!等 价 于:; ;# $+:; ;# 1:; ;# ):; ;# $!即:; ;# $+ :; ;# $*:; ;# +:; ;# 1:; ;# ):; ;# $*:; ;# +:; ;# $! 等价于:; ;# $*:; ;# 1
20、,!因为#!$!不共线! 所以:; ;# $*:; ;# 1,.:; ;# $与:; ;# 的夹角为锐角!%& 因为2%) !& ! 所以22%) !& (2%& -) !1 (! 即-) ! 1 ! 即-1#!因为#!+7!&%!+7& !所以+-1 !, 是+22%) !& (1 (, 的必要不充分条件!规律方法 充分条件$ 必要条件的判断方法! 命题判断法# 通过判断.-/与/-.是否成立确定.是/的什么条件! 集合判断法# 建立命题对应的集合.#&,.! 成立 %/#$&,/! 成立 % 那么从集合的观点看#$若#$% 则.是/的充分条件% 若#&$% 则.是/的充分不必要条件-%若$
21、#% 则.是/的必要条件% 若$&#% 则.是/的必要不充分条件-&若#$% 且$#% 则.是/的充要条件! 训练# ! ! , ! 6*天津卷 设% 则() /2 ,) 是(,)! , 2 !) 的!2 !.1 充分不必要条件2 1 必要不充分条件31 充要条件01 既不充分也不必要条件! ! , ! 6*浙江卷 若*1,%11,% 则(*+10() 是(* 10()的!.!.1 充分不必要条件2 1 必要不充分条件31 充要条件01 既不充分也不必要条件解析# %!& 由) /2 ,! 得, 22/ 由,)! , 2! 得, 22 ! 因为%,!&%,!/& ! 所以+)/2, 是+,)!
22、 ,2!, 的必要不充分条件!%& 若*+10 (! 因为*1 ,!11 ,! 所以由槡* 10*+1! 可得* 10*+1!0 ( 若* 10(! 不妨设*!1(! 则*+10(不成立! 所以*+10 ( -* 10 (且* 10 ( -*+10 (!所以+*+10 (, 是+* 10 (, 的充分不必要条件!考点二 充分条件$ 必要条件的应用! 例% 已知不等式+ ! )3 ,的解集为条件.% 关于的不等式+- ) -) #-) ! 2 ,-1)!#的解集为条件/! 若.是/的充分不必要条件% 求实数-的取值范围-! 若.的充分不必要条件是/% 求实数-的取值范围!解析# 条件. 由+ !
23、 )3 ,! 可得%+ !& %) &0 ,!) 4 ,&!解得)! 02 ! 记#) !&!条件/. 由+- ) -) #-) ! 2 ,! 可得+%-+ !& ( )%-+ !& (2 ,!因为-1)#! 所以)%-+ !&2-+ !所以) -) ! 22-+ ! 记$%) -) !-+ !&!%!&若.是/的 充 分 不 必 要 条 件!则#&$!可 得) -) ! 2) !-+ ! 3 &!解得-3! 所以实数-的取值范围是!+7&!%&若.的 充 分 不 必 要 条 件 是/!则$&#!可 得) -) ! 3) !-+ ! 0 &!解得-0 ,! 又-1)#!所以实数-的取值范围是)
24、#!, !规律方法 充分条件$ 必要条件的应用% 一般表现在参数问题的求解上% 解题时需注意#! 把充分条件$ 必要条件或充要条件转化为集合之间的关系%然后根据集合之间的关系列出不等式! 或不等式组 求解-! 要注意区间端点值的检验% 尤其是利用两个集合之间的关系求解参数的取值范围时% 不等式是否能够取得等号决定端点值的取舍% 处理不当容易出现漏解或增解的现象! 训练% 设函数2! ; !) 的定义域为集合#% 函数3!#槡) !的定义域为集合$! 已知.#*$%/#满足+-0 , ! 若.是/的充分条件% 求实数-的取值范围!解析# 由题意得#,) 1 ,$%)7!)!&)%!+7& !$#
25、) ! 3&, %,!#( !所以#*$%!#(!设集合#, +-0 ,$ !则 )7!)-!,!因为.是/的充分条件! 所以%#*$&$!群资料8 1 2 号第一章!集合与常用逻辑用语! ! %!则需满足# 0)-! 即-0) 4 !所以实数-的取值范围是%)7!) 4(!考点三 求% 证& 充要条件8多维探究角度! !求解充要条件! 例& # 已知数列&*& 的前&项和4&.&+/!.4,%.4! %求( 数列&*& 是等比数列) 的充要条件!解析# 根据数列前&项和4&与数列通项*&的关系! 先求出数列的通项*&! 根据数列#*&$ 为等比数列! 探求/所满足的条件!同时要注意充分性的证
26、明!*!4!.+/!当&3 时!*&4&)4&) !.&) !%.)!& ! 因为.4,!.4! 所以.&%.) !&.&) !%.) !&.!若数列#*&$ 是等比数列! 则*!*&+ !*&.! 所以.%.) !&.+/.!因为.4 ,! 所以.) ! .+/! 所以/) ! !所以数列#*&$ 为等比数列的必要条件是/) ! !下面证明/) !是数列#*&$ 为等比数列的充分条件!当/) !时!4&.&) !%.4 ,!.4 !& ! 所以*!4!.) !当&3 时!*&4&)4&) !.&) !%.) !& ! 所以*&%.)!&.&) !%.4 ,!.4 !& !*&*&) !%.)
27、 !&.&) !%.) !&.&) .为常数!所以! 当/) !时! 数列#*&$ 为等比数列!综上! + 数列#*&$ 是等比数列, 的充要条件是+/) !,!角度 !证明充要条件! 例& % 已知 9$) = 9#9 : &$ 9 : &$!结合正) 余弦定理得*+5)1* 5)1*1+5)*1 51!化简整理得*1%1+5&!必要性. 由余弦定理得*1+5) 1 5= 9#!又*1%1+5& !所以1+1 51+5) 1 5= 9#!所以! + = 9#519 : &9 : &$!即9 : &$+ 9 : &$= 9#9 : &9 : &%#+$&9 : &#= 9$+= 9#9 : &
28、$!所以9 : &$ 9 : &#= 9$) = 9#9 : &$ 9 : &%#)$& !由于#!$均为!) 表示! ! 全称量词命题与存在量词命题及其否定名称形式全称量词命题存在量词命题结构对集合+中的所有元素%.!存在集合+中的元素%/!简记=+!.%&!+!/%&!否定+%?.!=+!%?/! ! 一个全称量词命题可以包含多个变量% 如=%(%+(3 ,% 在全称量词命题中% 量词可以省略! ! 一个存在量词命题可以包含多个变量% 如*%1% !*)1!*+1% 有些存在量词命题的存在量词是省略的!# ! 含有一个量词的命题的否定规律是( 改量词% 否结论)!疑误辨析! ! 判断下列结
29、论的正误! 在括号内打(/) 或(*) ! ( 有些) ( 某个) ( 有的) 等短语不是存在量词!*! 全称量词的含义是( 任意性) % 存在量词的含义是( 存在性)!/!# ( 长方形的对角线相等) 是存在量词命题!*!(+%.! 与=+%?.! 的真假性相反!/!教材衍化 ! 选修)! - 4 . #改编 命题(=%+3,) 的否定是!2 ! ! ! !.1 ,%,+,0 ,2 1 ,%,+,2 ,31 =%+0 ,01 =%+2 ,# ! 选修 ) ! - #第! ,题改编 已知命题.#=%+ ! 1-命题/# 指数函数2!# )-是增函数! 若命题.和/中有且只有一个真命题% 则实数
30、-的取值范围是!2 !.1!%,2 1+!%31+!%+701!)7%考题体验( ! , ! 6*贵州贵阳调研 下列命题中的假命题是!3!.1 ,%; ,%9 : &, ,31 =%#1 ,01 =%1 ,/ ! , ! !*全国卷! 已知!与均为单位向量% 且夹角为$% 有下列四个命题#.!#,!+, 1 ! .$ ,% +#-.#,!+, 1 ! .$ #%!,-.#,!), 1 ! .$ ,%+#-.(#,!), 1 ! .$#%!, !其中的真命题是!.!.1.!%.(2 1.!%.#31.%.#01.%.(4 ! 若(= )(%+,#%-0 ? &+ ) 为真命题% 则实数-的最大值
31、为 ! ! !考点一 全称量词命题与存在量词命题8多维探究角度! !全称量词命题与存在量词命题的判断! 例# # 判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题! 实数的平方是非负数-! 至少有一个$% 使能被#和(整除-!# 方程* + + ! ,!*2 ! 有负实根-!( 若直线6垂直于平面!内任一直线-% 则6!解析# %!& 全称量词命题! 指任意一个实数的平方都是非负数%& 存在量词命题! 指存在同时能被#和(整除的整数%#& 存在量词命题! 指方程存在负实数根%(& 全称量词命题! 指任意一条直线6只要垂直于平面!内任一直线-! 即有6!角度% !全称% 存在& 量词命题真假的判断!
32、例# % ! 下列命题中的假命题是!3! ! ! !.1 !,%+7 %; %? & !31 =%1 ,01 =%1 ,! 已知定义域为的函数2! 不是偶函数% 则下列命题一定为真命题的是!3!.1 =%2!)42!2 1 =%2!)4)2!31 %2!)42!01 %2!)4)2!解析# %!& 选项3中! 当 ,时!1 ,不成立!%& 函数2%& 不是偶函数! 则2%& 的图象关于(轴不完全对称! 存在2%)&42%&!规律方法! ! 判断一个语句是全称量词命题还是存在量词命题的步骤是# ! 判断此语句是否是命题- ! 看命题中是否含有量词% 并判断该量词是全称量词还是存在量词- !# 对
33、不含或省略量词的命题% 要根据命题涉及的实际意义进行判断! ! 判定全称量词命题(=+%.! ) 是真命题% 需要对集合+中每一个元素% 证明.! 都成立- 要判定存在量词命题(+%.! ) 是真命题% 只要在集合+中找到一个元素%使.! 成立即可! 训练# ! 下列命题中% 既是真命题% 又是存在量词命题的是!.!.1 存在一个!% 使? &!6 , A )! ? &!2 1 存在实数% 使9 : &群资料8 1 2 号第一章!集合与常用逻辑用语! ! !31 对一切!%9 : &! 5 , A )! 9 : &!01 对任意!%9 : &!) 9 : &!= 9) = 9!9 : &! 下
34、列命题是全称量词命题的序号为$&! !$任意一个自然数都是正整数-%有的等差数列也是等比数列-&三角形的内角和是! 5 , A !解析# %!& 选项.存在!( / A 使 ? &%6 , A )!& ? &!成立 选项2由于1 ! 所以9 : &不可能成立 选项3!0是全称量词命题!%&%是存在量词命题!&指每一个三角形的内角和都是! 5 , A !考点二 全称量词命题与存在量词命题的否定! 例% 写出下列命题的否定% 并判断其真假!.# 所有的方程都有实数解-!/#=%() (+ ! 3 ,-!#7#%+ + 2 ,-!(8# 某些平行四边形是菱形!解析# %!&?. 有的方程没有实数解!
35、 ?.为真命题!%&?/.!() (+ ! 2 , ! ?/为假命题!%#&?7.=!+ + 3 , ! ?7为真命题!%(&?8. 平行四边形都不是菱形! ?8为假命题!规律方法! ! 全称! 存在 量词命题的否定是存在! 全称 量词命题- ! 全称! 存在 量词命题否定是要改变其量词% 否定其结论%对省略全称量词的全称量词命题可补上量词后进行否定-# ! 全称! 存在 量词命题与其否定的真假性相反! 训练% ! 命题(=!A%! 0!) 的否定为!0!.1 =!A%! 1!2 1 =#!A%! 1!31 #!A%! 1!01 !A%! 1! 命题( 存在% 使0 ,) 的否定为!3!.1
36、不存在% 使1 ,2 1 存在% 使3 ,31 对任意的% 都有1 ,01 对任意的% 都有0 ,解析# %!& 全称命题的否定! 要对结论进行否定! 同时要把全称量词换成存在量词!%& 存在命题的否定! 要对结论进行否定! 同时要把存在量词换成全称量词!考点三 全称% 存在& 量词命题的综合应用! 例& ! 已知命题.#=%6)#)*,% 若命题.的否定是假命题% 则实数*的取值范围是)!(!+7+! ! 已知函数2! ; &!+ ! %3! )-% 若对=!+,%#, %+!%, % 使得2!33! % 则实数-的取值范围是!(!+7+! !解析# %!& 由于命题.的否定是假命题! 所以
37、命题.是真命题!即对任意实数!6) #)* ,恒成立!设#9! 由于! 则9%,!+7& !则6) #)* , .*9)9!9%,!+7& !设2%9&9)9!9%,!+7& !则2%9&9)!)!(!当9!时!2%9&B : & )!(!则 函 数2%9&的 值 域为)!(!+7+!所以实数*的取值范围是)!(!+7+!%& 因为2%& ; &%+ !& 在,!#( 上是增函数! 所以2%!&,!; &! ,(! 因为3%&! )-在!( 上是减函数! 所以3%&!()-!)+,-!若命题成立! 只需2%!&B : &33%&B : &!则, 3!()-! 所以-3!(!规律方法 应用含有量
38、词的命题求参数的策略# ! 对于全称量词命题=+%*12! ! 或*22! 为真的问题实质就是不等式恒成立问题% 通常转化为求2! 的最大值! 或最小值 % 即*12!B C! 或*22!B : &! 对于存在量词命题+%*12! ! 或*22! 为真的问题实质就是不等式能成立问题% 通常转化为求2! 的最小值! 或最大值 % 即*12!B : &! 或*22!B C! 训练& 本例! 中% 若将(+!%, ) 改为(=+!%, ) %其他条件不变% 则实数-的取值范围是!+7+! !解析# 若对=!,!#( !=!( ! 使得2%!&33%& ! 则2%!&B : &33%&B C! 即,
39、3!)-!所以-3! 所以实数-的取值范围是!+7+!反思与感悟思维升华要写一个命题的否定% 需要先分清该命题是全称量词命题还是存在量词命题% 再按照否定结构去写- 否定的规律是( 改量词% 否结论)!易错防范! ! 注意命题是全称量词命题还是存在量词命题% 是正确写出命题的否定的前提- ! 注意命题所含的量词% 对于量词隐含的命题要结合命题的含义显现量词% 再进行否定!逻辑推理 突破( 任意性或存在性) 问题逻辑推理是指从一些事实和命题出发% 依据规则推出其他命题的素养! 其关键要素是# 逻辑的起点$ 推理的形式$ 结论的表达! 解决( 任意性或存在性) 问题关键在于将含有全称量词和存在群资
40、料8 1 2 号! ! (!量词的条件( 等价转化) 为两个函数值域! 或最值 之间的关系! 通过对此类问题的研究有助于提升学生的逻辑推理素养和形成良好的数学思维品质!类型#形如( 对任意!#* 都存在$* 使得2%!&3%& 成立)! 例# 已知函数2!#+! )*)*!*+ %3! 6) 8%若对任意!+) !%!, % 总存在+!%#, % 使得2:!+ * !3! 成立% 求实数*的取值范围!解析!由题意知!3%& 在!#( 上的值域为)#!+,! ! 所以!3%& 的值域为)!#!+,4 !令;%&2:%&+ * #+)*%*+& ! 其图象的对称轴为直线)!#!所以当) !)+!#
41、时! 函数;%& 单调递减 当)!#!,!时! 函数;%& 单调递增!所以;%&B : &;)!#)*)*)!#!;%&B C;%!&)*) *+ / !又由题意可知!;%& 的值域是)!#!+,4的子集! 所以)*) *)!#3)!#!)*) *+ / 0 4567!解得) 0*0 ,!所以实数*的取值范围是) !,(!评析!理解全称量词与存在量词的含义! 将此类问题 等价转化# 为 函数2$% 的值域是3$% 的值域的子集# 是解决本题的关键!类型%形如( 存在!#及$* 使得2%!&3%& 成立)! 例% 已知函数2!+ !%!%!,!%)/#+/4% ,%+,!567%3!09 : &
42、4) !01 , % 若存在!+,%!, 及+!%, % 使得2!3! 成立% 则实数0的取值范围是!解析!由题意! 函数2%& 的值域为,!( !3%& 的值域为!0) !槡 #0+,) ! 且两个值域的交集要非空! 可先求交集为空集的情况! 即!0)1!或槡 #0)2,! 且01,! 解得014或, 202槡(#! 所以! 要使两个值域的交集非空! 则实数0的取值范围是槡(#!+,4!评析!此类问题 等价转化# 为 函数2$% 的值域与函数3$%的值域的交集非空#! 本题的解决利用了补集思想! 避免了繁琐的讨论! 当然还应注意01 ,这个前提条件!类型&形如( 对任意!#* 都存在$* 使
43、得2%!&23%& 成立)! 例& 已知函数2! ; !在!(!+,!上是减函数!所以2%&B C2! !( !因为3%& +*在!#( 上是增函数!所以3%&B C3%#& 5 +*!从而 0 5 +*! 则*3) 4 !所以实数*的取值范围是) 4!+7&!评析!此类问题 等价转化# 为2$%B C03$%B C# ! 再分别求出两个函数的最大值! 得关于*的不等式! 就可解得*的取值范围!思考!# 本例中% 若把( 总存在+%#, ) 改成( 任意+%#, ) %其它条件不变% 则实数*的取值范围是!问题( 等价转化) 为(2!B C03!B : &) % 你会求解吗0思考# 本例中%
44、若把( 任意!(%+,!) 改成( 存在!(%+,!) % 其它条件不变% 则实数*的取值范围是!问题( 等价转化) 为(2!B : &03!B C) % 你会求解吗0思考# 若将题中闭区间+%#, 改为开区间!%# % 你是否会正确转化% 规范表达0群资料8 1 2 号! ! )!第!节!函数及其表示! ! 了解构成函数的要素! 会求一些简单函数的定义域和值域! 了解映射的概念 ! 在实际情境中! 会根据不同的需要选择恰当的方法% 如图象法) 列表法) 解析法& 表示函数# ! 了解简单的分段函数! 并能简单地应用% 函数分段不超过三段&! ! 函数与映射的概念函数映射两个集合#%$设#%$
45、是两个 非空数集!设#%$是两个 非空集合!对应关系2#:$如果按照某种确定的对应关系2% 使对于集合#中的 任意!一个数% 在集合$中都有唯一确定!的数2! 和它对应如果按某一个确定的对应关系2% 使对于集合#中的任意!一个元素% 在集合$中都有 唯一确定!的元素(与之对应名称称2.#:$!为从集合#到集合$的一个函数称2.#:$!为从集合#到集合$的一个映射记法函数(2! %#映射#2#:$ ! 函数的定义域$ 值域! 在函数(2! %#中%叫做自变量%的取值范围#叫做函数的 定义域!- 与的值相对应的(值叫做函数值%函数值的 集合#2%&,#$!叫做函数的 值域! ! 如果两个函数的 定
46、义域!相同% 并且 对应关系!完全一致%则这两个函数为同一函数!# ! 函数的表示法表示函数的常用方法有 解析法!$ 图象法和 列表法! !$ ! 分段函数! 若函数在其定义域的不同子集上% 因 对应关系!不同而分别用几个不同的式子来表示% 这种函数称为分段函数! 分段函数的定义域等于各段函数的定义域的 并集!% 其值域等于各段函数的值域的 并集!% 分段函数虽由几个部分组成% 但它表示的是一个函数! ! 函数是特殊的映射% 是定义在非空数集上的映射! ! 直线*!*是常数 与函数(2! 的图象有,个或!个交点!疑误辨析! ! 判断下列结论的正误! 在括号内打(/) 或(*) ! 对于函数2#
47、:$% 其值域是集合$!*!2!槡 ) #+ )槡是一个函数!*!# 若两个函数的定义域与值域相同% 则这两个函数相同!*!教材衍化 ! 必修! - / 2 改编 若函数(2! 的定义域为+&,) 00 % 值域为,&(, ,0(0 % 则函数(2! 的图象可能是!2 ! ! ! !.!2 !3!0# ! 下列各组函数中% 表示同一函数的是!0!.1(+ !和() !) !2 1(,和( !312!和3!+ !012!槡和3!99!槡9考题体验( ! 已知2!/ ; % 则2!.!.1!/; 2 1!; /31!#; 01!; #/ ! 已知函数2! 由下表给出% 则2!2!# ) ! ! !
48、#(2!) #) () !4 ! 已知函数2! 在+)!%, 上的图象如图所示% 则2! 的解析式为2%&+ !) ! 00 ,!)!, 20567!群资料8 1 2 号! ! *!考点一 求函数的定义域! 例# ! 函数2! ! ) (槡+ ; &!#) ! 的定义域为!2 ! ! ! !.1!%+!2 1!#%!,31 )!%!+(01 )!%!+,! 若函数(2! 的定义域是+,%, % 则函数3!2!) !的定义域为,!&! !规律方法! ! 求给定解析式的函数定义域的方法!求给定解析式的函数的定义域% 其实质就是以函数解析式中所含式子! 运算 有意义为准则% 列出不等式或不等式组求解
49、-对于实际问题% 定义域应使实际问题有意义! ! 求复合函数定义域的方法! 若已知函数2! 的定义域为+*%1, % 则复合函数2+3! ,的定义域可由不等式*03!01求出! 若已知函数2+3! , 的定义域为+*%1, % 则2! 的定义域为3! 在+*%1, 上的值域! 训练# ! 函数()槡+ ; &的定义域为!3!.1!) %!2 1+) %!,31!,%!01!,%!,! 设函数2! ; ! ) % 则函数2+2! , 的定义域为!2 !.1!) 6%+72 1!) 6%!31+) 6%+701+) 6%!考点二 求函数的解析式! 例 %!已 知2!槡+( 槡%则2!) (%3 &
50、! ! 已知2! 是二次函数且2!, %2!+ !)2!) !%则2!)#+ ! !# 已 知 函 数2! 的 定 义 域 为 !,%+ 7 % 且2!2! *槡) !% 则2!#槡+!#! !规律方法 求函数解析式的常用方法! 待定系数法# 若已知函数的类型% 可用待定系数法! 换元法# 已知复合函数2+3! , 的解析式% 可用换元法% 此时要注意新元的取值范围!# 构造法# 已知关于2! 与2! 或2!) 的表达式% 可根据已知条件再构造出另外一个等式% 通过解方程组求出2! 训练% ! 已知函数2!* )1!*1, % 且2+2! ,() #% 则2! # ! ! 若2! 满足2!+2
