1、专题10 解三角形经典必刷小题100题任务一:善良模式(基础)1-40题一、单选题1在中，已知，且，则（ ）ABCD【答案】B【分析】由正弦定理得，再由内角和可得角.【详解】由正弦定理及，可得，因为，所以，又，所以，所以，所以.故选：B2在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则角B的大小为（ ）AB或CD或【答案】B【分析】利用余弦定理边化角，进而利用同角三角函数的关系得到的值，即得角B的值.【详解】，即，又，或.故选：B.3在中，已知，则的形状一定是（ ）A等腰三角形B直角三角形C等边三角形D等腰或直角三角形【答案】B【分析】先通过“边化角”，再通过辅助角公式，即可求出答案.【详解】
2、解：由正弦定理得，整理得：即，又因为,所以,所以，移项得：,所以三角形一定为直角三角形.故选：B4已知三边上的高分别为，则（ ）ABCD【答案】C【分析】设面积为，分别将三角形的边用表示，利用余弦定理得出【详解】设面积为，则，故选：C.5满足条件a=4，b=5，A=45的ABC的个数是（）A1B2C无数个D不存在【答案】D【分析】由正弦定理求出角B值的个数.从而得出结论【详解】由正弦定理知无解，即不存在这样的三角形【点睛】由正弦定理求出角B值的个数.很多时候还需要结合“大边对大角”特点.属于中档题6的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则等于（ ）ABCD【答案】D【分析】结合已知条件和
3、正弦定理可得，即，再根据和两角和的正切公式，以及三角形内角之间的关系，即可求出，再根据同角关系即可求出.【详解】由，利用正弦定理得，即，所以，.代入，解得，又，同号，所以，所以.故选：D.【点睛】本题主要考查了正弦定理在解三角形中的应用，同时考查了三角恒等变换以及同角的基本关系，属于基础题.7在四边形中，且，则边的长（ ）ABCD【答案】D【分析】利用二倍角的余弦公式求出，然后利用余弦定理可求得边的长.【详解】，由余弦定理得，因此，.故选：D.【点睛】本题考查利用余弦定理求三角形的边长，同时也考查了二倍角余弦公式的应用，考查计算能力，属于基础题.8已知中内角所对应的边依次为，若，则的面积为（
4、）ABCD【答案】A【分析】由余弦定理可得，结合可得a，b，再利用面积公式计算即可.【详解】由余弦定理，得，由，解得，所以，.故选：A.【点睛】本题考查利用余弦定理解三角形，考查学生的基本计算能力，是一道容易题.9在中，BC边上的高为AD，D为垂足，且BD2CD，则cosBAC（ ）ABCD【答案】A【分析】直接利用三角函数的定义和余弦定理求出结果【详解】依题意设，则因为，所以因为BC边上的高为AD，如图所示所以，即所以根据余弦定理得故选：A【点睛】本题考查了解三角形的问题，关键是掌握余弦定理，属于基础题10中，已知，设D是边的中点，且的面积为，则等于( )A2B4C-4D-2【答案】A【分析
5、】根据正、余弦定理求出；根据三角形面积公式求出；再根据D是边的中点，将，用和表示，再根据数量积的定义，即可求出结果【详解】， ， ，即， ，又角是的内角， 又，即 ，；又D是边的中点.故选：A【点睛】本题考查了正弦定理和余弦定理在解三角形中的应用，同时考查了平面向量基本定理和数量积运算，属中档题11已知的内角，所对的边分别为，且，则是（ ）A直角三角形B等腰直角三角形C等边三角形D等腰三角形或直角三角形【答案】A【分析】利用倍角公式化简边角关系式，再利用正弦定理把关系式转化为角的关系式，化简后可得，从而可得正确选项【详解】因为，故即，由正弦定理可得，故，整理得到.因为，故，从而，而，故.故为直
6、角三角形.故选：A【点睛】在解三角形中，如果题设条件是边角的混合关系，那么我们可以利用正弦定理或余弦定理把这种混合关系式转化为边的关系式或角的关系式.化简中注意三角变换公式的合理使用12在ABC中，内角A，B，C对应的边分别为a，b，c，若acosBbcosAc，则A（ ）ABCD【答案】B【分析】由已知结合正弦定理及和差角公式进行化简即可求解A.【详解】acosBbcosAc，由正弦定理可得，sinAcosBsinBcosAsinC，所以sinAcosBsinBcosAsin（A+B）sinAcosB+sinBcosA，所以sinBcosA0，因为sinB0，所以cosA0，即A，故选:B【
7、点睛】本题主要考查正弦定理、两角和的正弦公式及边化角的技巧，属于基础题.13已知中，BC边上的中线，则的周长为（ ）ABCD【答案】A【分析】在和中，由余弦定理，化简可得；在中，由余弦定理可知，由此可得，由此即可求出的周长.【详解】在和中，由余弦定理，可知，在中，由余弦定理可知，所以的周长为.故选：A.【点睛】本题主要考查了余弦定理在解三角形中的应用，属于中等题.14在中，角的对边分别为，若，且满足，则的值为（ ）A2B3CD【答案】D【分析】利用正弦定理将边化为角，即可求出角，结合向量的数量积即可求解.【详解】根据正弦定理得：即：,又，故选：D.【点睛】本题主要考查正弦定理、两角和的正弦公式
8、及平面向量的数量积，考查边化角的技巧，属于基础题.15ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cos A=，cos C=，a=1，则b=（ ）ABCD【答案】D【分析】由解出,即可求出,由正弦定理即可求得结果.【详解】解: ，且为三角形的内角，又，.故选:D.【点睛】在解有关三角形的题目时,要有意识地考虑用哪个定理更合适,或是两个定理都要用,要抓住能够利用某个定理的信息.一般地,如果式子中含有角的余弦或边的二次式时,要考虑用余弦定理;如果式子中含有角的正弦或边的一次式时,则考虑用正弦定理;以上特征都不明显时,则要考虑两个定理都有可能用到.16在中，则（ ）ABCD【答案】C【分析】由正
9、弦定理可求得,由可知,即可得出.【详解】由正弦定理得，或，因为,所以,所以.故选：C.【点睛】点睛(1)本题主要考查正弦定理解三角形,意在考查学生对该基础知识的掌握水平;(2)解三角形如果出现多解,要利用三角形内角和定理或三角形边角不等关系来检验.17已知在中，角的对边分别为，若，且，则的面积是（ ）ABC或D或【答案】C【分析】由三角形内角和与两角和与差的正弦公式求得，再由同角三角函数关系求得，进而由余弦定理求得a，最后由三角形面积公式求得答案.【详解】因为，即，即，则，所以，故.因为，所以，所以角为锐角，故，由余弦定理可知，解得或.当时，的面积；当时，的面积.故选：C【点睛】本题考查由余弦
10、定理解三角形，并利用任意三角形面积公式求面积，属于简单题.18中，对应的边分别为，三角形的面积为，则边的长为（ ）ABC7D49【答案】C【分析】首先利用三角形的面积公式，求出，再利用余弦定理即可求解.【详解】由，则，解得，在中，由余弦定理可得：，解得.故选：C【点睛】本题考查了三角形的面积公式、余弦定理，需熟记公式与定理，属于基础题.19在中，若，则的形状是（ ）A钝角三角形B直角三角形C锐角三角形D无法判断【答案】A【分析】，利用正弦定理可得，再利用余弦定理即可判断三角形形状.【详解】由，得，由正弦定理，得，所以，故为钝角，所以是钝角三角形.故选：A.【点睛】本题考查利用正余弦定理判断三角
11、形形状，考查学生对定理的灵活运用，是一道容易题.20在中，角所对的边分别是，如果有两组解，那么的取值范围是（ ）ABCD【答案】D【分析】构造关于的余弦定理由此得到关于的方程组，根据三角形解的个数判断方程组解的个数，由此得到关于的不等式组，从而可求的取值范围.【详解】法一：设，则由余弦定理，三角形有两组解，方程有2个不同的正数根，设为，即；法二：有两组解，所以，所以.故选：D.【点睛】本题考查解三角形问题中根据三角形解的个数求解参数范围，难度一般.此类问题常见解答方法：（1）作图法；（2）利用正弦定理分析求解；（3）构造一元二次方程，根据方程根的分布进行分析.二、多选题21不解三角形，则下列对
12、三角形解的个数的判断中正确的是（ ）A，有一解B，有两解C，有两解D，无解【答案】AD【分析】应用正弦定理结合各选项的条件求，由三角形内角的性质即可判断各选项的正误.【详解】A：由正弦定理，又，故只有一个解，正确；B：由正弦定理，又，显然只有一个解，错误；C：由正弦定理，显然无解，错误；D：由正弦定理，显然无解，正确；故选：AD22在中，角，的对边分别为，为中点，为上的点，且为的平分线，下列结论正确的是（ ）ABCD【答案】AD【分析】利用正弦定理、余弦定理、三角形面积公式，结合角平分线的性质逐一判断即可.【详解】解析：由正弦定理可知：又，在中，得A；B；C由角平分线性质可知：D在中，故选：A
13、D23在中，下列结论中正确的是（ ）A若，则B若，则C若，则D若，则【答案】AC【分析】利用大边对大角定理结合正弦定理可判断A选项的正误；利用A选项中的结论结合二倍角的余弦公式可判断B选项的正误；利用余弦函数的单调性可判断C选项的正误；利用特殊值法可判断D选项的正误.【详解】对于A选项，若，则，由正弦定理可得，A对；对于B选项，若，且、，则，则，B错；对于C选项，因为，且余弦函数在上为减函数，故，C对；对于D选项，取，则，此时，D错.故选：AC.24对于ABC，有如下判断，其中正确的判断是（ ）A若cosAcosB，则ABC为等腰三角形B若ABC为锐角三角形，有，则sinAcosBC若a8，c
14、10，B60，则符合条件的ABC有两个D若sin2A+sin2Bsin2C，则ABC是钝角三角形【答案】ABD【分析】对于A，利用余弦定理判断即可，对于B，利用诱导公式判断即可，对于C，利用余弦定理求解判断即可，对于D，利用正弦定理和余弦定理判断即可【详解】对于A：若cosAcosB，则，整理得：ab，故ABC为等腰三角形，故A正确；对于B：若ABC为锐角三角形，有，整理得，故，则sinAcosB，故B正确；对于C：由于a8，c10，B60，利用余弦定理求出，故ABC唯一，故C错误；对于D：sin2A+sin2Bsin2C，利用正弦定理：a2+b2c2，故，故，故ABC是钝角三角形，故D正确.
15、故选：ABD.25在中各角所对得边分别为a，b，c，下列结论正确的有（ ）A则为等边三角形；B已知，则；C已知，则最小内角的度数为；D在，解三角形有两解.【答案】ABC【分析】对选项A，根据正弦定理得到，从而得到，即可判断A正确.对选项B，利用余弦定理即可判断B正确；对选项C，利用余弦定理即可判断C正确，对选项D，由正弦定理即可判断D错误.【详解】对选项A，因为，所以.又因为，所以，即为等边三角形，故A正确.对选项B，因为，所以，所以.又因为，所以，故C正确.对选项C，因为，所以为最小角，又因为，所以，故C正确.对选项D，因为，所以，故不存在，D错误.故选：ABC26在中，三个内角分别为A，B
16、，C，下列结论正确的是（ ）A恒成立B若，则一定是锐角三角形C若，则D若，则三角形必是等腰直角三角形【答案】AC【分析】对于A，利用诱导公式判断即可，对于B，利用余弦定理判断，对于C，利用正弦定理结合大边对大角判断即可，对于D，利用余弦定理转化为边变形判断【详解】对于A，因为中，所以，所以A正确，对于B，因为，所以，所以角为锐角，而不一定是锐角三角形，所以B错误，对于C，因为，所以由正弦定理得，所以，所以C正确，对于D，因为，所以由余弦定理得，整理得，所以，所以或，所以为等腰三角形或直角三角形，所以D错误，故选：AC27在中，为三个内角，的对边，若，则角（ ）ABCD【答案】BD【分析】由余弦
17、定理化边为角即得.【详解】由题得根据余弦定理可知，或故选：BD.28在中，分别为，的对边，下列叙述正确的是（ ）A若，则为等腰三角形B若为锐角三角形，则C若，则为钝角三角形D若，则【答案】BCD【分析】由正弦定理得到，求得或，可判定A不正确；由锐角三角形，得到，结合正弦函数的单调性，可判定B正确；由，得到中一定有一个小于0成立，可判定C正确；由正弦定理和两角和的正弦公式，化简得到，可判定D正确.【详解】对于A中，由，可得，即，因为，可得或，即或，所以为等腰或直角三角形，所以A不正确；对于B中，由为锐角三角形，可得，则，因为，可得，又因为函数在上为单调递增函数，所以，所以B正确；对于C中，因为，
18、由，可得中一定有一个小于0成立，不妨设，可得，所以为钝角三角形，所以C正确；对于D中，因为，由正弦定理可得，因为，可得，所以，可得，因为，可得，所以，即，所以，所以D正确.故选：BCD.29下列结论正确的是（ ）A在中，若，则B在锐角三角形中，不等式恒成立C在中，若，则为等腰直角三角形D在中，若，三角形面积，则三角形外接圆半径为【答案】ABC【分析】运用三角形的性质，结合正弦定理、余弦定理、三角形面积公式逐一判断即可.【详解】解：对于选项：在中，若，根据大边对大角，所以，利用正弦定理，所以，则，故选项正确对于选项：在锐角三角形中，即，故不等式恒成立，故选项正确对于选项：在中，由余弦定理可知：，
19、因此有，即，因为，所以，因此，所以或，即，或（舍去），所以，故C正确对于选项：在中，若，三角形面积所以，解得，所以，由正弦定理，故选项错误故选：30在中，有如下四个命题正确的有（ ）A若，则为锐角三角形B若，则的形状为直角三角形C内一点G满足，则G是的重心D若，则点P必为的外心【答案】BC【分析】对于A，由可得角为锐角，从而可判断，对于B，对两边平方化简，再结合余弦定理可得结论，对于C，由向量加法和共线及三角形重心概念判断，对于D，由向量运算性质和三角形垂心概念可判断【详解】解：对于A，由，得，所以，所以角为锐角，但不能判断三角形为锐角三角形，所以A错误，对于B，因为，所以，即，所以,得，因为
20、，所以，所以三角形为直角三角形，所以B正确，对于C，因为，所以，所以（为的中点），所以三点共线，所以点在边的中线上，同理，可得点在其它两边的中线上，所以G是的重心，所以C正确，对于D，因为，所以，,所以，所以点在边的高上，同理可得点 也在其它两边的高上，所以点为的垂心，所以D错误，故选：BC第II卷（非选择题）三、填空题31在中，内角，的对边分别是，若，则的面积为_.【答案】【分析】由三角形中的射影定理,结合已知条件求得的值，进而得到的值，然后利用余弦定理求得的值，进而利用面积公式求得.【详解】由三角形中的射影定理,结合已知条件，可得,又，由，可得，解得(负值舍去)，三角形的面积为，故答案为：
21、.32在ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，C，c2，D为BC中点，cosB，求AD的长度为_【答案】【分析】利用两角和的正弦公式求得的值，利用正弦定理求得边的值，进而由余弦定理求得.【详解】解：因为cosB，所以sinB，sinAsin（B+C）sinBcosC+sinCcosB，由正弦定理得，所以a2，因为D为BC的中点，BD，ABD中，由余弦定理得AD2AB2+BD22ABBDcosB26，所以AD故答案为：33若，为的三边，且，成等差数列，则的最小值是_.【答案】【分析】将等差中项代入余弦定理，利用不等式放缩可得的最小值【详解】， 则的最小值是故答案为：34已知，分别为三个
22、内角，的对边，角，成等差数列，且，若，分别为边，的中点，且为的重心，则面积的最大值为_.【答案】【分析】利用正弦定理，余弦定理求得，可得面积的最大值，再根据题意及平面几何知识可得，从而得到面积的最大值【详解】角，成等差数列，且，则由余弦定理可知，即分别为边的中点，且为的重心，由平面几何知识可知，面积的最大值为故答案为：35设分别是的内角所对的边，已知，则角的大小为_【答案】【分析】利用正弦定理和三角形内角和为，结合两角和的正弦公式化简，得出角的大小【详解】由正弦定理可得，即化简得，又，则，即角的大小为故答案为：36在中，角，的对边分别为，.若；且，则周长的范围为_.【答案】【分析】先求角，再用
23、余弦定理找到边的关系，再用基本不等式求的范围即可.【详解】解：所以三角形周长故答案为：【点睛】考查正余弦定理、基本不等式的应用以及三条线段构成三角形的条件；基础题.37在中，角、所对的边分别为、，若，则的取值范围是_【答案】【分析】计算出角的取值范围，结合正弦定理可求得的取值范围.【详解】，则，所以，由正弦定理，.因此，的取值范围是.故答案为：.【点睛】本题主要考查了正弦定理，正弦函数图象和性质，考查了转化思想，属于基础题38在中内角，所对的边分别为，面积为，且，则的值为_.【答案】【分析】根据三角形的面积公式以及余弦定理建立方程进行求解即可.【详解】根据题意得，由余弦定理可得，可得.，.故答
24、案为：.【点睛】本题主要考查余弦定理，三角形面积公式以及同角三角函数基本关系式在解三角形中的综合应用，属于基础题.39在中，分别是角，所对的边，且，则的最大值为_【答案】【分析】利用正弦定理边化角化简可求得,则有,则借助正弦函数图象和性质即可求出.【详解】因为，所以，所以所以，因为，所以当时，取得最小值故答案为: .【点睛】本题考查正弦定理,三角函数的图象和性质,属于常考题.40在中，角、所对的边分别为、，若，则角_.【答案】或【分析】利用辅助角公式得出，结合角的取值范围可求出的值，再利用正弦定理可求出角的值.【详解】由可得，所以，则，.由正弦定理得，又因为，所以，所以或.故答案为：或.【点睛
25、】本题考查利用正弦定理求角，在利用正弦定理求角时，可能会存在两解，要注意大边对大角定理的应用，考查计算能力，属于基础题.任务二:中立模式(中档)1-40题一、单选题1在锐角中，角所对的边分别为，且满足，则的取值范围是（ ）ABCD【答案】B【分析】由，根据正弦定理边化角，在消去，可得，利用三角形是锐角三角形，可得，进而求出，对化简，可求出结果【详解】因为，由正弦定理可知， ，又，所以所以，所以即，又是锐角所以，即，所以，解得，所以，所以.故选：B.【点睛】关键点点睛：本题的关键是通过正弦定理和锐角三角形的特点求得，和.2锐角中，角、所对的边分别为、，若，则的取值范围是（ ）ABCD【答案】D【
26、分析】利用余弦定理、正弦定理边角互化思想、两角差的正弦公式，并结合条件得出，根据为锐角三角形得出角的取值范围，可得出的取值范围.【详解】，即，化简得.由正弦定理边角互化思想得，即，所以，是锐角三角形，且，所以，解得，则，所以，因此，的取值范围是，故选D.【点睛】本题考查余弦定理、正弦定理边角互化思想的应用，同时也考查了二倍角公式的应用，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.3已知中，角，所对的边分别是，若，且，则（ ）ABC或D不存在【答案】A【分析】由题意，利用余弦定理和正弦定理，化简求得，再利用降幂公式与和差化积，以及同角的三角函数关系，求得的值【详解】中，；，即；，又，化简得，解得或
27、，故选：A【点睛】本题考查了三角恒等变换应用问题，也考查了正弦、余弦定理的应用问题，是中档题4在中，角、对边分别为、，若，且，则的周长是（ ）ABCD【答案】D【分析】由已知条件求出角的值，利用余弦定理求出、的值，由此可计算出的周长.【详解】，则，由余弦定理得，即，因此，的周长是.故选：D.【点睛】本题考查三角形周长的计算，涉及余弦定理的应用，考查计算能力，属于中等题.5在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若b1，a（2sinBcosC）ccosA，点D是边BC的中点，且AD，则ABC的面积为（）ABC或2D或【答案】D【分析】根据正弦定理先求出A的大小，结合中线的向量公式以及向量
28、数量积的公式进行转化求出c的值进行求解即可【详解】a（2sinBcosC）ccosA，2sinAsinBsinAcosCsinCcosA，即2sinAsinBsinAcosC+sinCcosAsin（A+C）sinB，sinB0，2sinA，即sinA，即A或点D是边BC的中点，平方得，即(b2+c2+2bccosA)，即131+c2+2ccosA，若A，则c2+c120得c3或c4（舍），此时三角形的面积SbcsinA若A，则c2c120得c4或c3（舍），此时三角形的面积SbcsinA，综上三角形的面积为或，故选：D【点睛】本题主要考查三角形的面积的计算，结合正弦定理了以及向量的中点公式以
29、及向量数量积的应用是解决本题的关键6在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则A的取值范围是ABCD【答案】C【分析】先利用正弦定理角化边，再利用余弦定理化简即得解.【详解】由正弦定理可得，故选C【点睛】本题主要考查正弦定理余弦定理解三角形，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.7如图，在离地面高的热气球上，观测到山顶处的仰角为，山脚处的俯角为，已知，则山的高度为（ ）ABCD【答案】C【分析】可知为等腰直角三角形，可计算出的长度，在中，利用正弦定理求出的长度，然后在中，利用锐角三角函数求出，即可得出答案.【详解】根据题意，可得在中，所以，因为在中，由正弦定理，得，在中，故选
30、C.【点睛】本题考查解三角形的实际应用问题，着重考查三角函数的定义、利用正弦定理解三角形等知识，在解题时，要结合三角形已知元素类型合理选择正弦定理和余弦定理解三角形，考查运算求解能力，属于中等题.8在ABC中，若，则（ ）AC的最大值为BC的最大值为CC的最小值为DC的最小值为【答案】A【分析】由商数关系，可得 ，结合辅助角公式，化简整理为，于是，由均值不等式可知，由余弦定理知，将所得结论代入进行运算可得，结合三角形内角关系，即可求解【详解】由题可知， ， 所以， 由正弦定理知， ，所以， 由均值不等式可知，由余弦定理知， 因为，所以，即的最大值为 故选：A【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理的
31、综合运用，采用了角化边的思维，还用到了同角三角函数的商数关系、辅助角公式和均值不等式等基础知识，考查学生的分析能力和运算能力，属于中档题9在钝角中，角所对的边分别为，且，已知，则的面积为（ ）A4B8CD【答案】C【分析】根据已知条件，由正弦定理角化边，得到，由，利用余弦的二倍角公式求得，时推出矛盾，得到，进而结合余弦定理求得,进而利用三角形的面积公式计算可得.【详解】已知，由正弦定理得,，当时，由余弦定理得：，即：, 与联立解得不满足，舍去.，.由余弦定理得：，即：, 与联立解得满足，的面积为,故选：C.【点睛】本题考查正余弦定理在解三角形计算中的综合应用，考查三角形的面积公式，涉及分类讨论
32、思想，属中档题.10已知的面积为1，角的对边分别为，若，则（ ）ABCD【答案】D【分析】由题意结合正弦定理得，由余弦定理得即，再由可得，根据正弦定理得，则即可得解.【详解】由得，则，由可得，由得，由正弦定理知，即，所以.故选：D.【点睛】本题考查了正弦定理、余弦定理与三角形面积公式的综合应用，考查了运算能力与转化化归思想，属于中档题.11已知的外心为，且，则的值为（ ）ABCD【答案】A【分析】设的中点为，根据，得到，从而有，三点共线，得到是等腰三角形，再根据求解.【详解】设的中点为，根据题意可得，三点共线，如图所示：，且，在中，所以，在中，由余弦定理得.故选：A.【点睛】本题主要考查余弦定
33、理在平面几何中的应用以及三角形的外接圆问题，还考查了运算求解的能力，属于中档题.12已知三内角的对边分别为，且，若角平分线段于点，且，则的最小值为（ ）ABCD【答案】B【分析】由已知，易得，再利用得到，即，再利用“1”的替换即可得到答案.【详解】由及正弦定理，得，因，所以，即，又，所以.如图，所以，所以，即.，当且仅当，即时，等号成立所以的最小值为9.故选：B【点睛】本题考查正弦定理在解三角形中的应用，涉及到基本不等式求最值，考查学生的数学运算求解能力，是一道中档题.13中，角、的对边分别为，且，若，则的值为（ ）A6B2C5D【答案】A【分析】由正弦定理，两角和的正弦公式化简已知等式可得，
34、结合，可求得，结合范围，可求，从而根据余弦定理，解方程可求的值【详解】解：，由正弦定理可得：，可得，由余弦定理，可得，可得，解得，（负值舍去）故选：A【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理的综合应用，其中着重考查了正弦定理的边角互化、余弦定理的解三角形，难度一般.利用边角互化求解角度值时，注意三角形内角对应的角度范围.14在中，、分别为内角、所对的边，且满足，若点是外一点，则平面四边形面积的最大值是（ ）ABCD【答案】B【分析】利用正弦定理边角互化思想化简得出，进而可得出是等边三角形，利用余弦定理求得，然后利用三角形的面积公式可得出四边形的面积关于的函数关系式，利用三角恒等变换化简函数解析式，结
35、合正弦函数的基本性质可求得结果.【详解】，由正弦定理得，即，即，由正弦定理得，又，所以，为等边三角形，则，当时，即当时，四边形的面积取最大值.故选：B.【点睛】四边形的面积往往转化为两个三角形面积之和，从而所求问题转化为三角函数的有界性问题，结合条件易得结果.15已知外接圆的半径，且.则周长的取值范围为（ ）ABCD【答案】C【分析】由及倍角公式可得，再由余弦定理可得，再利用基本不等式及三角形两边之和大于第三边求出的取值范围即可得到答案.【详解】由题意，即，可化为，即，因为，所以，即，设的内角，的对边分别为，由余弦定理得，因为（当且仅当时取“=”），所以，即，又因为，所以，故，则，又因为，所以
36、，即.故周长的取值范围为.故选：C【点睛】本题考查利用余弦定理求三角形周长的取值范围，涉及到辅助角公式、基本不等式求最值，考查学生的运算求解能力，是一道中档题.16已知椭圆的离心率为，左，右焦点分别为，过左焦点作直线与椭圆在第一象限交点为P，若为等腰三角形，则直线的斜率为ABCD【答案】A【分析】根据点在第一象限，得，根据离心率为得，再按照和两种情况讨论，利用余弦定理和同角公式可求出直线的斜率.【详解】因为点在第一象限，所以，因为，所以，当时，满足，所以，所以，所以直线的斜率为，当时，不符合题意.综上所以直线的斜率为.故选：A【点睛】本题考查了分类讨论思想，考查了椭圆的定义，考查了余弦定理、同
37、角公式，斜率的定义，属于中档题.17设向量，满足，则的最大值等于A4B2CD1【答案】A【分析】首先利用向量的数量积可得向量与的夹角为，令，利用向量的减法可得，从而可得四边形有外接圆，的最大值为四边形的外接圆直径，再利用正弦定理即可求解.【详解】因为，所以向量与的夹角为，如图，令，则，,由，得,所以，所以四边形有外接圆，所以的最大值即为四边形的外接圆直径，因为，所以由余弦定理得，设四边形的外接圆半径为，由正弦定理可得，所以的最大值为.故选：A【点睛】本题考查了向量的数量积求夹角、向量的减法、正弦定理求外接圆半径，属于中档题.18已知在中，角的对边分别是，点在内部，且满足，若，则（ ）A3B6C
38、7D【答案】D【分析】由已知利用正弦定理及逆用和角公式可求得,设,可证得由对应边成比例可得,在中,利用余弦定理得: ,可解得,即可求得结果.【详解】, ,即,由.得.设,则，在中,利用余弦定理得: ,解得,则, .故选:D.【点睛】本题考查正余弦定理在解三角形中的应用,考查学生的逻辑推理能力和计算能力,难度一般.19在中，则的最大值为ABCD【答案】B【分析】利用正弦定理和三角恒等变换思想将表示为角为自变量的正弦型函数，利用正弦函数的有界性可得出的最大值.【详解】设的外接圆半径为， ，则，所以，其中，所以的最大值为.故选：B.【点睛】本题考查三角形中的最值问题，一般利用正弦定理结合三角恒等变换
39、将代数式变形为以某角为自变量的三角函数来求解，考查化归与转化思想的应用，属于中等题.20如图，在中，点D在线段BC上，且，则的面积的最大值为（ ）AB4CD【答案】C【分析】设，则，根据三角形的面积公式求出AC，AB，然后由，根据三角函数的性质求出面积的最大值【详解】解：设，则，同理，其中，当时，故选：C【点睛】本题考查了余弦定理和三角恒等变换，以及三角形的面积公式，考查了运算能力和转化能力，属于中档题二、多选题21已知的外接圆半径，则下列说法正确的是（ ）A的最小值为B的最小值为C的周长的最小值为D的面积的最大值为【答案】ABD【分析】利用正弦定理，求出范围，从而求出的范围，结合余弦定理，三
40、角形面积公式,即可求解.【详解】在中，设角所对的边分别记作，,又的外接圆半径，由正弦定理得：,又B、C不会同为钝角，故,又,故B选项对.由上得:，由余弦定理得：，的最小值为，故A选项对，C选项错.由上得：，又,的面积的最大值为,故D选项对，故选：ABD.【点睛】本题综合考查了正、余弦定理及三角形面积公式，属于中档题.22在中，角，所对的边分别为，.若，角的角平分线交于点，以下结论正确的是（ ）ABCD的面积为【答案】ACD【分析】首先根据余弦定理，并结合条件判断，并根据二倍角公式得到，依次计算的值，根据面积比值，判断C和D.【详解】解析：在中，根据余弦定理得，即，所以.由倍角公式得，解得.在中，故选项A正确在中，解得.故选项B错误；，解得，故选项C正确；在中，由得，所以，故选项D正确故选：ACD【点睛】本题考查判断
