1、专题06椭圆模型椭圆秒杀小题常用结论(1)椭圆定义：|MF1|MF2|2a(2a|F1F2|)如图(1) 图(1)图(2)图(3) 图(4)(2)点P(x0，y0)和椭圆1(ab0)的关系P(x0，y0)在椭圆内1(3)如图(5)，椭圆的通径(过焦点且垂直于长轴的弦)长为|AB|，通径是最短的焦点弦过焦点最长弦为长轴过原点最长弦为长轴长2a，最短弦为短轴长2b图(5)图(6) 图(7)(4)焦点三角形：椭圆上的点P(x0，y0)与两焦点F1，F2构成的PF1F2叫做焦点三角形若r1|PF1|，r2|PF2|，F1PF2，PF1F2的面积为S，则在椭圆1(ab0)中如图(6)：PF1F2的周长为
2、2(ac)Sb2tan(5)如图(7)P为椭圆1(ab0)上的动点，F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，当椭圆上点P在短轴端点时与两焦点连线的夹角最大(6)P为椭圆1(ab0)上的点，F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，则P到焦点的最长距离为ac，最短距离为ac(7)如图(8)设P，A，B是椭圆1(ab0)上不同的三点，其中A，B关于原点对称，则kPAkPBe21图(8)图(9)(8)如图(9)设A，B是椭圆1(ab0)上不同的两点，P为弦AB的中点，则kABkOPe21【例题选讲】例1(1)(2019全国)设F1，F2为椭圆C：1的两个焦点，M为C上一点且在第一象限若MF1F2为等腰三角形，则M
3、的坐标为_答案(3，)解析设F1为椭圆的左焦点，分析可知M在以F1为圆心、焦距为半径长的圆上，即在圆(x4)2y264上因为点M在椭圆1上，所以联立方程可得解得又因为点M在第一象限，所以点M的坐标为(3，)(2)已知椭圆E：1，直线l交椭圆于A，B两点，若AB的中点坐标为，则l的方程为()A2x9y100B2x9y100C2x9y100D2x9y100答案D解析设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则1，1，两式作差并化简整理得，而x1x21，y1y22，所以，直线l的方程为y1，即2x9y100.经验证可知符合题意故选D(3)设椭圆1(ab0)的左右焦点分别为F1、F2，上下顶点分别为A、B
4、，直线AF2与该椭圆交于A、M两点若F1AF2120，则直线BM的斜率为()ABCD答案B解析由题意，椭圆1(ab0)，且满足F1AF2120，如图所示，则在AF2O中，|OA|b，|AF2|a，且OAF260，所以a2b，不妨设b1，则a2，所以c，则椭圆的方程为y21，又由A(0,1)，F2(，0)，所以kAF2 ，所以直线AF2的方程为yx1，联立方程组，整理得7x28x0，解得x0或x，把x代入直线yx1，解得y，即M ，又由点B(0，1)，所以BM的斜率为kBM，故选B(4)已知P为椭圆C：1上的一个动点，F1，F2是椭圆C的左、右焦点，O为坐标原点，O到椭圆C在P点处的切线距离为d
5、，若|PF1|PF2|，则d_答案解析法一：因为点P在椭圆上，所以有|PF1|PF2|4，又因为|PF1|PF2|，由余弦定理可得cosF1PF2，所以有sinF1PF2，所以F1PF2的面积为S2yp，解得yp，因为点P在椭圆上，所以xp所以过该点的椭圆的切线方程为1，即为xy所以原点O到直线的距离为d法二：设P(m，n)，则切线方程为1，即3mx4ny120所以原点O到该切线的距离d因为点P(m，n)在椭圆上，所以1，所以有n23，所以d因为|PF1|PF2|，所以有 ，即有 4m2，解得16m2，所以d(5)已知直线MN过椭圆y21的左焦点F，与椭圆交于M，N两点，直线PQ过原点O与MN
6、平行，且与椭圆交于P，Q两点，则_答案2解析方法一特殊化，设MNx轴，则|MN|，|PQ|24，2方法二由题意知F(1，0)，当直线MN的斜率不存在时，|MN|，|PQ|2b2，则2；当直线MN的斜率存在时，设直线MN的斜率为k，则MN的方程为yk(x1)，M(x1，y1)，N(x2，y2)，联立方程整理得(2k21)x24k2x2k220，8k280由根与系数的关系，得x1x2，x1x2，则|MN|直线PQ的方程为ykx，P(x3，y3)，Q(x4，y4)，则解得x2，y2，则|OP|2xy，又|PQ|2|OP|，所以|PQ|24|OP|2，所以2综上，2(6)已知点P(x，y)在椭圆1上，
7、F1，F2是椭圆的两个焦点，若PF1F2的面积为18，则F1PF2的余弦值为_答案解析椭圆1的两个焦点为F1(0，8)，F2(0，8)，由椭圆的定义知|PF1|PF2|20，两边平方得|PF1|2|PF2|22|PF1|PF2|202，由余弦定理得|PF1|2|PF2|22|PF1|PF2|cosF1PF2162，两式相减得2|PF1|PF2|(1cosF1PF2)144又SPF1F2|PF1|PF2|sinF1PF218，所以1cosF1PF22sinF1PF2，解得cosF1PF2(7)在平面直角坐标系xOy中，直线xy20与椭圆C：1(ab0)相切，且椭圆C的右焦点F(c，0)关于直线l
8、：yx的对称点E在椭圆C上，则OEF的面积为()ABC1D2答案C解析联立方程可得消去x，化简得(a22b2)y28b2yb2(8a2)0，由0得2b2a280设F为椭圆C的左焦点，连接FE，易知FEl，所以FEEF，又点F到直线l的距离d，所以|EF|，|FE|2a|EF|，在RtFEF中，|FE|2|EF|2|FF|2，化简得2b2a2，代入2b2a280得b22，a2，所以|EF|FE|2，所以SOEFSFEF1(8)如图所示，A1，A2是椭圆C：1的短轴端点，点M在椭圆上运动，且点M不与A1，A2重合，点N满足NA1MA1，NA2MA2，则()ABCD答案C解析由题意以及选项的值可知：
9、是常数，取M为椭圆的左顶点，由椭圆的性质可知N在x的正半轴上，如图：则A1(0，2)，A2是(0，2)，M(3，0)，由OMONOA，可得ON，则，故选C【刨析训练】1已知椭圆1上的两点A，B关于直线2x2y30对称，则弦AB的中点坐标为_1答案解析设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，弦AB的中点M(x0，y0)，由题意得两式相减得0，因为点A，B关于直线2x2y30对称，所以kAB1，故0，即x04y0.又点M(x0，y0)在直线2x2y30上，所以x02，y0，即弦AB的中点坐标为.2已知椭圆C：9x2y2m2(m0)，直线l不过原点O且不平行于坐标轴，l与C有两个交点A，B，线段AB
10、的中点为M，则直线OM与直线l的斜率之积为()A9BCD32答案A解析设直线l：ykxb(k0，b0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(xM，yM)将ykxb代入9x2y2m2，得(k29)x22kbxb2m20，故xM，yMkxMb，故直线OM的斜率kOM，所以kOMk9，即直线OM与直线l的斜率之积为93P为椭圆1上一点，F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，过P点作PHF1F2于点H，若PF1PF2，则|PH|()A BC8D3答案D解析由椭圆1得a225，b29，则c4，|F1F2|2c8由椭圆的定义可得|PF1|PF2|2a10，PF1PF2，|PF1|2|PF2|2642|PF
11、1|PF2|(|PF1|PF2|)2(|PF1|2|PF2|2)1006436，|PF1|PF2|18又SPF1F2|PF1|PF2|F1F2|PH|，|PH|故选D4已知ABC的顶点B，C在椭圆y21上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC边上，则ABC的周长是()A2B6C4D124答案C解析依题意，记椭圆的另一个焦点为F，则ABC的周长等于|AB|AC|BC|AB|AC|BF|CF|(|AB|BF|)(|AC|CF|)4，故选C5设F1，F2为椭圆1的两个焦点，点P在椭圆上，若线段PF1的中点在y轴上，则的值为()ABCD5答案B解析由题意知a3，b由椭圆定义知|PF1|P
12、F2|6在PF1F2中，因为PF1的中点在y轴上，O为F1F2的中点，由三角形中位线的性质可推得PF2x轴，所以由xc时可得|PF2|，所以|PF1|6|PF2|，所以，故选B6已知椭圆C：1(ab0)及点B(0，a)，过点B与椭圆相切的直线交x轴的负半轴于点A，F为椭圆的右焦点，则ABF()A60B90C120D1506答案B解析由题意知，切线的斜率存在，设切线方程ykxa(k0)，与椭圆方程联立消去y整理得(b2a2k2)x22ka3xa4a2b20，由(2ka3)24(b2a2k2)(a4a2b2)0，得k，从而yxa交x轴于点A，又F(c，0)，易知0，故ABF907已知椭圆1的两个焦
13、点是F1，F2，点P在该椭圆上，若|PF1|PF2|2，则PF1F2的面积是()AB2C2D7答案A解析由椭圆的方程可知a2，c，且|PF1|PF2|2a4，又|PF1|PF2|2，所以|PF1|3，|PF2|1又|F1F2|2c2，所以有|PF1|2|PF2|2|F1F2|2，即PF1F2为直角三角形，且PF2F1为直角，所以SPF1F2|F1F2|PF2|218设P为椭圆C：1上一点，F1，F2分别是椭圆C的左、右焦点，且PF1F2的重心为G，若|PF1|PF2|34，那么GPF1的面积为()A24B12C8D68答案C解析P为椭圆C：1上一点，|PF1|PF2|34，|PF1|PF2|2a14，|PF1|6，|PF2|8，又|F1F2|2c210，易知PF1F2是直角三角形，SPF1F2|PF1|PF2|24，PF1F2的重心为点G，SPF1F23SGPF1，GPF1的面积为8，故选C
