1、20232024学年度下学期2021级5月模拟考试数学试卷命题人：刘超 审题人：黄华清考试时间：2024年5月4日第卷（选择题 共58分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1已知z=i1+2i，则z的虚部为（ ）A2 B 1 C2i D i2抛物线过点2,1，则的准线方程为（ ）Ax=1 B y=1 C x=2D y=23已知向量a=2,4,b=3,1，则“k=2”是“a+kbakb”的（ ）A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C 充分必要条件 D 既不充分也不必要条件4已知a0,，sin+cos=15，tan2= ( ) A
2、127 B 127 C 247 D 2475为了迎接2025年第九届亚冬会的召开，某班组织全班学生开展有关亚冬会知识的竞赛活动已知该班男生35人，女生25人根据统计分析，男生组成绩和女生组成绩的方差分别为，该班成绩的方差为，则下列结论中一定正确的是（ ）A B C D 6我国古代典籍周易用“卦”描述万物的变化，每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“”和阴爻“”，如图就是一重卦在所有重卦中随机取一重卦，记事件A= “取出的重卦中至少有1个阴爻”，事件B= “取出的重卦中至少有3个阳爻”则PBA=（ ）A 516 B 1132 C 4163 D 15647在边长为4的正三角形中，E，
3、F分别是，的中点，将沿着翻折至，使得，则四棱锥的外接球的表面积是（ ）ABCD8在同一平面直角坐标系内，函数y=fx及其导函数y=fx的图象如图所示，已知两图象有且仅有一个公共点，其坐标为0,1，则（ ）A 函数y=fxex的最大值为1 B 函数y=fxex最小值为1C 函数y=fxex的最大值为1 D 函数y=fxex最小值为1二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分9已知fx=Asinx+A0,0,02的部分图象如图所示，则（ ）A f0=1B fx在区间43,116单调递减C fx在区间3,5
4、6值域为1,3D fx在区间2,2有3个极值点10已知正四棱锥的所有棱长均相等，O为顶点S在底面内的射影，则下列说法正确的有（ ）A 平面SAD平面B 侧面内存在无穷多个点P，使得OP/平面C 在正方形ABCD的边上存在点Q，使得直线SQ与底面所成角大小为3D 动点M,N分别在棱AB和BC上（不含端点），则二面角SMNO的范围是4,211已知定义在R上的函数fx在区间1,0上单调递增，且满足f4x=fx，f2x=fx，则（ ）Ak=110fk=0 Bf0.9+f1.20C Dfsin10fx+2,x0，则flog3116=_13已知A1,0,B4,0,PB=2PA，若平面内满足到直线l:3x+
5、4y+m=0的距离为1的点P有且只有3个，则实数m=_14有序实数组称为n维向量，为该向量的范数，范数在度量向量的长度和大小方面有着重要的作用已知n维向量，其中记范数为奇数的a的个数为An，则A4=_；_（用含n的式子表示）四、解答题：本题共5小题，共77分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤15（13分）已知函数f(x)ax1xln x的图象在x1处的切线与直线xy0平行（1）求函数f(x)的单调区间；（2）若x1，x2(0，)，且x1x2时，f(x1)f(x2)m(xx)，求实数m的取值范围16（15分）面试是求职者进入职场的一个重要关口，也是机构招聘员工的重要环节某科技企业招聘员工，首
6、先要进行笔试，笔试达标者才能进入面试面试环节要求应聘者回答3个问题，第一题考查对公司的了解，答对得1分，答错不得分；第二题和第三题均考查专业知识，每道题答对得2分，答错不得分（1）根据近几年的数据统计，应聘者的笔试得分服从正态分布，要求满足为达标现有1000人参加应聘，求进入面试环节的人数（结果四舍五入保留整数）（2）某进入面试的应聘者第一题答对的概率为，后两题答对的概率均为，每道题是否答对互不影响，求该应聘者的面试成绩的分布列与数学期望附：若，则，17 （15分）如图，在三棱柱中，点D在棱AB上且，为的中点，平面（1）求证：；（2）若，求二面角的余弦值18（17分）已知椭圆的上顶点为B，右焦
7、点为F，点B、F都在直线上（1）求椭圆的标准方程；（2）若圆的两条相互垂直的切线均不与坐标轴垂直，且直线分别与相交于点A，C和B，D，求四边形面积的最小值19（17分）已知数列的各项均为正整数，设集合，记T的元素个数为（1）若数列，且，求数列和集合T；（2）若是递增的等差数列，求证：；（3）请你判断是否存在最大值，并说明理由高三年级5月模拟考试数学答案1B 2 B 3 A 4 C 5D 【详解】设该班男生组成绩和女生组成绩的平均分分别为，两个班的总的平均分为，则， 故选：D6C 7C8C 【详解】AB选项，由题意可知，两个函数图像都在x轴上方，任何一个为导函数，则另外一个函数应该单调递增，判断
8、可知，虚线部分为y=fx，实线部分为，故y=fxex+fxex=fx+fxex0恒成立，故在R上单调递增，则A，B显然错误，对于C，D，由图像可知x(,0)，y=f(x)f(x)ex0恒成立，故y=f(x)ex单调递增，当x(0,+)，y=f(x)f(x)ex12所以SEO0，可得0xe，由f(x)e，则f(x)在(0，e)单调递增，在(e，)单调递减(2)若x1，x2(0，)，当x1x2时，有f(x1)f(x2)mxmx，即有 f(x1)mxf(x2)mx恒成立，设g(x)f(x)mx2，所以g(x)f(x)mx2在(0，)为增函数，即有g(x)1ln x2mx0对x0恒成立，可得2m对x0
9、恒成立，令h(x)，则h(x)，令h(x)0，可得xe2，所以h(x)在(0，e2)单调递减，在(e2，)单调递增，即有h(x)在xe2处取得极小值，且为最小值，可得2m，解得m，则实数m的取值范围是16（本题满分15分）解：（1）因为服从正态分布，所以因为，所以，所以因此，进入面试的人数约为159（2）由题意可知，的可能取值为则； 所以的分布列为：012345所以17 【答案】(1)证明见解析；(2)【详解】（1）在三棱柱中，则，由，得，在中，由余弦定理，得，于是，由平面平面，得，而平面，因此平面，又平面，所以，6分（2）由（1）知，两两垂直，以为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，由，得
10、，则，于是，设为平面的一个法向量，则，取，得，显然为平面的一个法向量，因此，显然二面角的大小为锐角，所以二面角的余弦值为13分18（1） （2）【详解】（1）设椭圆的半焦距为，由已知点的坐标为，点的坐标为，因为点B、F都在直线上，所以，又，所以，所以椭圆的方程为：，5分（2）【小问2详解】由题知的斜率存在且不为0设因为与圆相切，所以，得联立与的方程，可得，设，则，所以，将代入，可得用替换，可得四边形的面积令，则，可得，再令，则，可得，即四边形面积的最小值为19解:（1）因为，且，所以，均不相等，所以都是集合T中的元素因为，所以可得，所以数列（2）因为为递增的等差数列，设的公差为，当时，所以，所以（3） 存在最大值，理由如下:由题意集合中的元素个数最多为个，即取，此时，若存在，则，其中，故，若，不妨设，则，而，故为偶数，为奇数，矛盾、故，故，故由得到的彼此相异，故，即的最大值为因此必有最大值
