1、第四章 若干数学观点中的数学 文化 第二节 “ 类比”的观点 1 一、什么是类比 类比，是根据两个（或两类）对象之间在某些 方面的相似或相同，从而推出它们在其它方面也可 能相似或相同的一种推理方法，也是一种观点。 类比的推理是一种“合情推理”，不是证明，它 无法保证已知相同的属性与推出的属性之间有必然 的联系。但是，它是获得新思路，新发现的一种观 点、一种手段。 2 二、插值问题中的类比 1问题：有函数不知其式，在 处取值 ，在 处取值 ，在 处取值 ， 问函数（解析式）为何？ 2类比：有物不知其数，三三数之剩 ，五五数之剩 ，七七数之剩 ，问物几何 ？ 3 这是我们在前面“韩信点兵与中国 剩
2、余定理”一节中已经解决的问题。当时 我们有一种成功的方法,叫“单因子构件凑 成法”。这种方法是：对每个要素分别做 出一个构件，叫单因子构件，再把它们凑 在一起，从而解决问题。 4 具体说是：先找到用3除余1、用5和 7除均能除尽的数 70；再找到用5 除余1、用3和7除均能除尽的数 21 ；找到用7除余1、用3和5除均能除尽的 数 15；然后算出 3，5，7 = 105 。 最后令 ，即为所求。 5 3插值问题的解法 通过类比，发现插值问题（有函数不知其 式的问题）与“有物不知其数的问题”结构相 同，因此可以考虑用“单因子构件凑成法”： 先作函数 ，在 处值为1，在 处 值均为0 ；再作函数
3、，在 处值为1， 在 处值均为0 ；再作函数 ，在 处值为1，在 处值均为0 。 6 即 ， ； ， ； ， ，那么 就是所求的函数。 7 原问题：有物不知其数，三三数之剩 ，五五数之剩 ，七七数之剩 ，问物几何？ 现问题：有函数不知其式，在 处取值 ，在 处取 值 ，在 处取值 ， 问函数（解析式）为何？ 原问题的解 现问题的解 8 下边求 。 最简单的是 用多项式的方法。比如设 是一个多项式， 则据条件 知，它有两个一 次因式，可令 ，再用条件 去求 。 ， 。 故 。 9 同理，可求出 ， 。 于是得: 10 经验证，它符合要求，称为插值公式。 即该函数在 三点，插进去的都是 预 先指定
4、的值 。 它简单，明快，可顺利地推广到任意 有限多个点插值的情况。这样，就可以用 一个连续的函数去拟合离散的测量结果。 11 华罗庚由此联想到如何解决具有类似结构的各种问 题。正是他把上述解决问题的基本思想称为“单因子构件 凑成法”，并概括成如下的“合成原则”：要做出具有平行 的、类似的几个性质A，B，C的一个数学结构，而A，B ，C分别以某种 量刻划，这时，可用“单因子构件 凑成法”：先作B，C不发生作用，而A取单位量的构件， 再作C，A不发生作用，B取单位量的构件；再作A、B不 发生作用，C取单位量的构件。然后用这些构件凑出所求 的结构。这个原则在有的书里称为“孙子华原则”。 体现 了“化
5、繁为简”的思想。 12 思：如何用“类比”的观点， 推广 “现问题”的上述解答： 13 原问题：有物不知其数，三三数之剩 ，五五数之剩 ，七七数之剩 ，问物几何？ 现问题：有函数不知其式，在 处取值 ，在 处取 值 ，在 处取值 ， 问函数（解析式）为何？ 原问题的解 现问题的解 14 三、分割问题中的类比 1 问题： 5个平面最多把空间分为几个部分？ 平面互相尽可能多地相交，才能分割最多。如果5 个平面全都平行，那末空间分成的是6部分，就较少。 但5个平面如何相交最多以致分割最多，一时也想不清 楚，我们想起从“抓三堆”趣味问题中学到的数学思想， 先把问题一般化，再把问题特殊化，逐渐找规律。
6、15 2问题一般化： n个平面最多把空间分为几个部分 ？ 记分为 个部分;再令 把问题特殊化。 16 3问题特殊化： 从简单的情况做起，以便“类比” 4个平面的情况不易想清楚了。但想到要使 平面相交最多，才能把空间分割最多。平面相 交最多，有两个含义，一是每个平面都与其它 所有平面相交，且任意三个平面都只交于一点；二是每个 平面都不过它以外任意三个平面的交点。 17 由此我们想到了空间的四面体，这似乎是四个平面 相交最多（从而分割最多）的情况，把四面体的四个面延 展成四个平面，是否就能把空间分为最多的部分呢？ 到底现在把空间分成了几个部分呢？ 暂难想象。 由此我们想到去类比 “直线分割平面”的
7、情形。 18 4 类比3条直线分割平面的情形 这也可以看成是把三角形的三条边均 延长为直线，看这3条直线把平面分为几 部分。数一数，是7部分。这对我们有什 么启示？ 19 20 我们分析一下这7个部分的特点： 一个是有限的部分，在三角形内部，即 ；其 余六个是无限的部分，其中，与三角形 有公共顶点，与三角形有公共边。 把它们加起来，于是1+3+3=7。 所以3条直线分割平面，最多分为7个部分。 21 5 类比考虑四面体的四个面延展成4个平面，把空间分为几 个部分：有限部分（四面体内部）数为1；无限部分与原 四面体或有一个公共顶点（有4个部分），或有一条公共 棱（有6个部分），或有一个公共面（有
8、4个部分），于是 所分空间总的部分数为 1+4+6+4 = 15 。 以下仍要考虑 这就是一开始提出的问题：5个平面最多把空间分为几个 部分？ 22 这一问题在平面上的类似问题是什么？是5条还是4条 直线分割平面？又如何类比？想不清楚了。对我们来说 ，不如在“一般情形”下考虑问题： 个平面分割空间和 条直线分割平面。 条直线“处于一般位置”的要求也可以说是：任何两 条直线都相交；任何三条直线都不共点。 个平面“处于一般位置”的要求是：任两平面都相交 ，且任意三个平面都只交于一点；每个平面都不过它以 外任意三个平面的交点。 23 进而，我们再类比直线上的问题： 个一般位置的点分 割直线的问题。
9、这一问题的结论比较清楚： 个点最多把直线分为 个部分。 这对我们会有启发。 如果我们把极端情况有零个分割元素的情况 也考虑在内，那么被“分割”成的部分数是1。 下图综合列出点分直线、直线分平面、平面分空间的已 取得的结果。 24 6 类比一般化 （解释记号 ，然后看图） 分割元素 个 数 被分成的部分数 点分直 直分平面 平面分空 0 1 1 1 1 2 2 2 2 3 4 4 3 4 7 8 4 5 15 5 6 25 于是，我们得到了一系列待解决的问 题。弧立的问题有时难于理解，而解决系 列问题有时比解决弧立问题好入手。 现在，原问题 “ ” 已处在系列问题之 中，比之原来的情形，求解已有进展。 26 7（用类比的观点）猜想 观察上表中已得到的结果，看看表中的数字间有什么联系？其中 有什么规律性？ 从最右一列，先以为有“2的方幂”的规律，但8后边的 表明这个猜想不对。 反复求索的结果，我们可能忽然看到表中有 3 4； 7 8 7 15 ， 以及联想到 3 + 4 = 7，7 + 8 = 15。 这是一个独特的联系：表中已出现的每个数都可由它“头上”的数 与“左肩”上的数相加而得到。 27 表中已出现的每个数都可由它“头上”的数与“左肩”上的数相 加而得到。 分割元素 个 数
