1、开始 学案5 基本不等式： 学点一 学点二 学点三 学点四 学点五 返回目录 a=b a=b 1.一般地，对于任意实数a,b，我们有a2+b22ab， 当且仅当 时，等号成立. 2.如果a0,b0，那么有 ,当且仅 当 时，等号成立. 3.我们常把 叫做正数a,b的算术平均数， 把 叫做正数a,b的几何平均数. 返回目录 学点一 基本不等式 设a,bR+，试比较 的大小. 【分析】 返回目录 【解析】 返回目录 返回目录 返回目录 【评析】（1）题中 分别叫做 正数a,b的调和平均数、几何平均数、算术平均数、平方平 均数，由本题可得一般性结论： 调和平均数几何平均数算术平均数平方平均数. （2
2、）此组关系应用广泛，可称作广义二元均值定理， 要熟记. 返回目录 下列不等式：x+ 2; 2;若0x1y,则 logxy+logyx-2;若0x2，求 的最小值； （3）已知0x0,x+2y=1,求 的最小值; (3)已知x0,y0,且5x+7y=20,求xy的最大值; (4)已知x，yR+,且 =1,求x+y的最小值; (5)已知x0). (2)x0, 225x+ =10 800. 返回目录 y=225x+ -36010 440.当且仅当225x= 时，等号成立. 即当x=24 m时，修建围墙的总费用最小，最小总费用 是10 440元. 【评析】解应用题应注意两个问题：一是读懂题意， 建立数
3、学模型，即通过题中已知的数量关系，把应用题转 化为单纯的数学问题；二是建模后求解问题，即用相关的 数学知识将其解答出来. 返回目录 A地产汽油，B地需要汽油.运输工具沿直线AB从A地到B地运 油，往返AB一趟所需的油耗太大.如果在线段AB之间的某地 C（不与A，B重合）建一油库可选作中转站，即可由这种运 输工具先将油从A地运到C地，然后再由同样的运输 工具将油从C地运到B地.设 =x，往返A，C一趟所 需的油耗等于从A地运出总油量的 .往返C，B一趟 所需的油耗等于从C地运出总油量的 .不计装卸中的损 耗，定义：运油率P= . 请判断是否选址C为AB中点时从A地经过C中转再运油到B地 的运油率
4、最大？ 返回目录 解：该题考查函数的应用问题，解决问题的关键是 “情景”和“数式”间的相互转化，再结合数学结果解 释实质问题即可，要关注解题过程中“均值不等式”的 巧妙应用. 设从A地运出的油量为a,则C地收到的油量为 ,B地收到的油量为 . 故运油率 当且仅当 ，即x= 时，取“=”.又 , 当C地为AB中点时，运油率P最大. 返回目录 返回目录 学点四 基本不等式的综合应用 要设计一张矩形广告，该广告含有 大小相等的左右两个矩形栏目（即 图3-5-2中阴影部分），这两栏的 面积之和为18 000 cm2，四周空白 的宽度为10 cm，两栏之间的中缝 空白的宽度为5 cm，怎样确定广告 的高
5、与宽的尺寸（单位：cm）能使广告面积最小？ 【分析】根据题意合理建立关系，转化为数学问题是 关键. 图3-5-2 返回目录 【解析】 返回目录 返回目录 【评析】使用基本不等式解决实际问题中的最值问题 一定要确保等号成立. 返回目录 为了竖一块广告牌，要制造三角形支 架.三角形支架如图3-5-3所示，要求 ACB=60,BC长度大于1米,且AC 比AB长0.5米.为了广告牌稳固，要 求AC的长度越短越好，求AC最短为 多少米？且当AC最短时，BC长度为 多少米？ 图3-5-3 解: 返回目录 返回目录 学点五 基本不等式在证明中的应用 已知a0,b0,c0,且a+b+c=1,求证: 9. 【分
6、析】将1=a+b+c代入不等式左边，再使用算术平 均数与几何平均数定理. 【解析】 返回目录 【评析】本题如果改为a0,b0,c0，求证（a+b+c） 9就比较明显.用a+b+c=1的条件将（a+b+c） “隐”去，造成了思考上的困难.因此应注意“1”的代换 .换元的思想是数学上一种非常重要的思想，通过换元可 将繁变简、将难变易、将未知变已知，使思路豁然明朗. 返回目录 已知a,b,c为实数，且a+b+c=1，求证：a2+b2+c2 . 证明：a2+b22ab，b2+c22bc，a2+c22ac， 2(a2+b2+c2)2(ab+bc+ac). 又a+b+c=1， a2+b2+c2+2ab+2
7、ac+2bc=1， a2+b2+c2+2(a2+b2+c2)1， a2+b2+c2 . (当且仅当a=b=c= 时取等号.) 1.如何理解均值不等式？ 返回目录 返回目录 2.对于公式a2+b22ab以及均值不等式 ，应注意什么？ 返回目录 返回目录 返回目录 （1）已知x,y都是正数，则 如果积xy是定值p,那么当x=y时,和x+y有最小值 ; 如果和x+y是定值S，那么当x=y时，积xy有最大值 S2. 即两个正数的积为常数时，它们的和有最小值；两个 正数的和为常数时，它们的积有最大值. （2）利用此公式求最值，必须同时满足以下三个条 件： 各项均为正数;其和或积为常数;等号必须成立 . （3）应用此公式求最值时，还应注意配凑和一定或 积一定，进而用公式求解. 3.应用均值不等式求最值时，应注意什么？ 返回目录 1.在理解和应用基本不等式时，要特别注意公式成立 的条件，避免因条件遗漏导致解题结果错误. 2.利用基本不等式求函数的最值，是本学案内容的一 个重点，这里要指出的是，应用定理解决实际问题时，使 基本不等式成立的条件不一定现成摆在那里，这就需要根 据问题的需要凑配出基本不等式成立的条件，然后再运用 基本不等式解题. 一样的软件 不一样的感觉 一样的教室 不一样的心情 一样的知识 不一样的收获
