1、 4 二次函数性的再研究 4.1 二次函数的图象 1.函数y2x1的象与y的交点 ，其性 . 2.函数yx22x1的开口方向向 ，点坐 ， 称 ，增区 ，减区 . (0,1) 在(，)上是增函数 上(1,0) x11，) (，1 给定下面几个函数 f(x)x2，f(x)2x2，f(x)2(x1)21 问题1：由f(x)x2的图像如何得到f(x)2x2的图像？ 提示：f(x)x2的图像上各点横坐标不变，纵坐标变 为原来的2倍即可得到f(x)2x2的图像 问题2：由f(x)2x2的图像如何得到f(x)2(x1)21的 图像？ 提示：把f(x)2x2的图像沿x轴向右平移1个单位，再沿 y轴向上平移1
2、个单位，即可得到f(x)2(x1)21的图像 问题3：f(x)2x2与f(x)2x2的图像有什么区别？ 提示：开口大小相同，开口方向相反 例1 在同一坐标系中作出下列函数的图像 (1)yx2；(2)yx22；(3)y2x24x. 并分析如何把yx2的图像变换成y2x24x的图像 思路点拨 对每个函数列表、描点、连线作出相应 的图像，然后利用图像分析yx2与y2x24x的关系 精解详析 (1)列表： x3210123 yx29410149 yx227212127 y2x24x301660206 描点、连线即得相应函数的图像，如图所示 由图像可知由yx2到y2x24x 的变化过程如下 法一：先把y
3、x2的图像向右平移 1个单位长度得到y(x1)2的图像， 然后把y(x1)2的图像横坐标不变，纵坐标变为原来的2倍， 得到y2(x1)2的图像，最后把y2(x1)2的图像向下平移 2个单位长度便可得到y2x24x的图像 法二：先把yx2的图像向下平移1个单位长度得到y x21的图像，然后再把yx21的图像向右平移一个单位长 度得到y(x1)21的图像，最后把y(x1)21的图像横 坐标不变，纵坐标变为原来的2倍，便可得到 y2(x1)22，即y2x24x的图像 二次函数图象间的变换 (1)yx2与yax2(a0)的 纵坐标a 左h 上k 右 下 在二次函数ya(xh)2k(a0)的象中，参数“
4、a，h，k”的作用 分是什么？ 【提示】 a的符号和绝对值大小分别决定了二次函数图象的开口方 向和大小；h决定了二次函数图象的左、右平移，而且“h正左移，h负 右移”；k决定了二次函数图象的上、下平移，而且“k正上移，k负下 移”. 二次函数的图象的平移 【解析】 yx26x21(x6)23. 顶点坐标是（6，3）对称轴为x=6. 利用二次函数的对称性列表： x45678 y53.533.55 描点连线得到函数y=x2-6x+21 的图象如图. 平移过程如下： 把y=x2的图象向右平移6个单位，得到函数y=(x-6)2的图象，最后把y=(x -6)2的图象向上平移3个单位，得到函数y=(x-6
5、)2+3的图象. 在作二次函数图象时，通过配方直接选出关键点，即顶点 .再依据对称性选点，减少了选点的盲目性，二次函数图象的开口方向、对 称轴与坐标轴的交点在作图时起关键作用. 二次函数图象平移规律： 1.函数yx2的象 平移 个位度， 得到函数y(x2)2的象，再 平移 个位度，得到函 数y(x2)21的象.若想要回原来的函数，需 平移 个位度，再 平移 个位度. 【答案】 向左 2 向下 1 向上 1 向右 2 求二次函数的解析式 二次函数的点坐是(2,3)，且点(3,1)，求个二次函数 的解析式. 【思路点拨】 二次函数的一般式是yax2bxc，其中a、b、c为待 定系数，应当根据三个条
6、件，列出三个方程，进而求出待定的系数，写出 函数解析式，本题给出的顶点坐标(2,3)还隐含着图象的对称轴x2这样一 个条件，即 . 方法二：二次函数的顶点式是ya(xh)2k，而顶点坐标是(2,3)，故有y a(x2)23，这样只需确定a的值.因为图象经过点(3,1)，所以x3，y1 满足于关系式ya(x2)23，从而有1a(32)23，解得a2. 函数解析式为y2(x2)23， 即y2x28x5. 方法二：二次函数的顶点式是ya(xh)2k，而顶点坐标是(2,3)，故有y a(x2)23，这样只需确定a的值.因为图象经过点(3,1)，所以x3，y1 满足于关系式ya(x2)23，从而有1a(
7、32)23，解得a2. 函数解析式为y2(x2)23， 即y2x28x5. 运用待定系数法求二次函数的解析式时，一般可设出二 次函数的一般式yax2bxc(a0)，但如果已知函数的对称轴、顶点 坐标或最值，则将解析式设为y(xh)2k会使求解更加方便.具体来说 ： (1)已知顶点坐标为(m，n)，可设ya(xm)2n，再借助于其他条件 求a； (2)已知对称轴方程xm，可设ya(xm)2k，再借助于其他条件求a 和k； (3)已知最大值或最小值为n，可设ya(xh)2n，再借助于其他条件 求a和h； (4)二次函数的图象与x轴只有一个交点时，可设ya(xh)2，再借助 于其他条件求a和h. 2
8、.已知二次函数yf(x)足以下条件，求函数的解析式： (1)象A(0,1)，B(1,2)，C(2，1)三点； (2)象点是(2,3)，且点(1,5). 1.五点法作二次函数图象的步骤 确定顶点坐标，画出对称轴； 找出关于对称轴对称的四个点； 用平滑曲线连接五个点. 如何平移抛物y2x2可得到抛物y2(x4)2k？ 【错解】 要得到y2(x4)2k的图象，只需将y2x2的图象向左平移 4个单位 【错因】 没有对k进行讨论，k的正负、上下是不同的. 【正解】 要得到y2(x4)2k的图象，只需将y2x2的图象向左平移4 个单位，当k0时，向上平移k个单位，当k0时，不作平移，当k0时， 向下平移|k|个单位. 4.于二次函数yx24x3， (1)指出象的开口方向、称方程、点坐. (2)明其象是由yx2的象怎的平移得来？ 【解析】 y(x2)27， (1)开口向下；对称轴方程为x2；顶点坐标为(2,7)； (2)先将yx2的图象向右平移2个单位，然后再向上平移7个单位，即可 得到yx24x3的图象.
