1、.1. （10分）随机变量彼此独立，且特征函数分别为，求下列随机变量的特征函数： （1） （2）解：（1）（2）2. （10分）取值，概率的独立二进制传输信号，时隙长度为，问：（1） 信号的均值函数；（2） 信号的自相关函数；（3） 信号的一维概率密度函数。解：（1）(2) 当在同一个时隙时：当不在同一个时隙时：（3）3. （10分）随机信号，其中为常数，为在上均匀分布的随机变量。（1） 试判断和在同一时刻和不同时刻的独立性、相关性及正交性；（2） 试判断和是否联合广义平稳。解：（1） 由于和包含同一随机变量，因此非独立。根据题意有。，由于，和在同一时刻正交、线性无关。除外的其他不同时刻，所以
2、和非正交且线性相关。（2） 由于，和均值平稳。同理可得，因此和均广义平稳。由于，因此和联合广义平稳。4. （10分）判断下列函数是否能作为实广义平稳随机过程的自相关函数（其中均为常数）？如果不能，请写出理由。（1） （2）（3）（4） 解：（1）不能，因为零点连续，而点不连续。（2）能。 （3）不能，因为，而又不是的周期函数。 （4）能。5. （10分）线性时不变系统的框图如下图所示。若输入白噪声的双边功率谱密度，求系统输出噪声的功率谱密度函数和自相关函数，以及输出噪声总功率。 解：系统的传递函数为，则系统输出功率谱密度为。输出噪声的自相关函数为输出噪声总功率为6. （10分）设随机信号，其中
3、为常数，均为零均值的平稳随机过程，并且相互正交。问：（1） 是否联合广义平稳？（2） 假如，是否为广义平稳的随机信号？ 证明： （1） 由于相互正交，所以，与t无关 ，又因为均为零均值的平稳随机过程，所以是联合广义平稳随机信号。（2） 假如， 由于相互正交，所以 ，与t无关 所以是广义平稳的随机信号。 7. （10分）下列函数中哪些是实广义平稳随机信号功率谱密度的正确表达式？若是，求该信号的平均功率；若不是，请说明原因。 （1） （2）（3） （4）解：（1） 不可以。不是偶函数。（2） 可以。 ，所以，所以（3） 可以。 （4） 可以。 8. （10分）某语音随机信号满足广义各态历经性，现将
4、该信号经过无线信道进行传输，假设信道噪声为广义各态历经的加性高斯白噪声。讨论：（1） 收到的信号的均值各态历经性；（2） 满足广义各态历经性的条件。解： 由满足广义各态历经性，所以广义平稳且满足： 同理，广义平稳且满足： 由于与是独立的，所以： 所以是广义平稳的。且有：所以， 由于，所以是均值各态历经的。假如，则是广义各态历经的。9. （10分）已知平稳随机信号的功率谱密度 。通过频率响应为 的系统后得到。求：（1） 的均值、平均功率；（2） 系统的等效噪声带宽； （3） 信号的矩形等效带宽。 解: (1) ， （2） （3）信号的矩形等效带宽 10. （10分）所表示的零均值平稳窄高斯随机信号的功率谱密度如下图示，若为100Hz，试求：（1） 随机信号的一维概率密度函数；（2） ；（3） 的两个正交分量的联合概率密度函数。 解： 也是高斯的依题 (1) （2）=100Hz，根据X(t)和Y(t)的性质知且 则可得 ，如图 求的傅立叶反变换可得(3) 关于对称，所以 在任意时刻正交,不相关,独立.
